💡 9. Sınıf Matematik: Mantık sorusu, algoritma ve aritmetik Çözümlü Örnekler

Doğru önermeyi bulmak için her seçeneği tek tek inceleyelim:

• A) \( 2 + 3 = 5 \) eder, \( 6 \) değil. Bu nedenle bu önerme yanlıştır.
• B) \( 5 \) rakamı tek bir sayıdır. Bu nedenle bu önerme doğrudur. ✅
• C) \( 10 \) rakamı çift bir sayıdır. Bu nedenle bu önerme doğrudur. ✅
• D) \( 7 \) sayısı \( 4 \) sayısından küçüktür ifadesi yanlıştır. \( 7 \) sayısı \( 4 \) sayısından büyüktür.

Soruda tek bir doğru önerme istendiği için, genellikle bu tür sorularda seçenekler dikkatlice incelenmelidir. Ancak verilen seçeneklerde B ve C şıkları doğrudur. Eğer soruda "hangisi yanlıştır" denseydi, A ve D şıkları doğru cevap olurdu. Bu durumda, sorunun yazımında bir hata olabileceği düşünülerek, en belirgin ve net doğru önerme (genellikle sayılarla ilgili olan) seçilebilir. Eğer bir seçeneğin doğru olması gerekiyorsa, sorunun bu haliyle bir kusuru vardır. Ancak standart bir mantık sorusu mantığıyla gidersek, hem B hem de C doğrudur. Sorunun orijinalinde tek bir doğru cevap olması beklendiği için, bu örnekte bir iyileştirme yapılabilir. Ancak mevcut haliyle, hem B hem de C doğrudur.
Cevap: B ve C (Sorunun orijinalinde tek cevap olması beklenir, bu örnekte iki doğru cevap bulunmaktadır.)

Bir ifadenin önerme olabilmesi için doğruluğu veya yanlışlığı kesin olarak bilinmelidir. Şimdi seçenekleri inceleyelim:

• A) "Yarın hava yağmurlu olacak." Bu ifade, yarınki hava durumunu belirtir. Hava durumu kesin olarak bilinemeyeceği için bu bir önerme değildir. ❌
• B) \( 3 \times 5 = 15 \) işlemi doğrudur. Bu nedenle bu bir önermedir.
• C) En küçük asal sayının 2 olduğu bilgisi doğrudur. Bu nedenle bu bir önermedir.
• D) Mersin'in Türkiye'nin bir şehri olduğu bilgisi doğrudur. Bu nedenle bu bir önermedir.

Cevap: A

Öncelikle verilen önermelerin doğruluk değerlerini belirleyelim:

• \( p \): "2+2=4" ifadesi doğrudur. Dolayısıyla \( p \) önermesinin doğruluk değeri \( 1 \) dir.
• \( q \): "3 tek sayıdır." ifadesi doğrudur. Dolayısıyla \( q \) önermesinin doğruluk değeri \( 1 \) dir.

Şimdi \( q' \) önermesini bulalım. \( q' \), \( q \) önermesinin değil'idir (olumsuzu). \( q \) doğru olduğuna göre, \( q' \) yanlış olur. Dolayısıyla \( q' \) önermesinin doğruluk değeri \( 0 \) dır.
Son olarak \( p \land q' \) önermesinin doğruluk değerini hesaplayalım.
\( p \land q' \) ifadesinde " \( \land \) " sembolü VE bağlacını temsil eder. VE bağlacında sonuç ancak her iki taraf da \( 1 \) ise \( 1 \) olur, aksi halde \( 0 \) olur.
Elimizde \( p \) 'nin doğruluk değeri \( 1 \) ve \( q' \) 'nin doğruluk değeri \( 0 \) var.
\( 1 \land 0 = 0 \)
Bu nedenle \( p \land q' \) önermesinin doğruluk değeri 0'dır. ❌
Cevap: 0

Bu programın çalışma mantığını adım adım bir algoritma ile açıklayalım:

1. BAŞLA
2. Kullanıcıdan bir sayı girmesini isteyin.
3. Girilen sayıyı bir değişkene (örneğin, sayi) atayın.
4. Girilen sayının 2'ye bölümünden kalanını kontrol edin.
5. Eğer sayının 2'ye bölümünden kalan 0 ise (yani sayı çift ise):
• Ekrana "ÇİFT" yazdırın.
6. Eğer sayının 2'ye bölümünden kalan 0 değil ise (yani sayı tek ise):
• Ekrana "TEK" yazdırın.
7. BİTİR

💡 Algoritma Nedir? Bir problemi çözmek veya belirli bir görevi yerine getirmek için izlenen, adım adım tanımlanmış işlem dizisine algoritma denir.
Bu algoritma, sayının tek mi çift mi olduğunu belirlemek için koşullu ifadeler (Eğer... ise...) kullanır.

Öğrencinin başlangıçta tuttuğu sayıyı bulmak için, bize söylediği sonucu (17) kullanarak algoritmayı tersine işletmemiz gerekir.
İşlem adımlarını ve terslerini inceleyelim:

1. Öğrencinin söylediği sayı: 17
2. Adım 4'ün tersi: Sayıyı 2'ye bölmüş. Ters işlem çarpmadır.
• \( 17 \times 2 = 34 \)
3. Adım 3'ün tersi: Sonuca 5 eklemiş. Ters işlem çıkarmadır.
• \( 34 - 5 = 29 \)
4. Adım 2'nin tersi: Sayının 3 katını almış. Ters işlem bölmedir.
• \( 29 \div 3 \)
5. Bu bölme tam bir sayı vermiyor. Bu durum, sorunun veya verilen sayının bir hata içerdiğini gösterebilir veya tam sayı olmayan sonuçlara izin verildiğini düşündürebilir. Ancak 9. sınıf müfredatı genellikle tam sayılarla çalışır. Eğer \( 29 \) yerine \( 30 \) olsaydı, \( 30 \div 3 = 10 \) olurdu.

Varsayım: Eğer öğrencinin söylediği sayı 17 değil de, tam sayı çıkacak şekilde bir sonuç olsaydı, örneğin 17.5 olsaydı (bu 9. sınıf müfredatı için pek olası değil) veya sonuç 30 olsaydı:
Eğer sonuç 30 olsaydı:

• \( 30 \times 2 = 60 \)
• \( 60 - 5 = 55 \)
• \( 55 \div 3 \) (Hala tam sayı değil)

Yeniden Değerlendirme: Soruyu tam sayı çıktısı verecek şekilde yeniden kuralım. Eğer öğrenci 20'yi söyleseydi:

• \( 20 \times 2 = 40 \)
• \( 40 - 5 = 35 \)
• \( 35 \div 3 \) (Hala tam sayı değil)

Örnek Düzeltme: Eğer öğrenci 22'yi söyleseydi:

• \( 22 \times 2 = 44 \)
• \( 44 - 5 = 39 \)
• \( 39 \div 3 = 13 \)

Bu durumda başlangıçta tutulan sayı 13 olurdu.
Mevcut Soruya Göre Cevap: Verilen 17 sayısı ile tam sayı bir başlangıç sayısı bulunamamaktadır. Eğer soru tam sayılarla çalışıyorsa, soruda bir hata vardır veya öğrenci tam sayı olmayan bir sonuç söylemiştir. Eğer tam sayı olmayan sonuçlara izin veriliyorsa, başlangıç sayısı \( 29/3 \) olurdu. Ancak 9. sınıf müfredatı gereği tam sayı cevabı beklenir. Bu nedenle, bu soru için geçerli bir tam sayı başlangıç sayısı bulunamamaktadır. ❌

Bu problemde, her 5. müşteriye hediye verildiği bilgisi, 32 müşteri içinde kaç tane 5'lik grup olduğunu bulmamız gerektiğini gösterir. Bu, bölme işlemi ile çözülebilir.
İşlem adımları şöyledir:

1. Toplam müşteri sayısı: 32
2. Hediye verilen her müşteri grubu büyüklüğü: 5
3. Hediye alan müşteri sayısını bulmak için toplam müşteri sayısını, hediye verilen müşteri grubunun sayısına böleriz.
• \( 32 \div 5 \)
4. Bölme işlemini yapalım:
• \( 32 \) içinde \( 5 \), 6 tam defa vardır.
• \( 6 \times 5 = 30 \)
• Kalan \( 32 - 30 = 2 \) olur.

Bu sonuç bize şunu ifade eder:

• 6 müşteri hediye almıştır (çünkü 5, 10, 15, 20, 25, 30. müşteriler hediye almışlardır). ✅
• Kalan 2 müşteri hediye almamıştır.

Cevap: 6 müşteriye hediye verilir.
💡 Aritmetik Nedir? Sayılarla toplama, çıkarma, çarpma ve bölme gibi temel işlemleri inceleyen matematik dalıdır.

Verilen önermelerin doğruluk değerlerini belirleyelim:

• \( p \): "2 bir çift sayıdır." Bu ifade doğrudur. Dolayısıyla \( p \) 'nin doğruluk değeri \( 1 \) dir.
• \( q \): "5 bir asal sayıdır." Bu ifade doğrudur. Dolayısıyla \( q \) 'nin doğruluk değeri \( 1 \) dir.

Şimdi \( p \lor q \) önermesinin doğruluk değerini hesaplayalım.
\( p \lor q \) ifadesinde " \( \lor \) " sembolü VEYA bağlacını temsil eder. VEYA bağlacında sonuç ancak her iki taraf da \( 0 \) ise \( 0 \) olur, aksi halde \( 1 \) olur.
Elimizde \( p \) 'nin doğruluk değeri \( 1 \) ve \( q \) 'nun doğruluk değeri \( 1 \) var.
\( 1 \lor 1 = 1 \)
Bu nedenle \( p \lor q \) önermesinin doğruluk değeri 1'dir. ✅
Cevap: 1

İki ödeme seçeneğinin toplam maliyetlerini ayrı ayrı hesaplayalım:
1. Peşin Ödeme Seçeneği:

• Cep telefonunun peşin satış fiyatı: 10.000 TL
• Uygulanacak indirim oranı: %10
• İndirim miktarını hesaplayalım:
• \( 10.000 \times \frac{10}{100} = 1.000 \) TL
• Ödenecek toplam tutar (indirimli fiyat):
• \( 10.000 - 1.000 = 9.000 \) TL

2. 5 Taksitli Ödeme Seçeneği:

• Cep telefonunun peşin satış fiyatı: 10.000 TL
• Uygulanacak vade farkı oranı: %5
• Vade farkı miktarını hesaplayalım:
• \( 10.000 \times \frac{5}{100} = 500 \) TL
• Ödenecek toplam tutar (peşin fiyat + vade farkı):
• \( 10.000 + 500 = 10.500 \) TL

Sonuç:

• Peşin ödeme seçeneğinin toplam maliyeti: 9.000 TL
• 5 taksitli ödeme seçeneğinin toplam maliyeti: 10.500 TL

Bu hesaplama, aritmetik işlemlerin günlük hayatta nasıl kullanıldığını göstermektedir. ✅

Bu problemi çözmek için farklı yöntemler kullanabiliriz:
Yöntem 1: Aritmetik (Kombinasyon Mantığı)
Bu problem, 8 oyuncu arasından 2 oyuncu seçerek bir maç oluşturma problemidir. Sıralamanın önemi olmadığı için kombinasyon kullanabiliriz. Ancak 9. sınıf müfredatında kombinasyon konusu detaylı işlenmeyebilir. Daha basit bir aritmetik yaklaşımla çözebiliriz:

1. Her oyuncu, kendisi hariç diğer 7 oyuncuyla maç yapacaktır.
2. Toplam 8 oyuncu olduğuna göre, ilk başta \( 8 \times 7 \) maç yapılacağı düşünülebilir.
3. Ancak bu durumda her maç iki kez sayılmış olur (örneğin, A oyuncusunun B oyuncusuyla maçı ve B oyuncusunun A oyuncusuyla maçı aynı maçtır).
4. Bu yüzden, toplam maç sayısını bulmak için \( 8 \times 7 \) sonucunu 2'ye bölmeliyiz.
• \( (8 \times 7) \div 2 = 56 \div 2 = 28 \)

Yöntem 2: Algoritma (Adım Adım Sayma)
Oyuncuları A, B, C, D, E, F, G, H olarak adlandıralım.

1. Oyuncu A: Diğer 7 oyuncuyla maç yapar (B, C, D, E, F, G, H). (7 maç)
2. Oyuncu B: A ile zaten maç yaptı. Geriye kalan 6 oyuncuyla maç yapar (C, D, E, F, G, H). (6 maç)
3. Oyuncu C: A ve B ile maç yaptı. Geriye kalan 5 oyuncuyla maç yapar (D, E, F, G, H). (5 maç)
4. Oyuncu D: Geriye kalan 4 oyuncuyla maç yapar. (4 maç)
5. Oyuncu E: Geriye kalan 3 oyuncuyla maç yapar. (3 maç)
6. Oyuncu F: Geriye kalan 2 oyuncuyla maç yapar. (2 maç)
7. Oyuncu G: Geriye kalan 1 oyuncuyla (H) maç yapar. (1 maç)
8. Oyuncu H: Zaten herkesle maç yapmış olur. (0 maç)

Toplam maç sayısı bu adımlardaki maç sayılarının toplamıdır:

• \( 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28 \)

Her iki yöntem de aynı sonuca ulaşır. Bu, mantık ve aritmetik düşüncenin birleştiği güzel bir örnektir. ✅
Cevap: Toplam 28 maç yapılacaktır.