🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Köklü ifade Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Köklü ifade Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıdaki karekökleri hesaplayınız:
a) \( \sqrt{36} \)
b) \( \sqrt{144} \)
c) \( \sqrt{0.25} \)
a) \( \sqrt{36} \)
b) \( \sqrt{144} \)
c) \( \sqrt{0.25} \)
Çözüm:
Bu örnekte, tam kare sayıların kareköklerini alacağız. Karekök, bir sayının kendisiyle çarpıldığında o sayıyı veren değeri bulma işlemidir.
- a) \( \sqrt{36} \): Hangi sayının karesi 36'dır? 6'nın. Çünkü \( 6 \times 6 = 36 \). O halde \( \sqrt{36} = 6 \). 💡
- b) \( \sqrt{144} \): Hangi sayının karesi 144'tür? 12'nin. Çünkü \( 12 \times 12 = 144 \). O halde \( \sqrt{144} = 12 \). ✅
- c) \( \sqrt{0.25} \): Ondalık sayılarda karekök alırken, sayıyı kesir olarak düşünebiliriz. \( 0.25 = \frac{25}{100} \). Şimdi karekökünü alalım: \( \sqrt{\frac{25}{100}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{100}} = \frac{5}{10} = 0.5 \). O halde \( \sqrt{0.25} = 0.5 \). 👉
Örnek 2:
\( \sqrt{2} \) ve \( \sqrt{3} \) değerleri bilindiğine göre, aşağıdaki işlemleri yapınız:
a) \( 5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} \)
b) \( 7\sqrt{3} - 2\sqrt{3} \)
a) \( 5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} \)
b) \( 7\sqrt{3} - 2\sqrt{3} \)
Çözüm:
Köklü sayılarda toplama ve çıkarma yaparken, kök içlerinin aynı olması gerekir. Tıpkı cebirsel ifadelerdeki benzer terimleri toplar gibi.
- a) \( 5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} \): Kök içleri aynı (\( \sqrt{2} \)). Katsayıları toplarız: \( (5+3)\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \). ➕
- b) \( 7\sqrt{3} - 2\sqrt{3} \): Kök içleri aynı (\( \sqrt{3} \)). Katsayıları çıkarırız: \( (7-2)\sqrt{3} = 5\sqrt{3} \). ➖
Örnek 3:
Aşağıdaki çarpma işlemini yapınız:
\( \sqrt{5} \times \sqrt{7} \)
\( \sqrt{5} \times \sqrt{7} \)
Çözüm:
Kök içleri farklı olan iki sayının çarpımını yaparken, köklerin dereceleri aynı ise kök içlerini çarpıp tek bir kök altında yazabiliriz.
- \( \sqrt{5} \times \sqrt{7} \): Her ikisi de karekök (derece 2). Kök içlerini çarparız: \( \sqrt{5 \times 7} = \sqrt{35} \). ✖️
Örnek 4:
Aşağıdaki bölme işlemini yapınız:
\( \frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}} \)
\( \frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}} \)
Çözüm:
Kök içleri farklı olan iki sayının bölümünü yaparken, köklerin dereceleri aynı ise kök içlerini birbirine bölüp tek bir kök altında yazabiliriz.
- \( \frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}} \): Her ikisi de karekök. Kök içlerini böleriz: \( \sqrt{\frac{48}{3}} = \sqrt{16} \). ➗
- Şimdi \( \sqrt{16} \) işlemini yaparız. Hangi sayının karesi 16'dır? 4'ün. O halde \( \sqrt{16} = 4 \). ✅
Örnek 5:
\( \sqrt{18} \) sayısını \( a\sqrt{b} \) şeklinde yazınız, burada \( b \) en küçük pozitif tam sayıdır.
Çözüm:
Bir sayının karekökünü \( a\sqrt{b} \) şeklinde yazmak için, kök içindeki sayıyı bir tam kare sayı ile başka bir sayının çarpımı şeklinde yazarız. Tam kare çarpanı kök dışına çıkar.
- \( \sqrt{18} \): 18 sayısını çarpanlarına ayıralım. 18'in çarpanları arasında bir tam kare sayı var mı? Evet, 9. \( 18 = 9 \times 2 \). 💡
- Şimdi \( \sqrt{18} \) yerine \( \sqrt{9 \times 2} \) yazabiliriz.
- Kural gereği, \( \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} \).
- \( \sqrt{9} = 3 \) olduğu için, işlem \( 3 \times \sqrt{2} \) yani \( 3\sqrt{2} \) olur.
- Burada \( a=3 \) ve \( b=2 \)'dir. \( b=2 \) en küçük pozitif tam sayıdır. ✅
Örnek 6:
Bir kenar uzunluğu \( \sqrt{50} \) cm olan kare şeklindeki bir bahçenin etrafına, her bir metreye \( \sqrt{2} \) metre tel çekilecektir. Bahçenin çevresine kaç metre tel çekilir?
Çözüm:
Bu soruda önce bahçenin çevresini, sonra da çekilecek tel miktarını hesaplayacağız.
- 1. Adım: Bahçenin Çevresini Hesaplama
- Kare şeklindeki bahçenin bir kenar uzunluğu \( \sqrt{50} \) cm'dir.
- Kare şeklindeki bir cismin çevresi, bir kenar uzunluğunun 4 katıdır.
- Çevre = \( 4 \times \sqrt{50} \).
- \( \sqrt{50} \) sayısını \( a\sqrt{b} \) şeklinde yazalım: \( 50 = 25 \times 2 \). O halde \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \) cm.
- Bahçenin çevresi = \( 4 \times 5\sqrt{2} = 20\sqrt{2} \) cm. 📏
- 2. Adım: Çekilecek Tel Miktarını Hesaplama
- Soruda birimlerin farklı olduğuna dikkat edelim. Bahçe çevresi cm cinsinden, tel metresi metre cinsinden verilmiş. Soruda bir hata olabilir veya cm'yi metreye çevirmemiz gerekebilir. Soruyu "bir kenar uzunluğu \( \sqrt{50} \) metre olan..." olarak varsayalım ve devam edelim.
- Eğer bir kenar uzunluğu \( \sqrt{50} \) metre ise, çevre \( 20\sqrt{2} \) metredir.
- Her bir metreye \( \sqrt{2} \) metre tel çekilecektir. Bu ifade biraz kafa karıştırıcı. "Her metre için \( \sqrt{2} \) metre tel" demek, toplam tel miktarının çevrenin \( \sqrt{2} \) katı olması anlamına gelir.
- Toplam Tel = Çevre \( \times \sqrt{2} \)
- Toplam Tel = \( 20\sqrt{2} \times \sqrt{2} \)
- \( \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2 \) olduğu için, Toplam Tel = \( 20 \times 2 = 40 \) metre. 🔗
Örnek 7:
Bir marangoz, uzunluğu \( \sqrt{72} \) metre olan bir tahtayı, her biri \( \sqrt{8} \) metre uzunluğunda olacak şekilde eşit parçalara ayıracaktır. Marangoz bu tahtadan kaç parça elde eder?
Çözüm:
Bu problemde, büyük bir uzunluğu daha küçük eşit uzunluklara böleceğiz. Bu da bölme işlemi gerektirir.
- 1. Adım: Verilen Uzunlukları Sadeleştirme
- Marangozun elindeki tahtanın uzunluğu: \( \sqrt{72} \) metre.
- \( \sqrt{72} \) sayısını \( a\sqrt{b} \) şeklinde yazalım: \( 72 = 36 \times 2 \). O halde \( \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2} \) metre. 🪵
- Elde edilecek her bir parçanın uzunluğu: \( \sqrt{8} \) metre.
- \( \sqrt{8} \) sayısını \( a\sqrt{b} \) şeklinde yazalım: \( 8 = 4 \times 2 \). O halde \( \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = \sqrt{4} \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \) metre. 📏
- 2. Adım: Parça Sayısını Hesaplama
- Toplam uzunluğu, bir parçanın uzunluğuna bölerek kaç parça elde edileceğini buluruz.
- Parça Sayısı = \( \frac{\text{Toplam Uzunluk}}{\text{Bir Parça Uzunluğu}} \)
- Parça Sayısı = \( \frac{6\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} \)
- Burada \( \sqrt{2} \) 'ler birbirini götürür.
- Parça Sayısı = \( \frac{6}{2} = 3 \).
- Marangoz bu tahtadan 3 parça elde eder. ✅
Örnek 8:
\( \sqrt{a^2 \times b} = a\sqrt{b} \) ve \( \sqrt{a^2} = |a| \) olduğunu biliyoruz. Buna göre, \( \sqrt{27} + \sqrt{48} - \sqrt{12} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
Bu soruda, kök içindeki sayıları sadeleştirerek toplama ve çıkarma işlemleri yapacağız.
- 1. Adım: Her Bir Köklü İfadeyi Sadeleştirme
- \( \sqrt{27} \): \( 27 = 9 \times 3 \). O halde \( \sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = \sqrt{9} \times \sqrt{3} = 3\sqrt{3} \). 💡
- \( \sqrt{48} \): \( 48 = 16 \times 3 \). O halde \( \sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = \sqrt{16} \times \sqrt{3} = 4\sqrt{3} \). 💡
- \( \sqrt{12} \): \( 12 = 4 \times 3 \). O halde \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \). 💡
- 2. Adım: Sadeleştirilmiş İfadeleri Yerine Koyma ve İşlemi Yapma
- İşlemimiz şu hale geldi: \( 3\sqrt{3} + 4\sqrt{3} - 2\sqrt{3} \).
- Tüm terimlerin kök kısmı aynı (\( \sqrt{3} \)). Katsayıları toplayıp çıkarabiliriz.
- \( (3 + 4 - 2)\sqrt{3} \)
- \( (7 - 2)\sqrt{3} \)
- \( 5\sqrt{3} \). ✅
Örnek 9:
\( \sqrt{x} = 5 \) olduğuna göre, \( \sqrt{25x} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözüm:
Bu soruda, verilen bilgiyi kullanarak istenen ifadeyi hesaplayacağız. Karekök özelliklerini kullanacağız.
- 1. Adım: Verilen Bilgiyi Kullanma
- Bize \( \sqrt{x} = 5 \) bilgisi verilmiş.
- Bu eşitliğin her iki tarafının karesini alırsak \( (\sqrt{x})^2 = 5^2 \) olur.
- Bu da \( x = 25 \) anlamına gelir. 💡
- 2. Adım: İstenen İfadeyi Hesaplama
- Hesaplamamız gereken ifade \( \sqrt{25x} \).
- \( x \) yerine bulduğumuz 25 değerini yazalım: \( \sqrt{25 \times 25} \).
- \( 25 \times 25 = 625 \).
- O halde \( \sqrt{25x} = \sqrt{625} \).
- \( \sqrt{625} \) işlemini yapalım. Hangi sayının karesi 625'tir? 25'in. Çünkü \( 25 \times 25 = 625 \).
- Yani, \( \sqrt{625} = 25 \). ✅
- Alternatif Çözüm Yolu:
- \( \sqrt{25x} \) ifadesini \( \sqrt{25} \times \sqrt{x} \) şeklinde yazabiliriz.
- \( \sqrt{25} = 5 \) olduğunu biliyoruz.
- Bize \( \sqrt{x} = 5 \) olarak verilmişti.
- O halde \( \sqrt{25x} = 5 \times 5 = 25 \). Bu yol daha kısa ve pratiktir. 👉
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-koklu-ifade/sorular