Kesirler Ders Notu

Kesirler 🔢

Kesirler, bir bütünün eş parçalara ayrılmasıyla elde edilen sayılardır. Matematikte bir bütünün tamamını 1 olarak kabul ederiz. Kesirler, bu bütünün belirli bir kısmını ifade etmek için kullanılır. Bir kesir, bir kesir çizgisi ile ayrılan iki sayıdan oluşur: üstteki sayı pay, alttaki sayı ise paydadır. Payda, bütünün kaç eşit parçaya ayrıldığını gösterirken, pay bu parçalardan kaç tanesinin alındığını belirtir.

Kesir Çeşitleri 🗂️

• Basit Kesirler: Payı paydasından küçük olan kesirlerdir. Bu kesirler her zaman 1'den küçüktür. Örneğin, \( \frac{1}{2} \) veya \( \frac{3}{4} \).
• Bileşik Kesirler: Payı paydasına eşit veya payı paydasından büyük olan kesirlerdir. Bu kesirler 1'e eşit veya 1'den büyüktür. Örneğin, \( \frac{5}{5} \) (1'e eşit) veya \( \frac{7}{3} \).
• Tam Sayılı Kesirler: Bir tam sayı ile bir basit kesrin toplamından oluşan kesirlerdir. Örneğin, \( 2 \frac{1}{3} \) (iki tam ve üçte bir). Bileşik kesir olarak \( \frac{7}{3} \) şeklinde de ifade edilebilir.

Kesirlerde İşlemler ➕➖✖️➗

1. Denk Kesirler ve Genişletme/Sadeleştirme 📏

Paydaları farklı olan kesirleri karşılaştırmak veya toplama/çıkarma gibi işlemler yapmak için paydalarını eşitlememiz gerekir. Bu işleme denk kesirler oluşturma denir.

• Genişletme: Bir kesrin pay ve paydasını aynı sayı ile çarparak denk bir kesir elde etme işlemidir.
• Sadeleştirme: Bir kesrin pay ve paydasını aynı sayıya bölerek denk bir kesir elde etme işlemidir.

Örnek 1: \( \frac{2}{3} \) kesrini paydası 9 olacak şekilde genişletelim.

Paydayı 9 yapmak için 3 ile çarpmalıyız. Bu nedenle payı da 3 ile çarparız:

\[ \frac{2}{3} = \frac{2 \times 3}{3 \times 3} = \frac{6}{9} \]

Yani, \( \frac{2}{3} \) ve \( \frac{6}{9} \) denk kesirlerdir.

Örnek 2: \( \frac{12}{18} \) kesrini sadeleştirelim.

Pay ve paydanın en büyük ortak böleni 6'dır. Her ikisini de 6'ya bölelim:

\[ \frac{12}{18} = \frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3} \]

Sadeleştirilmiş hali \( \frac{2}{3} \)'tür.

2. Kesirleri Karşılaştırma ⚖️

Kesirleri karşılaştırmak için paydalarını eşitlemek en yaygın yöntemdir. Paydaları eşit olan kesirlerde payı büyük olan daha büyüktür.

Örnek 3: \( \frac{3}{5} \) ve \( \frac{2}{3} \) kesirlerini karşılaştıralım.

Paydaları eşitlemek için en küçük ortak katlarını (EKOK) buluruz. 5 ve 3'ün EKOK'u 15'tir.

Genişletme yapalım:

\[ \frac{3}{5} = \frac{3 \times 3}{5 \times 3} = \frac{9}{15} \] \[ \frac{2}{3} = \frac{2 \times 5}{3 \times 5} = \frac{10}{15} \]

Şimdi kesirlerimiz \( \frac{9}{15} \) ve \( \frac{10}{15} \) oldu. Paydalar eşit, payı büyük olan daha büyüktür. \( 10 > 9 \) olduğu için \( \frac{10}{15} > \frac{9}{15} \) olur. Dolayısıyla \( \frac{2}{3} > \frac{3}{5} \)'tir.

3. Kesirlerle Toplama ve Çıkarma ➕➖

Kesirlerle toplama veya çıkarma yaparken paydaların eşit olması gerekir. Paydalar eşitse, paylar toplanır veya çıkarılır ve payda aynı kalır.

Örnek 4: \( \frac{1}{4} + \frac{2}{4} \) işlemini yapalım.

Paydalar eşit (4). Payları toplarız:

\[ \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{1+2}{4} = \frac{3}{4} \]

Örnek 5: \( \frac{7}{8} - \frac{3}{8} \) işlemini yapalım.

Paydalar eşit (8). Payları çıkarırız:

\[ \frac{7}{8} - \frac{3}{8} = \frac{7-3}{8} = \frac{4}{8} \]

Bu kesri sadeleştirebiliriz: \( \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \).

Örnek 6: \( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \) işlemini yapalım.

Paydalar farklı (3 ve 2). EKOK'ları 6'dır. Genişletme yaparız:

\[ \frac{1}{3} = \frac{1 \times 2}{3 \times 2} = \frac{2}{6} \] \[ \frac{1}{2} = \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6} \]

Şimdi toplama işlemini yaparız:

\[ \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{2+3}{6} = \frac{5}{6} \]

4. Kesirlerle Çarpma ✖️

Kesirleri çarpmak için paylar kendi arasında, paydalar kendi arasında çarpılır.

Örnek 7: \( \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} \) işlemini yapalım.

\[ \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{2 \times 3}{5 \times 4} = \frac{6}{20} \]

Sadeleştirilmiş hali: \( \frac{6}{20} = \frac{3}{10} \).

5. Kesirlerle Bölme ➗

Birinci kesir aynen kalır, ikinci kesir ters çevrilir (çarpmaya göre tersi alınır) ve çarpma işlemi yapılır.

Örnek 8: \( \frac{1}{2} \div \frac{3}{4} \) işlemini yapalım.

İkinci kesir \( \frac{3}{4} \) ters çevrilirse \( \frac{4}{3} \) olur. Şimdi çarpma yaparız:

\[ \frac{1}{2} \div \frac{3}{4} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{1 \times 4}{2 \times 3} = \frac{4}{6} \]

Sadeleştirilmiş hali: \( \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \).

6. Tam Sayılı Kesirlerle İşlemler 🍰

Tam sayılı kesirlerle işlem yapmadan önce onları bileşik kesre çevirmek genellikle daha kolaydır.

Örnek 9: \( 1 \frac{1}{2} + 2 \frac{1}{4} \) işlemini yapalım.

Önce tam sayılı kesirleri bileşik kesre çevirelim:

\[ 1 \frac{1}{2} = \frac{(1 \times 2) + 1}{2} = \frac{3}{2} \] \[ 2 \frac{1}{4} = \frac{(2 \times 4) + 1}{4} = \frac{9}{4} \]

Şimdi toplama işlemini yaparız. Paydaları eşitleyelim (EKOK 4):

\[ \frac{3}{2} = \frac{3 \times 2}{2 \times 2} = \frac{6}{4} \]

İşlem:

\[ \frac{6}{4} + \frac{9}{4} = \frac{6+9}{4} = \frac{15}{4} \]

Sonucu tekrar tam sayılı kesre çevirebiliriz: \( \frac{15}{4} = 3 \frac{3}{4} \).