💡 9. Sınıf Matematik: Mod, açıklık, standart sapma Çözümlü Örnekler

• Mod (Tepe Değer): Veri grubunda en çok tekrar eden sayıdır. Verilere baktığımızda \( 7 \) sayısının \( 3 \) kez tekrar ettiğini, diğerlerinin ise birer kez yazıldığını görüyoruz. Bu durumda Mod \( = 7 \) olur.
• Açıklık (Ranj): Veri grubundaki en büyük değer ile en küçük değer arasındaki farktır.
• En büyük değer \( = 15 \)
• En küçük değer \( = 4 \)
• Açıklık \( = 15 - 4 = 11 \)

Verileri küçükten büyüğe sıralayalım: \( 18, 18, 22, 22, 25, 31 \)

• Mod: Bu veri grubunda hem \( 18 \) hem de \( 22 \) sayıları ikişer kez tekrar etmiştir. Bu durumda veri grubunun iki tane modu vardır. Modlar \( = 18 \) ve \( 22 \)
• Açıklık: Veri grubundaki en büyük değer \( 31 \), en küçük değer ise \( 18 \)'dir.
• Açıklık \( = 31 - 18 = 13 \)

Standart sapma hesaplamak için şu adımları izleriz:

• 1. Adım: Aritmetik Ortalama Bulunur.
• Aritmetik Ortalama \( = \frac{10 + 20 + 30}{3} = \frac{60}{3} = 20 \)
• 2. Adım: Her bir verinin ortalamadan farkının karesi alınır ve toplanır.
• \( (10 - 20)^2 = (-10)^2 = 100 \)
• \( (20 - 20)^2 = 0^2 = 0 \)
• \( (30 - 20)^2 = 10^2 = 100 \)
• Toplam \( = 100 + 0 + 100 = 200 \)
• 3. Adım: Bulunan toplam, veri sayısının bir eksiğine bölünür.
• Veri sayısı \( n = 3 \) olduğundan, \( n - 1 = 2 \) olur.
• \( \frac{200}{2} = 100 \)
• 4. Adım: Sonucun karekökü alınır.
• Standart Sapma \( = \sqrt{100} = 10 \)

Standart sapma, verilerin ortalamadan ne kadar uzaklaştığını gösteren bir ölçüdür.

• Düşük Standart Sapma: Verilerin ortalamaya yakın olduğunu ve daha az değişkenlik gösterdiğini ifade eder. Bu durum istikrarın yüksek, riskin ise düşük olduğu anlamına gelir.
• Yüksek Standart Sapma: Verilerin ortalamadan çok uzaklaştığını ve dalgalanmanın fazla olduğunu ifade eder. Bu durum riskin yüksek olduğunu gösterir.
• A hissesinin standart sapması (\( 1.2 \)), B hissesinden (\( 4.5 \)) daha küçüktür.
• ✅ Sonuç: A hissesi daha istikrarlı ve risk oranı daha düşük bir yatırımdır.

Öncelikle ilk durumdaki açıklığı bulalım:

• İlk veri grubu: \( 150, 155, 160, 155, 170, 165, 155, 180 \)
• En büyük: \( 180 \), En küçük: \( 150 \)
• İlk Açıklık \( = 180 - 150 = 30 \)

Şimdi \( 160 \) cm boyundaki öğrenci eklendikten sonraki durumu inceleyelim:

• Yeni veri grubu: \( 150, 155, 160, 155, 170, 165, 155, 180, 160 \)
• En büyük değer hala \( 180 \), en küçük değer hala \( 150 \)'dir.
• Yeni Açıklık \( = 180 - 150 = 30 \)
• ✅ Sonuç: Eklenen değer mevcut en büyük ve en küçük değerlerin arasında olduğu için açıklık değişmez.

• Modu Bulalım: \( 20 \) sayısı \( 3 \) kez tekrar etmiştir ve en çok tekrar eden değerdir. Bu yüzden Mod \( = 20 \) olur.
• Aritmetik Ortalamayı Bulalım:
• Toplam \( = 20 + 20 + 20 + 21 + 22 + 23 + 28 = 154 \)
• Veri sayısı \( = 7 \)
• Ortalama \( = \frac{154}{7} = 22 \)
• Fark: Ortalama ile mod arasındaki farkı bulalım.
• Fark \( = 22 - 20 = 2 \)

Tutarlılığı ölçmek için verilerin birbirine yakınlığına (yayılımına) bakılır.

• Ali'nin Verileri: \( 5, 7, 6, 5, 7 \). Veriler birbirine çok yakındır. Açıklık \( = 7 - 5 = 2 \).
• Veli'nin Verileri: \( 2, 10, 1, 12, 5 \). Veriler arasında büyük farklar vardır. Açıklık \( = 12 - 1 = 11 \).
• Ali'nin verilerinin açıklığı ve standart sapması Veli'ninkinden çok daha küçüktür.
• Standart sapması küçük olan veri grubu daha tutarlı ve istikrarlı kabul edilir.
• ✅ Sonuç: Antrenör Ali'yi seçmelidir çünkü Ali'nin atışları daha istikrarlıdır.

Veri grubumuz \( 8, 8, 8 \) olsun.

• 1. Adım: Ortalama
• Ortalama \( = \frac{8 + 8 + 8}{3} = 8 \)
• 2. Adım: Farkların Kareleri Toplamı
• \( (8 - 8)^2 + (8 - 8)^2 + (8 - 8)^2 = 0 + 0 + 0 = 0 \)
• 3. Adım: Varyans (Bölme İşlemi)
• \( \frac{0}{3 - 1} = 0 \)
• 4. Adım: Standart Sapma
• \( \sqrt{0} = 0 \)
• ✅ Sonuç: Tüm veriler birbirine eşitse, veriler arasında hiç yayılım (değişim) yok demektir. Bu yüzden standart sapma \( 0 \) olur.