💡 9. Sınıf Matematik: Mantık Bağlayıcıları Çözümlü Örnekler

Önermelerin doğruluk değerlerini tek tek inceleyelim:

• p önermesi: "Her tam sayı bir çift sayıdır." ifadesi yanlıştır. Örneğin, 3 tek bir tam sayıdır. Dolayısıyla, p önermesinin doğruluk değeri Y (Yanlış)'dir.
• q önermesi: "En küçük asal sayı 2'dir." ifadesi doğrudur. Asal sayılar 2, 3, 5, 7... şeklinde başlar. Dolayısıyla, q önermesinin doğruluk değeri D (Doğru)'dir.
• r önermesi: "Bir haftada 8 gün vardır." ifadesi yanlıştır. Bir haftada 7 gün vardır. Dolayısıyla, r önermesinin doğruluk değeri Y (Yanlış)'dir.

Sonuç olarak: p ≡ Y, q ≡ D, r ≡ Y

Öncelikle verilen önermelerin doğruluk değerlerini belirleyelim:

• p önermesi: "2 + 3 = 5" ifadesi doğrudur. Dolayısıyla, p ≡ D.
• q önermesi: "4 x 2 = 6" ifadesi yanlıştır (çünkü 4 x 2 = 8'dir). Dolayısıyla, q ≡ Y.

Şimdi "ve" (∧) bağlacının kuralını hatırlayalım: p ∧ q önermesinin doğru olması için her iki önermenin de doğru olması gerekir. Sadece bir tanesi yanlış olduğunda sonuç yanlış olur.

p ∧ q ≡ D ∧ Y

Bu durumda, p ∧ q önermesinin doğruluk değeri Y (Yanlış)'dir. ✅

Verilen önermelerin doğruluk değerlerini tespit edelim:

• p önermesi: "Türkiye'nin başkenti Ankara'dır." ifadesi doğrudur. Dolayısıyla, p ≡ D.
• q önermesi: "Ay, Dünya'nın uydusudur." ifadesi doğrudur. Dolayısıyla, q ≡ D.

"Veya" (∨) bağlacında, önermelerden en az biri doğru olduğunda sonuç doğru olur. Her ikisi de yanlış olduğunda sonuç yanlış olur.

p ∨ q ≡ D ∨ D

Bu durumda, p ∨ q önermesinin doğruluk değeri D (Doğru)'dir. 👉

Öncelikle önermelerin doğruluk değerlerini belirleyelim:

• p önermesi: "Her dik üçgenin bir dik açısı vardır." ifadesi tanım gereği doğrudur. Dolayısıyla, p ≡ D.
• q önermesi: "Bütün kareler dikdörtgendir." ifadesi doğrudur. Çünkü kare, dört kenarı eşit ve dört açısı 90 derece olan bir dörtgendir; bu özellikler dikdörtgenin tanımını da karşılar. Dolayısıyla, q ≡ D.

Şimdi "ise" (→) bağlacının kuralını hatırlayalım: p → q önermesi, yalnızca p doğru iken q yanlış olduğunda yanlış olur. Diğer tüm durumlarda doğrudur.

p → q ≡ D → D

Bu durumda, p → q önermesinin doğruluk değeri D (Doğru)'dir. ✅

Öncelikle önermelerin doğruluk değerlerini tespit edelim:

• p önermesi: "2 tek sayıdır." ifadesi yanlıştır. Dolayısıyla, p ≡ Y.
• q önermesi: "3 çift sayıdır." ifadesi yanlıştır. Dolayısıyla, q ≡ Y.

"Ancak ve ancak" (↔) bağlacında, iki önermenin doğruluk değerleri aynı ise sonuç doğru, farklı ise sonuç yanlış olur.

p ↔ q ≡ Y ↔ Y

Bu durumda, p ↔ q önermesinin doğruluk değeri D (Doğru)'dir. 🎉

Bu problemi mantık bağlayıcıları ile analiz edelim:

• Önermeyi ikiye ayıralım:
  • p: "Bugün hava güneşli."
  • q: "Parka gideceğim."
• Öğrencinin kurduğu önerme p → q şeklindedir.
• Bize verilen bilgiye göre:
  • Hava güneşli (p doğru).
  • Öğrenci parka gitmedi (q yanlış).

Yani, önermenin durumu D → Y şeklindedir.

"İse" (→) bağlacının kuralına göre, doğru bir önermeden yanlış bir önermeye geçiş yapıldığında sonuç her zaman yanlıştır.

Bu nedenle, öğrencinin kurduğu önermenin doğruluk değeri Y (Yanlış)'dir. 😔

Bu durumu mantıksal olarak inceleyelim:

• Önermeyi tanımlayalım:
  • p: "Bu ay satışlar artarsa."
  • q: "Yeni bir şube açacağım."
• Mağaza sahibinin ifadesi p → q şeklindedir.
• Verilen bilgilere göre durum şöyledir:
  • Satışlar artmadı (p yanlış).
  • Yeni bir şube açıldı (q doğru).

Yani, önermenin durumu Y → D şeklindedir.

"İse" (→) bağlacının kuralına göre, yanlış bir önermeden doğru bir önermeye geçiş yapıldığında sonuç her zaman doğrudur. Mağaza sahibi, satışlar artmazsa ne yapacağı konusunda bir taahhütte bulunmamıştır; bu nedenle satışlar artmadığı halde şube açması, ifadesini yanlış kılmaz.

Bu nedenle, mağaza sahibinin ifadesinin doğruluk değeri D (Doğru)'dir. 👍

Her bir önermenin doğruluk değerini inceleyelim:

• I. \( (p \land q) \rightarrow p \)
  • Eğer \( p \land q \) doğru ise, hem p hem de q doğrudur. Bu durumda \( p \) de doğrudur. \( D \rightarrow D \) doğrudur.
  • Eğer \( p \land q \) yanlış ise, önerme \( Y \rightarrow p \) olur. Bu durumda sonuç her zaman doğrudur.
  • Dolayısıyla, bu önerme her zaman doğrudur.
• II. \( p \leftrightarrow (p \lor q) \)
  • Eğer p doğru ise: \( D \leftrightarrow (D \lor q) \). \( D \lor q \) her zaman doğrudur. \( D \leftrightarrow D \) doğrudur.
  • Eğer p yanlış ise: \( Y \leftrightarrow (Y \lor q) \). \( Y \lor q \) q'nun doğruluk değerine bağlıdır. Eğer q doğru ise \( Y \leftrightarrow D \) yanlıştır. Eğer q yanlış ise \( Y \leftrightarrow Y \) doğrudur.
  • Bu önerme her zaman doğru değildir.
• III. \( (p \lor q) \rightarrow q \)
  • Eğer \( p \lor q \) doğru ise:
    • Eğer q doğru ise: \( D \rightarrow D \) doğrudur.
    • Eğer q yanlış ise: \( p \lor Y \) yani p doğru olmalıdır. \( D \rightarrow Y \) yanlıştır.
  • Eğer \( p \lor q \) yanlış ise, hem p hem de q yanlıştır. Bu durumda önerme \( Y \rightarrow Y \) olur ve doğrudur.
  • Bu önerme her zaman doğru değildir.

Kesinlikle doğru olan önerme I'dir. ✅