💡 9. Sınıf Matematik: Mantık bağlaçları Çözümlü Örnekler

Önerme, doğru ya da yanlış olduğu kesin olarak bilinebilen yargı bildiren ifadelerdir. 💡

• A seçeneği bir duygu belirtir, kesin doğru veya yanlış değildir.
• B seçeneği bir istektir, yargı bildirmez.
• C seçeneği, "En büyük asal sayı 7'dir." ifadesi kesinlikle yanlıştır. Bu nedenle bir önermedir. ✅
• D seçeneği bir dilektir, yargı bildirmez.

Bu nedenle doğru cevap C şıkkıdır. 👉

Öncelikle verilen önermelerin doğruluk değerlerini belirleyelim:

• \( p: 2+3=5 \) ifadesi doğrudur. O halde \( p \equiv 1 \)'dir.
• \( q: 10-4=7 \) ifadesi yanlıştır, çünkü \( 10-4=6 \)'dır. O halde \( q \equiv 0 \)'dır.

Şimdi \( p \land q \) (p VE q) önermesinin doğruluk değerini hesaplayalım:

• VE ( \( \land \) ) bağlacında, sonuç ancak her iki önerme de doğru olduğunda doğru olur.
• \( p \land q \equiv 1 \land 0 \equiv 0 \)

Bu nedenle \( p \land q \) önermesinin doğruluk değeri 0'dır (yanlıştır). ❌

Verilen önermelerin doğruluk değerlerini inceleyelim:

• \( p: \sqrt{9} = 3 \) ifadesi doğrudur. O halde \( p \equiv 1 \)'dir.
• \( q: 5 \times 2 = 12 \) ifadesi yanlıştır, çünkü \( 5 \times 2 = 10 \)'dur. O halde \( q \equiv 0 \)'dır.

Şimdi \( p \lor q \) (p VEYA q) önermesinin doğruluk değerini hesaplayalım:

• VEYA ( \( \lor \) ) bağlacında, sonuç en az bir önerme doğru olduğunda doğru olur.
• \( p \lor q \equiv 1 \lor 0 \equiv 1 \)

Bu nedenle \( p \lor q \) önermesinin doğruluk değeri 1'dir (doğrudur). ✅

Öncelikle önermelerin doğruluk değerlerini belirleyelim:

• \( p: \text{Her tam sayı çifttir.} \) ifadesi yanlıştır. Örneğin 3 tek bir tam sayıdır. O halde \( p \equiv 0 \)'dır.
• \( q: \text{Bazı tam sayılar tektir.} \) ifadesi doğrudur. Örneğin 1, 3, 5 gibi sayılar tektir. O halde \( q \equiv 1 \)'dir.

Şimdi \( p \implies q \) (p İSE q) önermesinin doğruluk değerini hesaplayalım:

• İSE ( \( \implies \) ) bağlacında, sonuç yalnızca ilk önerme doğru iken ikinci önermenin yanlış olması durumunda yanlış olur. Diğer tüm durumlarda sonuç doğrudur.
• \( p \implies q \equiv 0 \implies 1 \equiv 1 \)

Bu nedenle \( p \implies q \) önermesinin doğruluk değeri 1'dir (doğrudur). 💡

Önermelerin doğruluk değerlerini inceleyelim:

• \( p: \text{İki tek sayının toplamı çifttir.} \) ifadesi doğrudur. (Örn: \( 3+5=8 \)). O halde \( p \equiv 1 \)'dir.
• \( q: \text{İki çift sayının çarpımı tektir.} \) ifadesi yanlıştır. İki çift sayının çarpımı çifttir. (Örn: \( 2 \times 4 = 8 \)). O halde \( q \equiv 0 \)'dır.

Şimdi \( p \iff q \) (p ANCAK VE ANCAK q) önermesinin doğruluk değerini hesaplayalım:

• ANCAK VE ANCAK ( \( \iff \) ) bağlacında, sonuç yalnızca iki önermenin doğruluk değerleri aynı olduğunda doğru olur.
• \( p \iff q \equiv 1 \iff 0 \equiv 0 \)

Bu nedenle \( p \iff q \) önermesinin doğruluk değeri 0'dır (yanlıştır). ❌

Verilen önerme " \( p \implies q \) " biçimindedir ve doğruluk değeri 0'dır (yanlıştır). 💡

• \( p \implies q \) önermesinin yanlış olmasının tek bir durumu vardır: p doğru iken q yanlış olmalıdır.
• Yani, "Bugün hava yağmurlu." önermesi doğru (1) olmalı ve "Okul tatil olur." önermesi yanlış (0) olmalıdır.

Soru, bu önermelerin doğruluk değerlerinin sırasıyla hangisi olamayacağını soruyor. Bu durumda, p'nin 1 ve q'nun 0 olduğu durum olamaz. ✅

• Seçeneklerde (Doğru, Yanlış) yani (1, 0) sıralaması olmamalıdır.

Bu nedenle, p doğru iken q yanlış olamaz. 👉

Bu durumu mantıksal bir önerme ile ifade edelim:

• \( p: \) "Sepetinizdeki ürünlerin toplam fiyatı 100 TL'den fazladır."
• \( q: \) "Ücretsiz kargo hakkı kazanırsınız."

Kampanya duyurusu " \( p \implies q \) " şeklinde bir koşullu önermedir. Yani, "Eğer sepetinizdeki ürünlerin toplam fiyatı 100 TL'den fazlaysa, o zaman ücretsiz kargo hakkı kazanırsınız." anlamına gelir. 💡

• Kargo ücreti ödemek istemeyen müşteri için, ücretsiz kargo hakkı kazanmak (q'nun doğru olması) önemlidir.
• Bu önermenin doğru olması ve q'nun doğru olması için, p'nin doğru olması (fiyatın 100 TL'den fazla olması) veya p'nin yanlış olup q'nun doğru olması mümkündür.
• Ancak, kampanya koşulu gereği, eğer fiyat 100 TL'den fazla değilse (p yanlışsa), ücretsiz kargo hakkı kazanıp kazanamayacağı bu önermeden çıkarılamaz. Kampanya, fiyat 100 TL'den fazla olduğunda ücretsiz kargoyu garanti eder.

Müşteri, ücretsiz kargo hakkını kesin olarak garantilemek istiyorsa, p önermesinin doğru olması gerekir. Yani, sepetini 100 TL'nin üzerine çıkarmalıdır. ✅

Bu soruda doğrudan bir mantık bağlacı sorulmuyor, ancak puanlama sistemi mantıksal bir yapıya sahip. Bu nedenle, bir senaryo üzerinden gidelim:

• Diyelim ki öğrenci x tane doğru cevap ve y tane yanlış cevap vermiştir.
• Toplam cevap sayısı 20 olduğuna göre, \( x + y = 20 \) önermesi doğrudur.
• Toplam puan \( P \) ise şu şekilde hesaplanır: \( P = (5 \times x) - (2 \times y) \)

Öğrencinin aldığı puanı hesaplamak için, öncelikle doğru ve yanlış cevap sayısını bilmemiz gerekir. Bu bilgi olmadan kesin bir puan hesaplanamaz. Ancak, bu durumu bir önerme kümesi olarak düşünebiliriz. 💡

• Örneğin, eğer öğrenci 15 doğru (x=15) ve 5 yanlış (y=5) cevap verdiyse:
• \( x + y = 15 + 5 = 20 \) (Bu önerme doğrudur).
• Toplam Puan \( P = (5 \times 15) - (2 \times 5) = 75 - 10 = 65 \) olur.

Bu senaryoda, "Öğrenci 15 doğru ve 5 yanlış cevap vermiştir" önermesi doğruysa, "Öğrencinin puanı 65'tir" önermesi de doğrudur. Bu bir koşullu önerme olarak düşünülebilir: \( (x=15 \land y=5) \implies P=65 \). ✅