🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Köklü Sayılarda Çarpma Ve Bölme Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Köklü Sayılarda Çarpma Ve Bölme Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Merhaba sevgili öğrenciler! 👋 Bu örneğimizde, köklü sayılarda çarpma işleminin en temel halini göreceğiz.
\( \sqrt{5} \) ve \( \sqrt{20} \) sayılarının çarpımının sonucunu bulunuz.
\( \sqrt{5} \) ve \( \sqrt{20} \) sayılarının çarpımının sonucunu bulunuz.
Çözüm:
Haydi bu klasik çarpma işlemini adım adım çözelim: 👇
- 💡 Kural Hatırlatma: Köklü sayılarda çarpma işlemi yaparken, kök içindeki sayıları aynı kök içinde çarpabiliriz. Yani, \( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \) kuralını kullanacağız.
- 👉 Verilen sayılar \( \sqrt{5} \) ve \( \sqrt{20} \).
- ✅ Bu kuralı uygulayarak çarpma işlemini yapalım:
\[ \sqrt{5} \cdot \sqrt{20} = \sqrt{5 \cdot 20} \] - Şimdi kök içindeki çarpma işlemini tamamlayalım:
\[ \sqrt{5 \cdot 20} = \sqrt{100} \] - Son olarak, \( \sqrt{100} \) ifadesinin değerini bulalım. Hangi sayının karesi 100'dür? Tabii ki 10!
\[ \sqrt{100} = 10 \]
Örnek 2:
Şimdi de kök önünde katsayısı olan köklü ifadeleri çarpalım.
\( 3\sqrt{6} \) ve \( 2\sqrt{3} \) sayılarının çarpımını hesaplayınız.
\( 3\sqrt{6} \) ve \( 2\sqrt{3} \) sayılarının çarpımını hesaplayınız.
Çözüm:
Bu tür işlemlerde hem katsayıları hem de kök içlerini ayrı ayrı çarpmayı unutmayın: 👇
- 💡 Kural Hatırlatma: Köklü sayılarda çarpma yaparken, katsayılar kendi aralarında, kök içleri kendi aralarında çarpılır. Yani, \( a\sqrt{x} \cdot b\sqrt{y} = (a \cdot b)\sqrt{x \cdot y} \) kuralını kullanırız.
- 👉 Verilen sayılar \( 3\sqrt{6} \) ve \( 2\sqrt{3} \).
- Öncelikle katsayıları çarpalım: \( 3 \cdot 2 = 6 \).
- Sonra kök içindeki sayıları çarpalım: \( \sqrt{6} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{6 \cdot 3} = \sqrt{18} \).
- Bu iki sonucu birleştirelim:
\[ 3\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{3} = 6\sqrt{18} \] - 📌 Önemli Not: Köklü sayılarda sonucu her zaman en sade haliyle yazmalıyız. \( \sqrt{18} \) ifadesini sadeleştirebiliriz. \( 18 = 9 \cdot 2 \) olduğundan, \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \).
- Şimdi sadeleşmiş ifadeyi yerine yazalım:
\[ 6\sqrt{18} = 6 \cdot 3\sqrt{2} \] - Son çarpma işlemini yapalım:
\[ 6 \cdot 3\sqrt{2} = 18\sqrt{2} \]
Örnek 3:
Şimdi de köklü sayılarda bölme işlemine bir göz atalım.
\( \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} \) işleminin sonucunu bulunuz.
\( \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} \) işleminin sonucunu bulunuz.
Çözüm:
Köklü sayılarda bölme işlemi de çarpmaya benzer mantıkla yapılır: 👇
- 💡 Kural Hatırlatma: Köklü sayılarda bölme işlemi yaparken, kök içindeki sayıları aynı kök içinde bölebiliriz. Yani, \( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \) kuralını kullanacağız.
- 👉 Verilen ifade \( \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} \).
- Bu kuralı uygulayarak bölme işlemini yapalım:
\[ \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{75}{3}} \] - Şimdi kök içindeki bölme işlemini tamamlayalım:
\[ \sqrt{\frac{75}{3}} = \sqrt{25} \] - Son olarak, \( \sqrt{25} \) ifadesinin değerini bulalım. Hangi sayının karesi 25'tir? Tabii ki 5!
\[ \sqrt{25} = 5 \]
Örnek 4:
Katsayılı köklü sayılarda bölme işlemi yapalım.
\( \frac{12\sqrt{98}}{4\sqrt{2}} \) işleminin sonucunu bulunuz.
\( \frac{12\sqrt{98}}{4\sqrt{2}} \) işleminin sonucunu bulunuz.
Çözüm:
Katsayıları ve kök içlerini ayrı ayrı bölmeyi unutmayın: 👇
- 💡 Kural Hatırlatma: Köklü sayılarda bölme yaparken, katsayılar kendi aralarında, kök içleri kendi aralarında bölünür. Yani, \( \frac{a\sqrt{x}}{b\sqrt{y}} = \frac{a}{b}\sqrt{\frac{x}{y}} \) kuralını kullanırız.
- 👉 Verilen ifade \( \frac{12\sqrt{98}}{4\sqrt{2}} \).
- Öncelikle katsayıları bölelim: \( \frac{12}{4} = 3 \).
- Sonra kök içindeki sayıları bölelim: \( \frac{\sqrt{98}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{98}{2}} = \sqrt{49} \).
- \( \sqrt{49} \) ifadesinin değeri 7'dir.
- Bu iki sonucu birleştirelim:
\[ \frac{12\sqrt{98}}{4\sqrt{2}} = 3 \cdot 7 \] - Son çarpma işlemini yapalım:
\[ 3 \cdot 7 = 21 \]
Örnek 5:
Matematikte paydada köklü ifade bulunması pek istenmez. Bu yüzden paydayı rasyonel yapma işlemi yaparız.
\( \frac{18}{\sqrt{6}} \) ifadesinin paydasını rasyonel yapınız.
\( \frac{18}{\sqrt{6}} \) ifadesinin paydasını rasyonel yapınız.
Çözüm:
Paydayı kökten kurtararak rasyonel hale getirelim: 👇
- 💡 Kural Hatırlatma: Bir kesrin paydasında \( \sqrt{a} \) gibi bir köklü ifade varsa, paydayı rasyonel yapmak için kesri \( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}} \) ile çarparız. Böylece payda \( \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a \) olur.
- 👉 Verilen ifade \( \frac{18}{\sqrt{6}} \).
- Paydayı rasyonel yapmak için kesri \( \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} \) ile çarpalım:
\[ \frac{18}{\sqrt{6}} = \frac{18 \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} \] - Paydadaki çarpma işlemini yapalım: \( \sqrt{6} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{36} = 6 \).
- Şimdi ifadeyi yeniden yazalım:
\[ \frac{18\sqrt{6}}{6} \] - Son olarak, paydaki 18 ile paydadaki 6'yı sadeleştirelim:
\[ \frac{18}{6}\sqrt{6} = 3\sqrt{6} \]
Örnek 6:
Şimdi hem çarpma hem de bölme işlemlerini içeren daha karmaşık bir örnek çözelim.
\( (3\sqrt{5} \cdot \sqrt{20}) \div (2\sqrt{2}) \) işleminin sonucunu bulunuz.
\( (3\sqrt{5} \cdot \sqrt{20}) \div (2\sqrt{2}) \) işleminin sonucunu bulunuz.
Çözüm:
Bu tür işlemlerde işlem sırasına dikkat ederek adım adım ilerleyelim: 👇
- 1️⃣ Önce çarpma işlemini yapalım: \( 3\sqrt{5} \cdot \sqrt{20} \)
- Katsayıları ve kök içlerini çarpalım: \( 3 \cdot 1 = 3 \) ve \( \sqrt{5 \cdot 20} = \sqrt{100} \).
- Çarpma işleminin sonucu: \( 3\sqrt{100} \).
- \( \sqrt{100} \) ifadesi \( 10 \)a eşittir. Yani \( 3 \cdot 10 = 30 \).
- 2️⃣ Şimdi bölme işlemini yapalım: Elde ettiğimiz 30 sayısını \( 2\sqrt{2} \) ile böleceğiz.
\[ \frac{30}{2\sqrt{2}} \] - Öncelikle 30 ile 2'yi sadeleştirelim: \( \frac{30}{2} = 15 \).
\[ \frac{15}{\sqrt{2}} \] - 3️⃣ Paydayı rasyonel yapalım: Paydada \( \sqrt{2} \) olduğu için kesri \( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \) ile çarpalım.
\[ \frac{15}{\sqrt{2}} = \frac{15 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} \] - Paydadaki çarpma işlemini yapalım: \( \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{4} = 2 \).
- Sonuç:
\[ \frac{15\sqrt{2}}{2} \]
Örnek 7:
Kenar uzunlukları \( 4\sqrt{3} \) metre ve \( 2\sqrt{12} \) metre olan dikdörtgen şeklindeki bir arsanın alanı kaç \( \text{m}^2 \) dir? 🤔 Bu soruyu çözerken köklü sayılarda çarpma işlemini kullanacağız.
Çözüm:
Dikdörtgenin alanını bulmak için kenar uzunluklarını çarpacağız. Ama önce köklü ifadeleri sadeleştirelim! 👇
- 1️⃣ Kenar uzunluklarını sadeleştirelim:
- Birinci kenar: \( 4\sqrt{3} \) metre. Bu zaten en sade halinde.
- İkinci kenar: \( 2\sqrt{12} \) metre. Bu ifadeyi sadeleştirebiliriz.
\( \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \).
O halde, \( 2\sqrt{12} = 2 \cdot (2\sqrt{3}) = 4\sqrt{3} \) metre. - 2️⃣ Alan hesaplaması: Dikdörtgenin alanı, kenar uzunluklarının çarpımına eşittir.
Alan = \( (\text{Birinci Kenar}) \cdot (\text{İkinci Kenar}) \)
Alan = \( 4\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} \) - 3️⃣ Çarpma işlemini yapalım: Katsayıları kendi aralarında, kök içlerini kendi aralarında çarpalım.
Alan = \( (4 \cdot 4) \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) \)
Alan = \( 16 \cdot \sqrt{3 \cdot 3} \)
Alan = \( 16 \cdot \sqrt{9} \) - 4️⃣ Sonucu bulalım: \( \sqrt{9} \) ifadesi \( 3 \)e eşittir.
Alan = \( 16 \cdot 3 \)
Alan = \( 48 \)
Örnek 8:
Bir marangoz, elindeki \( 5\sqrt{48} \) santimetre uzunluğundaki bir tahta parçasını \( \sqrt{3} \) santimetre uzunluğunda eş parçalara ayırmak istiyor. Marangoz bu tahtadan toplam kaç tane eş parça elde edebilir? 🪵 Bu soruyu çözerek günlük hayatta köklü sayılarla nasıl bölme işlemi yapabileceğimizi görelim.
Çözüm:
Marangozun elde edeceği parça sayısını bulmak için toplam uzunluğu bir parçanın uzunluğuna böleceğiz: 👇
- 1️⃣ Toplam uzunluğu sadeleştirelim: Marangozun elindeki tahta parçasının uzunluğu \( 5\sqrt{48} \) cm. Bu ifadeyi sadeleştirelim.
\( \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3} \).
O halde, toplam uzunluk \( 5 \cdot (4\sqrt{3}) = 20\sqrt{3} \) cm olur. - 2️⃣ Bölme işlemini yapalım: Toplam uzunluğu bir parçanın uzunluğuna bölelim.
Parça Sayısı = \( \frac{\text{Toplam Uzunluk}}{\text{Bir Parçanın Uzunluğu}} \)
Parça Sayısı = \( \frac{20\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \) - 3️⃣ Sadeleştirme: Pay ve paydada aynı köklü ifade olan \( \sqrt{3} \) bulunduğu için bunlar birbirini götürür (sadeleşir).
Parça Sayısı = \( \frac{20}{1} \)
Parça Sayısı = \( 20 \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-koklu-sayilarda-carpma-ve-bolme/sorular