🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Köklü Gösterimi Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Köklü Gösterimi Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
📌 Soru 1: Aşağıdaki köklü ifadeyi \(a\sqrt{b}\) şeklinde yazınız.
\( \sqrt{108} \)
\( \sqrt{108} \)
Çözüm:
Bu ifadeyi \(a\sqrt{b}\) şeklinde yazmak için kök içindeki sayıyı çarpanlarına ayırırız. Amacımız, çarpanlar arasında tam kare bir sayı bulmaktır. 👇
- 💡 Adım 1: 108 sayısının çarpanlarını bulalım.
\( 108 = 2 \times 54 = 2 \times 2 \times 27 = 2^2 \times 3 \times 9 = 2^2 \times 3 \times 3^2 \)
Veya daha basitçe, 108'in en büyük tam kare çarpanını arayalım.
\( 108 = 36 \times 3 \) - 👉 Adım 2: Köklü ifadeyi bu çarpanlar cinsinden yazalım.
\( \sqrt{108} = \sqrt{36 \times 3} \) - ✅ Adım 3: Köklü sayının özelliklerini kullanarak tam kare olan sayıyı kök dışına çıkaralım.
\( \sqrt{36 \times 3} = \sqrt{36} \times \sqrt{3} = 6\sqrt{3} \)
Örnek 2:
📌 Soru 2: Aşağıdaki işlemin sonucunu bulunuz.
\( \sqrt{75} - 2\sqrt{12} + \sqrt{27} \)
\( \sqrt{75} - 2\sqrt{12} + \sqrt{27} \)
Çözüm:
Köklü sayılarda toplama ve çıkarma yapabilmek için kök içindeki sayıların aynı olması gerekir. Bu yüzden önce tüm köklü ifadeleri \(a\sqrt{b}\) şeklinde yazarak basitleştirmeliyiz. 👇
- 💡 Adım 1: Her bir köklü ifadeyi \(a\sqrt{b}\) şeklinde yazalım.
\( \sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3} \)
\( \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3} \)
\( \sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3} \) - 👉 Adım 2: Bulduğumuz basitleştirilmiş ifadeleri yerine yazalım.
\( 5\sqrt{3} - 2(2\sqrt{3}) + 3\sqrt{3} \) - ✅ Adım 3: İşlemleri yapalım.
\( 5\sqrt{3} - 4\sqrt{3} + 3\sqrt{3} \)
Şimdi katsayıları toplayıp çıkarabiliriz, çünkü kök içleri aynı (\( \sqrt{3} \)).
\( (5 - 4 + 3)\sqrt{3} = (1 + 3)\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \)
Örnek 3:
📌 Soru 3: Aşağıdaki işlemin sonucunu bulunuz.
\( (3\sqrt{2}) \times (\sqrt{18} - \sqrt{8}) \)
\( (3\sqrt{2}) \times (\sqrt{18} - \sqrt{8}) \)
Çözüm:
Bu işlemde hem çarpma hem de çıkarma var. Önce parantez içini basitleştirebilir veya çarpma işlemini dağıtabiliriz. Parantez içini basitleştirmek daha kolay olacaktır. 👇
- 💡 Adım 1: Parantez içindeki köklü ifadeleri \(a\sqrt{b}\) şeklinde yazarak basitleştirelim.
\( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2} \)
\( \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2} \) - 👉 Adım 2: Basitleştirilmiş ifadeleri parantez içine yazalım ve parantez içindeki çıkarma işlemini yapalım.
\( \sqrt{18} - \sqrt{8} = 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = (3-2)\sqrt{2} = 1\sqrt{2} = \sqrt{2} \) - ✅ Adım 3: Şimdi ilk ifade ile parantezin sonucunu çarpalım.
\( (3\sqrt{2}) \times (\sqrt{2}) \)
Köklü ifadeleri çarparken katsayılar kendi aralarında, kök içleri kendi aralarında çarpılır.
\( 3 \times ( \sqrt{2} \times \sqrt{2} ) = 3 \times \sqrt{4} = 3 \times 2 = 6 \)
Örnek 4:
📌 Soru 4: Aşağıdaki işlemin sonucunu bulunuz.
\( \frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}} + \frac{6}{\sqrt{3}} \)
\( \frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}} + \frac{6}{\sqrt{3}} \)
Çözüm:
Bu işlemde hem köklü sayılarda bölme hem de paydanın rasyonel yapılması gerekiyor. 👇
- 💡 Adım 1: İlk terimi basitleştirelim: \( \frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}} \).
Kök içindeki sayılar bölünebilir: \( \frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{72}{2}} = \sqrt{36} = 6 \) - 👉 Adım 2: İkinci terimin paydasını rasyonel yapalım: \( \frac{6}{\sqrt{3}} \).
Paydayı rasyonel yapmak için ifadeyi paydadaki köklü ifade ile (\( \sqrt{3} \)) çarparız.
\( \frac{6}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} \)
Şimdi sadeleştirme yapabiliriz: \( \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \) - ✅ Adım 3: Bulduğumuz sonuçları toplayalım.
\( 6 + 2\sqrt{3} \)
Örnek 5:
📌 Soru 5: Aşağıdaki işlemin sonucunu bulunuz.
\( (\sqrt{5} + \sqrt{2})^2 - \sqrt{40} \)
\( (\sqrt{5} + \sqrt{2})^2 - \sqrt{40} \)
Çözüm:
Bu soruda tam kare ifade açılımı ve köklü sayılarla işlemler bulunmaktadır. 👇
- 💡 Adım 1: \( (\sqrt{5} + \sqrt{2})^2 \) ifadesini açalım.
Hatırlayalım: \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
Burada \( a = \sqrt{5} \) ve \( b = \sqrt{2} \).
\( (\sqrt{5})^2 + 2 \times \sqrt{5} \times \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 \)
\( = 5 + 2\sqrt{10} + 2 \)
\( = 7 + 2\sqrt{10} \) - 👉 Adım 2: \( \sqrt{40} \) ifadesini basitleştirelim.
\( \sqrt{40} = \sqrt{4 \times 10} = 2\sqrt{10} \) - ✅ Adım 3: Şimdi bulduğumuz sonuçları ana işlemde yerine yazıp çıkarma işlemini yapalım.
\( (7 + 2\sqrt{10}) - 2\sqrt{10} \)
\( = 7 + 2\sqrt{10} - 2\sqrt{10} \)
\( = 7 \)
Örnek 6:
📐 Soru 6: Bir kenar uzunluğu \( x \) birim olan kare şeklindeki bir bahçenin alanı \( 98 \) metrekaredir. Bu bahçenin çevresini bulunuz.
Çözüm:
Bu soru, köklü sayıları kullanarak bir geometrik şeklin çevresini hesaplama becerisini ölçer. 👇
- 💡 Adım 1: Karenin alan formülünü hatırlayalım.
Karenin alanı = \( \text{kenar} \times \text{kenar} = \text{kenar}^2 \).
Soruda alan \( 98 \) metrekare olarak verilmiş. Yani, \( x^2 = 98 \). - 👉 Adım 2: Karenin bir kenar uzunluğunu bulmak için denklemi çözelim.
\( x^2 = 98 \implies x = \sqrt{98} \)
\( \sqrt{98} \) ifadesini \(a\sqrt{b}\) şeklinde yazarak basitleştirelim.
\( \sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2} = \sqrt{49} \times \sqrt{2} = 7\sqrt{2} \) metre.
Yani, bahçenin bir kenar uzunluğu \( 7\sqrt{2} \) metredir. - ✅ Adım 3: Bahçenin çevresini hesaplayalım.
Karenin çevresi = \( 4 \times \text{kenar} \).
Çevre = \( 4 \times 7\sqrt{2} = 28\sqrt{2} \) metre.
Örnek 7:
🏡 Soru 7: Ayşe Hanım, dikdörtgen şeklinde bir masa örtüsü dikmek istiyor. Örtünün uzun kenarı \( \sqrt{125} \) cm, kısa kenarı ise \( \sqrt{45} \) cm uzunluğundadır. Ayşe Hanım, masanın kenarlarına dantel geçirmek için toplam kaç cm dantel almalıdır?
Çözüm:
Bu soru, günlük hayatta karşılaşabileceğimiz bir uzunluk ölçümü ve toplama işlemini köklü sayılarla ilişkilendirir. Aslında masanın çevresini bulmamız gerekiyor. 👇
- 💡 Adım 1: Masa örtüsünün uzun ve kısa kenar uzunluklarını \(a\sqrt{b}\) şeklinde basitleştirelim.
Uzun kenar: \( \sqrt{125} = \sqrt{25 \times 5} = 5\sqrt{5} \) cm.
Kısa kenar: \( \sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5} \) cm. - 👉 Adım 2: Dikdörtgenin çevre formülünü hatırlayalım.
Çevre = \( 2 \times (\text{uzun kenar} + \text{kısa kenar}) \). - ✅ Adım 3: Kenar uzunluklarını formülde yerine yazarak çevreyi hesaplayalım.
Çevre = \( 2 \times (5\sqrt{5} + 3\sqrt{5}) \)
Önce parantez içindeki toplama işlemini yapalım:
\( 5\sqrt{5} + 3\sqrt{5} = (5+3)\sqrt{5} = 8\sqrt{5} \) cm.
Şimdi 2 ile çarpalım:
Çevre = \( 2 \times 8\sqrt{5} = 16\sqrt{5} \) cm.
Örnek 8:
🔢 Soru 8: Aşağıdaki sayıları küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
\( A = 3\sqrt{5} \), \( B = 4\sqrt{3} \), \( C = 5\sqrt{2} \)
\( A = 3\sqrt{5} \), \( B = 4\sqrt{3} \), \( C = 5\sqrt{2} \)
Çözüm:
Köklü sayıları sıralamak için, tüm sayıları kök içine alarak karşılaştırmak en kolay yöntemdir. Bir sayıyı kök içine alırken karesini alırız. 👇
- 💡 Adım 1: Her bir sayıyı kök içine alalım.
\( A = 3\sqrt{5} \) ifadesinde 3'ü kök içine alırken karesini alırız: \( 3^2 = 9 \).
\( A = \sqrt{9 \times 5} = \sqrt{45} \) - 👉 Adım 2: Aynı işlemi diğer sayılar için de yapalım.
\( B = 4\sqrt{3} \) ifadesinde 4'ü kök içine alalım: \( 4^2 = 16 \).
\( B = \sqrt{16 \times 3} = \sqrt{48} \)
\( C = 5\sqrt{2} \) ifadesinde 5'i kök içine alalım: \( 5^2 = 25 \).
\( C = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{50} \) - ✅ Adım 3: Şimdi kök içindeki sayıları karşılaştırarak sıralama yapabiliriz.
Elde ettiğimiz sayılar: \( \sqrt{45}, \sqrt{48}, \sqrt{50} \).
Kök içindeki sayı ne kadar büyükse, köklü sayının değeri de o kadar büyüktür.
\( 45 < 48 < 50 \) olduğundan, sıralama şu şekildedir:
\( \sqrt{45} < \sqrt{48} < \sqrt{50} \)
Yani, \( A < B < C \).
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-koklu-gosterimi/sorular