💡 9. Sınıf Matematik: Kökler Çözümlü Örnekler

Bu örnekte, tam kare sayılarla karekök alma işlemini pekiştireceğiz. 💡

• 1. \( \sqrt{16} \): Hangi sayının karesi 16'dır? Cevap 4'tür. Çünkü \( 4^2 = 16 \). Dolayısıyla, \( \sqrt{16} = 4 \). ✅
• 2. \( \sqrt{81} \): Hangi sayının karesi 81'dir? Cevap 9'dur. Çünkü \( 9^2 = 81 \). Dolayısıyla, \( \sqrt{81} = 9 \). ✅
• 3. \( \sqrt{144} \): Hangi sayının karesi 144'tür? Cevap 12'dir. Çünkü \( 12^2 = 144 \). Dolayısıyla, \( \sqrt{144} = 12 \). ✅

Bu sayede tam karelerin kareköklerini kolayca bulabilirsiniz. 📌

Bu örnekte, karekök içindeki sayıyı çarpanlarına ayırarak en sade hale getirmeyi öğreneceğiz. 💡

• 1. \( \sqrt{50} \): 50 sayısını tam kare çarpanı ve başka bir sayının çarpımı şeklinde yazalım. \( 50 = 25 \times 2 \). Karekök özelliğini kullanarak \( \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} \) şeklinde ayırabiliriz. \( \sqrt{25} = 5 \) olduğundan, ifade \( 5\sqrt{2} \) olur. ✅
• 2. \( \sqrt{72} \): 72 sayısını tam kare çarpanı ile yazalım. \( 72 = 36 \times 2 \). \( \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2} \). ✅
• 3. \( \sqrt{200} \): 200 sayısını tam kare çarpanı ile yazalım. \( 200 = 100 \times 2 \). \( \sqrt{100 \times 2} = \sqrt{100} \times \sqrt{2} = 10\sqrt{2} \). ✅

Bir sayıyı en sade hale getirirken, karekök dışına çıkarabileceğiniz en büyük tam kareyi bulmaya çalışın. 👉

Bu örnekte, kareköklü sayılarla toplama ve çıkarma işlemlerini inceleyeceğiz. 💡

• 1. \( \sqrt{4} + \sqrt{9} \): Önce karekökleri hesaplayalım: \( \sqrt{4} = 2 \) ve \( \sqrt{9} = 3 \). Toplama işlemini yaparsak: \( 2 + 3 = 5 \). ✅
• 2. \( \sqrt{25} - \sqrt{16} \): Karekökleri hesaplayalım: \( \sqrt{25} = 5 \) ve \( \sqrt{16} = 4 \). Çıkarma işlemini yaparsak: \( 5 - 4 = 1 \). ✅
• 3. \( 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} \): Karekökleri aynı olan terimleri toplayabiliriz. Tıpkı değişkenli terimler gibi düşünün (örneğin \( 3x + 5x = 8x \)). Burada \( \sqrt{2} \) aynıdır. Katsayıları toplarız: \( (3+5)\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \). ✅

Karekökleri aynı olan terimler toplanıp çıkarılabilir. 📌

Bu örnekte, kareköklü sayılarla çarpma işlemini gerçekleştireceğiz. 💡

• İşlem: \( \sqrt{3} \times \sqrt{12} \)
  Kareköklü sayılarla çarpma yaparken, kök içlerini çarpıp tek bir kök altında yazabiliriz: \( \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b} \).
  Bu kuralı uygulayarak: \( \sqrt{3 \times 12} = \sqrt{36} \). ✅
• Sonucu Hesaplama: \( \sqrt{36} \) ifadesinin değeri 6'dır, çünkü \( 6^2 = 36 \).
  Dolayısıyla, \( \sqrt{3} \times \sqrt{12} = 6 \). ✅

Alternatif olarak, önce \( \sqrt{12} \) ifadesini en sade hale getirebilirdik: \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3} \).
Sonra çarpma işlemini yapardık: \( \sqrt{3} \times 2\sqrt{3} = 2 \times (\sqrt{3} \times \sqrt{3}) = 2 \times 3 = 6 \). Her iki yöntem de aynı sonucu verir. 👉

Bu örnek, kareköklü ifadelerin geometride nasıl kullanıldığına dair bir LGS tarzı sorudur. 💡

• Kare ve Çevre Bilgisi: Bir karenin çevresi, bir kenar uzunluğunun 4 katıdır. Formül olarak \( Çevre = 4 \times a \) şeklinde ifade edilir, burada 'a' kenar uzunluğudur. 📌
• Kenar Uzunluğunu Bulma: Soruda bahçenin bir kenar uzunluğu \( \sqrt{75} \) cm olarak verilmiş. Bu ifadeyi en sade hale getirelim:
  \( \sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt{3} = 5\sqrt{3} \) cm. ✅
• Çevreyi Hesaplama: Şimdi kenar uzunluğunu kullanarak çevreyi hesaplayalım:
  \( Çevre = 4 \times a = 4 \times (5\sqrt{3}) \) cm.
  Çarpma işlemini yaparsak: \( Çevre = 20\sqrt{3} \) cm. ✅

Yani, kare şeklindeki bahçenin çevresi \( 20\sqrt{3} \) cm'dir. 👉

Bu örnek, alan bilgisiyle karekök alma işlemini birleştiren beceri temelli bir sorudur. 💡

• Kare Alanı ve Kenar İlişkisi: Bir karenin alanı, bir kenar uzunluğunun karesine eşittir. Formül olarak \( Alan = a^2 \) şeklinde ifade edilir, burada 'a' kenar uzunluğudur. 📌
• Kenar Uzunluğunu Bulma: Tarlanın alanı \( 128 \) \( m^2 \) olarak verilmiş. Kenar uzunluğunu bulmak için alanın karekökünü almalıyız:
  \( a = \sqrt{Alan} = \sqrt{128} \) m. ✅
• Karekökü Sadeleştirme: Şimdi \( \sqrt{128} \) ifadesini en sade hale getirelim. 128'in en büyük tam kare çarpanını bulalım: \( 128 = 64 \times 2 \).
  \( \sqrt{128} = \sqrt{64 \times 2} = \sqrt{64} \times \sqrt{2} = 8\sqrt{2} \) m. ✅

Tarlanın bir kenar uzunluğu \( 8\sqrt{2} \) metredir. 👉

Bu örnek, günlük hayatta bölme işlemi ve kareköklü ifadelerin nasıl kullanıldığını gösterir. 💡

• Problem Analizi: Marangoz, \( \sqrt{200} \) cm'lik tahtayı 2 eşit parçaya ayırıyor. Bu, \( \sqrt{200} \) ifadesinin 2'ye bölünmesi anlamına gelir. 📌
• Karekökü Sadeleştirme: Önce \( \sqrt{200} \) ifadesini en sade hale getirelim:
  \( \sqrt{200} = \sqrt{100 \times 2} = \sqrt{100} \times \sqrt{2} = 10\sqrt{2} \) cm. ✅
• Bölme İşlemi: Şimdi bu uzunluğu 2'ye bölelim:
  \( \frac{10\sqrt{2}}{2} \) cm.
  Katsayıları bölersek: \( \frac{10}{2} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \) cm. ✅

Marangozun elde ettiği her bir tahta parçasının uzunluğu \( 5\sqrt{2} \) cm olacaktır. 👉

Bu örnek, inşaat alanında kareköklü ifadelerle yapılan bölme işlemini açıklar. 💡

• Problem Tanımı: Elimizde \( \sqrt{18} \) metre uzunluğunda bir demir çubuk var ve bunu \( \sqrt{2} \) metre uzunluğundaki parçalara ayıracağız. Kaç parça elde edeceğimizi bulmak için büyük uzunluğu küçük uzunluğa bölmeliyiz. 📌
• Karekökleri Sadeleştirme:
  Önce \( \sqrt{18} \) ifadesini sadeleştirelim:
  \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \) metre. ✅
  Diğer uzunluk zaten \( \sqrt{2} \) metre.
• Bölme İşlemi: Şimdi toplam uzunluğu parça uzunluğuna bölelim:
  \( \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \) adet parça.
  \( \sqrt{2} \)'ler birbirini götürür (sadeleşir): \( \frac{3\cancel{\sqrt{2}}}{\cancel{\sqrt{2}}} = 3 \). ✅

İnşaat mühendisi toplam 3 adet \( \sqrt{2} \) metrelik parça elde eder. 👉