💡 9. Sınıf Matematik: Köklü Sayılar Ve Üslü Sayılar Çözümlü Örnekler

• 👉 Çarpma İşlemi: Tabanlar aynı ise üsler toplanır.
• 👉 Bölme İşlemi: Tabanlar aynı ise üsler çıkarılır.

• ✅ İlk olarak çarpma işlemini yapalım: \( 2^3 \times 2^5 = 2^{(3+5)} = 2^8 \)
• ✅ Ardından bölme işlemini yapalım: \( 2^8 \div 2^4 = 2^{(8-4)} = 2^4 \)
• ✅ Son olarak \( 2^4 \) değerini hesaplayalım: \( 2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16 \)

İşlemin sonucu 16'dır. 💡

• ✅ \( \sqrt{75} \): 75 sayısını çarpanlarına ayıralım. \( 75 = 25 \times 3 \). O halde \( \sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt{3} = 5\sqrt{3} \)
• ✅ \( \sqrt{27} \): 27 sayısını çarpanlarına ayıralım. \( 27 = 9 \times 3 \). O halde \( \sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = \sqrt{9} \times \sqrt{3} = 3\sqrt{3} \)
• ✅ \( \sqrt{12} \): 12 sayısını çarpanlarına ayıralım. \( 12 = 4 \times 3 \). O halde \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \)

• ✅ \( 5\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} \)
• ✅ Kök içleri aynı olduğu için katsayıları toplayıp çıkarabiliriz: \( (5 + 3 - 2)\sqrt{3} \)
• ✅ \( (8 - 2)\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \)

İşlemin sonucu \( 6\sqrt{3} \)'tür. ✅

• 👉 Üssün Üssü: \( (a^m)^n = a^{m \times n} \)
• 👉 Negatif Üs: \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \)

• ✅ İlk ifadeyi ele alalım: \( ((-3)^2)^3 \)
  • Parantez içindeki \( (-3)^2 = 9 \) olur (negatif sayının çift kuvveti pozitiftir).
  • Şimdi \( (9)^3 \) işlemini yapalım: \( 9^3 = 9 \times 9 \times 9 = 81 \times 9 = 729 \)
  • Alternatif olarak üssün üssü kuralını doğrudan uygulayabiliriz: \( ((-3)^2)^3 = (-3)^{2 \times 3} = (-3)^6 \). Negatif sayının çift kuvveti pozitif olacağı için \( 3^6 = 729 \).
• ✅ İkinci ifadeyi ele alalım: \( (2^{-1})^2 \)
  • Negatif üs kuralını uygulayalım: \( 2^{-1} = \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2} \)
  • Şimdi \( (\frac{1}{2})^2 \) işlemini yapalım: \( (\frac{1}{2})^2 = \frac{1^2}{2^2} = \frac{1}{4} \)
• ✅ Son olarak iki ifadenin çarpımını bulalım: \( 729 \times \frac{1}{4} = \frac{729}{4} \)

İşlemin sonucu \( \frac{729}{4} \)'tür. ✅

• 👉 Kök İçinde Bölme: Kök dereceleri aynı ise \( \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} \)
• 👉 Kök İçinde Çarpma: Kök dereceleri aynı ise \( \sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \times b} \)

• ✅ İlk olarak bölme işlemini yapalım: \( \frac{\sqrt[3]{108}}{\sqrt[3]{4}} \)
  • Kök dereceleri aynı (küpkök), o halde kök içlerini bölebiliriz: \( \sqrt[3]{\frac{108}{4}} \)
  • \( \frac{108}{4} = 27 \) olduğundan ifade \( \sqrt[3]{27} \) olur.
  • \( \sqrt[3]{27} = 3 \) çünkü \( 3 \times 3 \times 3 = 27 \).
• ✅ Şimdi \( \sqrt{50} \) ifadesini sadeleştirelim:
  • \( 50 = 25 \times 2 \) olduğundan \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \)
• ✅ Son olarak bulduğumuz değerleri çarpalım: \( 3 \times 5\sqrt{2} = 15\sqrt{2} \)

İşlemin sonucu \( 15\sqrt{2} \)'dir. ✅

• 👉 Paydayı Rasyonelleştirme: Paydada \( \sqrt{a} \) şeklinde bir ifade varsa, kesri \( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}} \) ile çarparak paydayı rasyonel hale getirebiliriz. Çünkü \( \sqrt{a} \times \sqrt{a} = a \) olur.

• ✅ Paydadaki \( \sqrt{6} \) ifadesini rasyonel yapmak için kesri \( \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} \) ile çarpalım.
• ✅ \( \frac{12}{\sqrt{6}} \times \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} \)
• ✅ Payları çarpalım: \( 12 \times \sqrt{6} = 12\sqrt{6} \)
• ✅ Paydaları çarpalım: \( \sqrt{6} \times \sqrt{6} = 6 \)
• ✅ Yeni kesrimiz: \( \frac{12\sqrt{6}}{6} \)
• ✅ Sadeleştirme yapalım: \( \frac{12}{6} = 2 \). Yani \( 2\sqrt{6} \)

İfadenin rasyonel hale getirilmiş hali \( 2\sqrt{6} \)'dır. ✅

• ✅ Bakterinin orijinal boyutu: \( 2.5 \times 10^{-6} \) metre.
• ✅ Büyütme oranı: 400 kat.
• ✅ Birim dönüştürme: 1 metre = \( 10^3 \) milimetre.

• 1️⃣ Bakterinin büyütülmüş halini metre cinsinden bulalım:
  • Orijinal boyut \( 2.5 \times 10^{-6} \) metreyi 400 ile çarpalım.
  • \( (2.5 \times 10^{-6}) \times 400 \)
  • \( 2.5 \times 400 = 1000 \)
  • Yani \( 1000 \times 10^{-6} \) metre.
  • \( 1000 = 10^3 \) olduğu için \( 10^3 \times 10^{-6} = 10^{(3-6)} = 10^{-3} \) metre.
• 2️⃣ Büyütülmüş boyutu milimetre cinsine çevirelim:
  • 1 metre = \( 10^3 \) mm olduğunu biliyoruz.
  • Büyütülmüş boyut \( 10^{-3} \) metreyi milimetreye çevirmek için \( 10^3 \) ile çarpalım.
  • \( 10^{-3} \times 10^3 = 10^{(-3+3)} = 10^0 \) mm.
  • \( 10^0 = 1 \) olduğu için sonuç 1 mm'dir.

Mikroskop altında büyütülmüş bakterinin boyutu 1 milimetre olur. 📏

• 👉 Dikdörtgenin Çevresi: Uzun kenar (a) ve kısa kenar (b) olan bir dikdörtgenin çevresi \( 2 \times (a + b) \) formülü ile bulunur.

• ✅ Uzun kenar (a) = \( 3\sqrt{5} \) cm
• ✅ Kısa kenar (b) = \( 2\sqrt{5} \) cm
• ✅ Çevre formülünü uygulayalım: \( 2 \times (3\sqrt{5} + 2\sqrt{5}) \)
• ✅ Parantez içindeki köklü sayıları toplayalım. Kök içleri aynı olduğu için katsayılar toplanır: \( 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = (3+2)\sqrt{5} = 5\sqrt{5} \)
• ✅ Şimdi bu değeri 2 ile çarpalım: \( 2 \times 5\sqrt{5} = 10\sqrt{5} \)

Resim çerçevesinin çevresi \( 10\sqrt{5} \) cm'dir. ✅

• ✅ Başlangıç kalınlığı: 0.1 mm
• ✅ Katlama sayısı: 5 kez
• ✅ Her katlamada kalınlık 2 katına çıkıyor.

• 1️⃣ 1. katlamada: Kalınlık \( 0.1 \times 2^1 \) mm olur.
• 2️⃣ 2. katlamada: Kalınlık \( 0.1 \times 2 \times 2 = 0.1 \times 2^2 \) mm olur.
• 3️⃣ 3. katlamada: Kalınlık \( 0.1 \times 2 \times 2 \times 2 = 0.1 \times 2^3 \) mm olur.
• ...
• 5️⃣ 5. katlamada: Kalınlık \( 0.1 \times 2^5 \) mm olur.

• ✅ \( 2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32 \)
• ✅ Kalınlık = \( 0.1 \times 32 = 3.2 \) mm

5 kez katlandıktan sonra kağıt yığınının kalınlığı 3.2 mm olur. 🤯 Bu basit örnek bile üslü büyümenin ne kadar hızlı olduğunu gösterir!