💡 9. Sınıf Matematik: Karekökü Sayılar Çözümlü Örnekler

Bu örnekte, tam kare sayılarla çalışıyoruz. Karekökü alınan sayının hangi sayının karesi olduğunu bulmak yeterlidir.

• \( \sqrt{4} \): Hangi sayının karesi 4'tür? Cevap 2'dir, çünkü \( 2^2 = 4 \). Dolayısıyla \( \sqrt{4} = 2 \).
• \( \sqrt{9} \): Hangi sayının karesi 9'dur? Cevap 3'tür, çünkü \( 3^2 = 9 \). Dolayısıyla \( \sqrt{9} = 3 \).
• \( \sqrt{25} \): Hangi sayının karesi 25'tir? Cevap 5'tir, çünkü \( 5^2 = 25 \). Dolayısıyla \( \sqrt{25} = 5 \).

💡 Tam kare sayılar, kendileri de tam sayı olan karekök değerlerine sahiptir.

Öncelikle her bir karekökü ayrı ayrı hesaplayalım:

• \( \sqrt{16} \): 4'tür, çünkü \( 4^2 = 16 \).
• \( \sqrt{36} \): 6'dır, çünkü \( 6^2 = 36 \).

Şimdi bu sonuçları toplayalım: \( 4 + 6 = 10 \) ✅ Sonuç: 10

\( \sqrt{50} \) sayısını en sade şekilde yazmak için, 50'nin çarpanlarından tam kare olan en büyük sayıyı bulmalıyız.

• 50'nin çarpanları: 1, 2, 5, 10, 25, 50.
• Bu çarpanlar arasında tam kare olan en büyük sayı 25'tir.

Şimdi \( \sqrt{50} \) ifadesini \( \sqrt{25 \times 2} \) şeklinde yazabiliriz. Karekökün özelliğini kullanarak bu ifadeyi şu şekilde ayırabiliriz: \( \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} \) \( \sqrt{25} \) tam kare olduğu için değeri 5'tir. \( 5 \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \) 👉 En sade hali \( 5\sqrt{2} \)'dir.

Bu işlemi yapabilmek için öncelikle her iki kareköklü ifadeyi de en sade hale getirmeliyiz.

• \( \sqrt{72} \): 72'nin tam kare çarpanı en büyük 36'dır (\( 36 \times 2 = 72 \)).
O halde, \( \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2} \).
• \( \sqrt{18} \): 18'in tam kare çarpanı en büyük 9'dur (\( 9 \times 2 = 18 \)).
O halde, \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \).

Şimdi bu sadeleştirilmiş ifadeleri çıkaralım: \( 6\sqrt{2} - 3\sqrt{2} \) Katsayıları çıkararak sonuca ulaşırız: \( (6 - 3)\sqrt{2} = 3\sqrt{2} \) ✅ Sonuç: \( 3\sqrt{2} \)

Karenin alanı, bir kenar uzunluğunun karesine eşittir. Karenin bir kenar uzunluğu \( a = \sqrt{12} \) cm olarak verilmiştir. Karenin alanı \( A = a^2 \) formülü ile bulunur. Şimdi verilen kenar uzunluğunu formülde yerine koyalım: \( A = (\sqrt{12})^2 \) Karekök alma ve karesini alma işlemleri birbirini götürür. \( A = 12 \) 👉 Karenin alanı 12 \( cm^2 \)'dir.

Bu denklemde \( a \) sayısının karekökünün 7'ye eşit olduğu belirtiliyor. \( \sqrt{a} = 7 \) Bu eşitliğin her iki tarafının karesini alarak \( a \)'yı bulabiliriz. \( (\sqrt{a})^2 = 7^2 \) \( a = 49 \) ✅ \( a \) değeri 49'dur.

Bu soruyu çözmek için toplam uzunluğu, elde etmek istediğimiz parça uzunluğuna bölmeliyiz. Toplam uzunluk: \( \sqrt{75} \) metre Parça uzunluğu: \( \sqrt{12} \) metre Kaç parça elde edileceğini bulmak için \( \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{12}} \) işlemini yapmalıyız. Öncelikle kareköklü ifadeleri sadeleştirelim:

• \( \sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt{3} = 5\sqrt{3} \)
• \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \)

Şimdi bölme işlemini yapalım: \( \frac{5\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} \) \( \sqrt{3} \) terimleri sadeleşir. \( \frac{5}{2} \) 👉 Marangoz bu tahta parçasından \( \frac{5}{2} \) yani 2.5 adet \( \sqrt{12} \) metrelik parça elde edebilir. (Pratikte bu, 2 tam parça ve bir yarım parça anlamına gelir.)

Kare şeklindeki tarlanın alanı \( A = 100 \, m^2 \) olarak verilmiş. Karenin bir kenar uzunluğunu \( a \) ile gösterirsek, alan formülü \( A = a^2 \) şeklindedir. Bizim denklemimiz: \( a^2 = 100 \, m^2 \) Bir kenar uzunluğunu bulmak için her iki tarafın karekökünü almalıyız: \( \sqrt{a^2} = \sqrt{100 \, m^2} \) \( a = 10 \, m \) 💡 Unutmayalım ki uzunluk negatif olamaz, bu yüzden sadece pozitif kökü alırız. ✅ Tarlanın kare şeklindeki bölümünün bir kenar uzunluğu 10 metredir.