Benzer terimleri bir araya getirelim: \( (2x + 3x + x) + (10 - 20 + 40) = 180 \)
Denklemi düzenleyelim: \( 6x + 30 = 180 \)
Sabit terimi karşıya atalım: \( 6x = 180 - 30 \)
\( 6x = 150 \)
Her iki tarafı 6'ya bölelim: \( x = 25 \)
✅ Sonuç olarak \( x = 25 \) bulunur.
2
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Bir üçgenin iki kenar uzunluğu 7 cm ve 10 cm olarak verilmiştir. Bu üçgenin üçüncü kenarının uzunluğu \( x \) cm olduğuna göre, \( x \)'in alabileceği en büyük tam sayı değerini bulunuz. 📏
Çözüm ve Açıklama
Üçgen Eşitsizliği kuralına göre; bir üçgenin herhangi bir kenarı, diğer iki kenarın farkının mutlak değerinden büyük, toplamından ise küçük olmalıdır.
Verilen kenarlar: 7 ve 10.
Eşitsizliği kuralım: \( 10 - 7 < x < 10 + 7 \)
İşlemleri yapalım: \( 3 < x < 17 \)
Bu durumda \( x \) değeri 3 ile 17 arasındaki tüm değerleri alabilir.
Bizden istenen en büyük tam sayı değeridir.
17'den küçük en büyük tam sayı 16'dır.
✅ Cevap: \( x = 16 \) cm olur.
3
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Bir ABC üçgeninde, BC kenarına paralel bir DE doğrusu çizilmiştir. D noktası AB kenarı üzerinde, E noktası ise AC kenarı üzerindedir. Verilen uzunluklar şöyledir:
AD uzunluğu: \( 4 \) birim
DB uzunluğu: \( 2 \) birim
AE uzunluğu: \( 6 \) birim
Buna göre EC uzunluğunun (\( x \)) kaç birim olduğunu bulunuz. 📐
Çözüm ve Açıklama
Üçgende paralellik varsa Temel Benzerlik Teoremi (Thales) uygulanır. DE doğrusu BC'ye paralel olduğu için kenarlar orantılıdır:
Bir dik üçgende dik kenarlardan birinin uzunluğu \( 9 \) cm, hipotenüsün (en uzun kenar) uzunluğu ise \( 15 \) cm'dir. Bu üçgenin diğer dik kenarının uzunluğunu bulunuz. 📐
Çözüm ve Açıklama
Dik üçgenlerde kenar uzunluklarını bulmak için Pisagor Teoremi kullanılır. Teorem şöyledir: Dik kenarların kareleri toplamı, hipotenüsün karesine eşittir.
Bilinmeyen dik kenara \( x \) diyelim.
Denklem: \( x^2 + 9^2 = 15^2 \)
Kareleri hesaplayalım: \( x^2 + 81 = 225 \)
81'i karşıya atalım: \( x^2 = 225 - 81 \)
\( x^2 = 144 \)
Her iki tarafın karekökünü alalım: \( x = 12 \)
📌 İpucu: Bu üçgen, 3-4-5 özel üçgeninin 3 katı olan 9-12-15 özel üçgenidir.
✅ Cevap: \( 12 \) cm.
5
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Bir ABC dik üçgeninde B açısı \( 90^\circ \) derecedir. AB kenarı \( 5 \) birim, BC kenarı \( 12 \) birim ve AC kenarı \( 13 \) birimdir. Buna göre A açısının kosinüs (cos A) değerini bulunuz. ✍️
Çözüm ve Açıklama
Trigonometrik oranlarda kosinüs, komşu dik kenarın hipotenüse oranıdır.
A açısına göre komşu dik kenar: AB kenarıdır (\( 5 \) birim).
Hipotenüs: AC kenarıdır (\( 13 \) birim).
Kosinüs formülü: cos A = Komşu Kenar / Hipotenüs
Değerleri yerleştirelim: cos A = \( \frac{5}{13} \)
✅ Sonuç: \( \frac{5}{13} \) olarak bulunur.
6
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Taban uzunluğu 14 cm olan bir üçgenin, bu tabana ait yüksekliği 8 cm'dir. Bu üçgenin alanı kaç santimetrekaredir? ⬛
Çözüm ve Açıklama
Bir üçgenin alanını hesaplamak için taban uzunluğu ile o tabana ait yüksekliği çarpıp ikiye böleriz.
Alan formülü: Alan = (Taban \( \times \) Yükseklik) / 2
Verilenleri formüle yazalım: Alan = \( \frac{14 \times 8}{2} \)
Bir öğrencinin matematik sınavlarından aldığı notlar şöyledir: 70, 85, 85, 90, 100. Bu veri grubunun aritmetik ortalamasını ve tepe değerini (mod) bulunuz. 📊
Çözüm ve Açıklama
1. Aritmetik Ortalama: Verilerin toplamının veri sayısına bölünmesidir.
Toplam: \( 70 + 85 + 85 + 90 + 100 = 430 \)
Veri sayısı: 5
Ortalama: \( \frac{430}{5} = 86 \)
2. Tepe Değer (Mod): Veri grubunda en çok tekrar eden sayıdır.
Verilere baktığımızda 85 puanının 2 kez, diğerlerinin 1 kez tekrar ettiğini görüyoruz.
Bu durumda mod \( 85 \)'tir.
✅ Ortalama: \( 86 \), Mod: \( 85 \).
8
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Güneşli bir günde, boyu 1,6 metre olan bir öğrencinin gölgesinin boyu 2 metre olarak ölçülmüştür. Aynı anda bir bayrak direğinin gölgesinin boyu ise 10 metre olarak ölçülmüştür. Buna göre bayrak direğinin boyu kaç metredir? 🚩
Çözüm ve Açıklama
Güneş ışınları aynı açıyla geldiği için nesnelerin boyları ile gölge boyları arasında bir benzerlik (oran) vardır.
Öğrencinin boyu / Öğrencinin gölgesi = Direğin boyu / Direğin gölgesi
Benzer terimleri bir araya getirelim: \( (2x + 3x + x) + (10 - 20 + 40) = 180 \)
Denklemi düzenleyelim: \( 6x + 30 = 180 \)
Sabit terimi karşıya atalım: \( 6x = 180 - 30 \)
\( 6x = 150 \)
Her iki tarafı 6'ya bölelim: \( x = 25 \)
✅ Sonuç olarak \( x = 25 \) bulunur.
Örnek 2:
Bir üçgenin iki kenar uzunluğu 7 cm ve 10 cm olarak verilmiştir. Bu üçgenin üçüncü kenarının uzunluğu \( x \) cm olduğuna göre, \( x \)'in alabileceği en büyük tam sayı değerini bulunuz. 📏
Çözüm:
Üçgen Eşitsizliği kuralına göre; bir üçgenin herhangi bir kenarı, diğer iki kenarın farkının mutlak değerinden büyük, toplamından ise küçük olmalıdır.
Verilen kenarlar: 7 ve 10.
Eşitsizliği kuralım: \( 10 - 7 < x < 10 + 7 \)
İşlemleri yapalım: \( 3 < x < 17 \)
Bu durumda \( x \) değeri 3 ile 17 arasındaki tüm değerleri alabilir.
Bizden istenen en büyük tam sayı değeridir.
17'den küçük en büyük tam sayı 16'dır.
✅ Cevap: \( x = 16 \) cm olur.
Örnek 3:
Bir ABC üçgeninde, BC kenarına paralel bir DE doğrusu çizilmiştir. D noktası AB kenarı üzerinde, E noktası ise AC kenarı üzerindedir. Verilen uzunluklar şöyledir:
AD uzunluğu: \( 4 \) birim
DB uzunluğu: \( 2 \) birim
AE uzunluğu: \( 6 \) birim
Buna göre EC uzunluğunun (\( x \)) kaç birim olduğunu bulunuz. 📐
Çözüm:
Üçgende paralellik varsa Temel Benzerlik Teoremi (Thales) uygulanır. DE doğrusu BC'ye paralel olduğu için kenarlar orantılıdır:
Bir dik üçgende dik kenarlardan birinin uzunluğu \( 9 \) cm, hipotenüsün (en uzun kenar) uzunluğu ise \( 15 \) cm'dir. Bu üçgenin diğer dik kenarının uzunluğunu bulunuz. 📐
Çözüm:
Dik üçgenlerde kenar uzunluklarını bulmak için Pisagor Teoremi kullanılır. Teorem şöyledir: Dik kenarların kareleri toplamı, hipotenüsün karesine eşittir.
Bilinmeyen dik kenara \( x \) diyelim.
Denklem: \( x^2 + 9^2 = 15^2 \)
Kareleri hesaplayalım: \( x^2 + 81 = 225 \)
81'i karşıya atalım: \( x^2 = 225 - 81 \)
\( x^2 = 144 \)
Her iki tarafın karekökünü alalım: \( x = 12 \)
📌 İpucu: Bu üçgen, 3-4-5 özel üçgeninin 3 katı olan 9-12-15 özel üçgenidir.
✅ Cevap: \( 12 \) cm.
Örnek 5:
Bir ABC dik üçgeninde B açısı \( 90^\circ \) derecedir. AB kenarı \( 5 \) birim, BC kenarı \( 12 \) birim ve AC kenarı \( 13 \) birimdir. Buna göre A açısının kosinüs (cos A) değerini bulunuz. ✍️
Çözüm:
Trigonometrik oranlarda kosinüs, komşu dik kenarın hipotenüse oranıdır.
A açısına göre komşu dik kenar: AB kenarıdır (\( 5 \) birim).
Hipotenüs: AC kenarıdır (\( 13 \) birim).
Kosinüs formülü: cos A = Komşu Kenar / Hipotenüs
Değerleri yerleştirelim: cos A = \( \frac{5}{13} \)
✅ Sonuç: \( \frac{5}{13} \) olarak bulunur.
Örnek 6:
Taban uzunluğu 14 cm olan bir üçgenin, bu tabana ait yüksekliği 8 cm'dir. Bu üçgenin alanı kaç santimetrekaredir? ⬛
Çözüm:
Bir üçgenin alanını hesaplamak için taban uzunluğu ile o tabana ait yüksekliği çarpıp ikiye böleriz.
Alan formülü: Alan = (Taban \( \times \) Yükseklik) / 2
Verilenleri formüle yazalım: Alan = \( \frac{14 \times 8}{2} \)
Bir öğrencinin matematik sınavlarından aldığı notlar şöyledir: 70, 85, 85, 90, 100. Bu veri grubunun aritmetik ortalamasını ve tepe değerini (mod) bulunuz. 📊
Çözüm:
1. Aritmetik Ortalama: Verilerin toplamının veri sayısına bölünmesidir.
Toplam: \( 70 + 85 + 85 + 90 + 100 = 430 \)
Veri sayısı: 5
Ortalama: \( \frac{430}{5} = 86 \)
2. Tepe Değer (Mod): Veri grubunda en çok tekrar eden sayıdır.
Verilere baktığımızda 85 puanının 2 kez, diğerlerinin 1 kez tekrar ettiğini görüyoruz.
Bu durumda mod \( 85 \)'tir.
✅ Ortalama: \( 86 \), Mod: \( 85 \).
Örnek 8:
Güneşli bir günde, boyu 1,6 metre olan bir öğrencinin gölgesinin boyu 2 metre olarak ölçülmüştür. Aynı anda bir bayrak direğinin gölgesinin boyu ise 10 metre olarak ölçülmüştür. Buna göre bayrak direğinin boyu kaç metredir? 🚩
Çözüm:
Güneş ışınları aynı açıyla geldiği için nesnelerin boyları ile gölge boyları arasında bir benzerlik (oran) vardır.
Öğrencinin boyu / Öğrencinin gölgesi = Direğin boyu / Direğin gölgesi