💡 9. Sınıf Matematik: Matematik 2. dönem 2. yazılı Çözümlü Örnekler

Üçgenin iç açıları toplamı kuralını kullanarak çözüme ulaşabiliriz:

• Adım 1: Bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman \( 180^\circ \) derecedir.
• Adım 2: Verilen açıları toplayalım: \( 75 + 45 = 120 \) derecedir.
• Adım 3: Toplam açıdan bu değeri çıkararak C açısını bulalım:

\[ 180 - 120 = 60 \]

✅ Sonuç: C açısının ölçüsü \( 60^\circ \) olarak bulunur.

Bu soruyu Üçgen Eşitsizliği kuralını kullanarak çözmeliyiz:

• Kural: Bir üçgende herhangi bir kenar, diğer iki kenarın farkından büyük, toplamından küçük olmalıdır.
• Adım 1: Verilen kenarları \( a = 7 \) ve \( b = 10 \) olarak alalım.
• Adım 2: Eşitsizliği kuralım: \( |10 - 7| < x < 10 + 7 \)
• Adım 3: İşlemi sadeleştirelim: \( 3 < x < 17 \)

👉 Bu aralıkta x'in alabileceği tam sayı değerleri \( 4, 5, ..., 16 \) şeklindedir.

✅ Sonuç: x'in alabileceği en büyük tam sayı değeri \( 16 \) cm'dir.

Benzer üçgenlerde çevreler oranı, benzerlik oranına eşittir:

• Adım 1: Çevre(ABC) / Çevre(DEF) = Benzerlik Oranı formülünü kullanalım.
• Adım 2: Değerleri yerine koyalım:

\[ \frac{24}{x} = \frac{2}{3} \]

• Adım 3: İçler dışlar çarpımı yapalım:

\[ 2 \times x = 24 \times 3 \]

\[ 2 \times x = 72 \]

\[ x = 36 \]

✅ Sonuç: DEF üçgeninin çevresi \( 36 \) cm olarak bulunur.

Dik üçgenlerde kenar uzunluklarını bulmak için Pisagor Teoremi kullanılır:

• Adım 1: Teorem formülü şöyledir: \( a^2 + b^2 = c^2 \) (Burada c hipotenüstür).
• Adım 2: Verilenleri yerine yazalım: \( 8^2 + x^2 = 17^2 \)
• Adım 3: Karelerini hesaplayalım: \( 64 + x^2 = 289 \)
• Adım 4: Bilinmeyeni yalnız bırakalım: \( x^2 = 289 - 64 \)
• Adım 5: \( x^2 = 225 \) ise \( x = 15 \) bulunur.

💡 İpucu: Bu üçgen \( 8 - 15 - 17 \) özel dik üçgenidir.

✅ Sonuç: Diğer dik kenar \( 15 \) cm'dir.

Trigonometrik oranları bulmak için önce tüm kenarları bilmemiz gerekir:

• Adım 1: Pisagor teoremi ile hipotenüsü (AC) bulalım. \( 5 - 12 - 13 \) özel üçgeninden dolayı \( |AC| = 13 \) birimdir.
• Adım 2: Sinüs fonksiyonunun tanımını hatırlayalım: Sinüs = Karşı Dik Kenar / Hipotenüs
• Adım 3: A açısına göre karşı kenar \( |BC| = 12 \), hipotenüs ise \( |AC| = 13 \)'tür.

\[ \sin(A) = \frac{12}{13} \]

✅ Sonuç: A açısının sinüs değeri \( \frac{12}{13} \) olarak hesaplanır.

Üçgende alan hesabı için temel formülü kullanırız:

• Formül: Alan = (Taban \( \times \) Yükseklik) / 2
• Adım 1: Verilen değerleri formülde yerine koyalım.
• Adım 2: Taban = \( 12 \), Yükseklik = \( 8 \).

\[ Alan = \frac{12 \times 8}{2} \]

\[ Alan = \frac{96}{2} = 48 \]

✅ Sonuç: Üçgenin alanı \( 48 \) \( cm^2 \) olarak bulunur.

Aritmetik ortalama, tüm verilerin toplamının veri sayısına bölünmesiyle bulunur:

• Adım 1: Tüm notları toplayalım: \( 65 + 70 + 85 + 80 + 75 = 375 \)
• Adım 2: Toplam veri sayısını belirleyelim: \( 5 \) adet not vardır.
• Adım 3: Toplamı veri sayısına bölelim:

\[ Ortalama = \frac{375}{5} = 75 \]

✅ Sonuç: Notların aritmetik ortalaması \( 75 \) puandır.

Bu problemde direk, gölge ve güneş ışını bir dik üçgen oluşturur:

• Adım 1: Direk yere dik olduğu için bir açısı \( 90^\circ \)'dir. Güneş ışını yerle \( 45^\circ \) açı yapıyorsa, bu bir 45-45-90 özel dik üçgenidir.
• Adım 2: 45-45-90 üçgeni bir ikizkenar dik üçgendir. Yani dik kenarların uzunlukları birbirine eşittir.
• Adım 3: Dik kenarlardan biri direğin boyu (\( 6 \) metre), diğeri ise gölgenin boyudur.

👉 İkizkenar özellikten dolayı: Direk Boyu = Gölge Boyu

✅ Sonuç: Bayrak direğinin gölge boyu \( 6 \) metredir.