📄 9. Sınıf Matematik: Köklü ifadeler Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Öncelikle her bir köklü ifadeyi \(a\sqrt{b}\) şeklinde yazalım:

1. \(\sqrt{27}\): \(27 = 9 \times 3\) olduğu için \(\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = \sqrt{9} \times \sqrt{3} = 3\sqrt{3}\).

2. \(\sqrt{48}\): \(48 = 16 \times 3\) olduğu için \(\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = \sqrt{16} \times \sqrt{3} = 4\sqrt{3}\).

3. \(\sqrt{12}\): \(12 = 4 \times 3\) olduğu için \(\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}\).



Şimdi bu ifadeleri orijinal denklemde yerine yazıp toplama ve çıkarma işlemlerini yapalım:

\(3\sqrt{3} + 4\sqrt{3} - 2\sqrt{3}\)



Kök içleri (\(3\)) ve kök dereceleri (\(2\)) aynı olduğu için katsayıları toplayıp çıkarabiliriz:

\((3 + 4 - 2)\sqrt{3} = (7 - 2)\sqrt{3} = 5\sqrt{3}\).



Cevap: \(5\sqrt{3}\).

💡 Çözüm Adımları:

Bu ifade, \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\) özdeşliğine benzer. Bu özdeşlik, iki kare farkı olarak bilinir.



Verilen ifadede \(a = \sqrt{7}\) ve \(b = 3\) olarak alabiliriz.



Şimdi özdeşliği uygulayalım:

\((\sqrt{7})^2 - (3)^2\)



\((\sqrt{7})^2\) ifadesi \(7\)'ye eşittir çünkü kare alma işlemi karekökü ortadan kaldırır.

\((3)^2\) ifadesi \(9\)'a eşittir.



Sonuç olarak, işlem şu hale gelir:

\(7 - 9 = -2\).



Cevap: \(-2\).

💡 Çözüm Adımları:

Bir kesrin paydasını rasyonel yapmak için, paydadaki köklü ifadeyi kendisiyle çarparız. Ancak kesrin değerini değiştirmemek için hem payı hem de paydayı aynı ifadeyle çarpmamız gerekir.



Burada payda \(\sqrt{5}\) olduğu için, kesri \(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\) ile çarpacağız:

\(\frac{10}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\)



Çarpma işlemini yapalım:

Pay: \(10 \times \sqrt{5} = 10\sqrt{5}\)

Payda: \(\sqrt{5} \times \sqrt{5} = (\sqrt{5})^2 = 5\)



Böylece ifade şu hale gelir:

\(\frac{10\sqrt{5}}{5}\)



Şimdi paydaki \(10\) ile paydadaki \(5\)'i sadeleştirebiliriz:

\(\frac{10}{5} \times \sqrt{5} = 2\sqrt{5}\).



Cevap: \(2\sqrt{5}\).