💡 9. Sınıf Matematik: Kareköklü sayılarda eşlenik hesaplama Çözümlü Örnekler

Paydayı rasyonel yapmak için, paydanın eşleniği ile hem payı hem de paydayı çarparız.

• Adım 1: Paydanın eşleniğini belirleyelim. \( \sqrt{2} \) ifadesinin eşleniği yine \( \sqrt{2} \) 'dir.
• Adım 2: Kesri eşlenik ile çarpalım.

\[ \frac{1}{\sqrt{2}} \\times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} \]

• Adım 3: Çarpma işlemlerini yapalım.

\[ \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Sonuç olarak, ifadenin paydası rasyonel hale gelmiştir. ✅

Bir sayının kendisi, o sayının eşleniği olarak kabul edilebilir. Bu durumda, \( \sqrt{3} \) sayısının eşleniği \( \sqrt{3} \) 'tür.

• Adım 1: Sayıyı eşleniği ile çarpalım.

\[ \sqrt{3} \\times \sqrt{3} = (\sqrt{3})^2 = 3 \]

Sonuç 3'tür. 💡

Bu kesrin paydasını rasyonel yapmak için, paydanın eşleniği olan \( 2\sqrt{3} \) ile hem payı hem de paydayı çarpacağız.

• Adım 1: Kesri \( 2\sqrt{3} \) ile çarpalım.

\[ \frac{5}{2\sqrt{3}} \\times \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{5 \cdot 2\sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3}} \]

• Adım 2: Pay ve payda çarpımlarını yapalım.

\[ \frac{10\sqrt{3}}{(2 \cdot 2) \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})} = \frac{10\sqrt{3}}{4 \cdot 3} = \frac{10\sqrt{3}}{12} \]

• Adım 3: Elde edilen kesri sadeleştirelim.

\[ \frac{10\sqrt{3}}{12} = \frac{5\sqrt{3}}{6} \]

İşlemin sonucu \( \frac{5\sqrt{3}}{6} \) 'dır. ✅

Bir \( a + \sqrt{b} \) biçimindeki ifadenin eşleniği \( a - \sqrt{b} \) 'dir.

• Adım 1: Verilen ifadenin eşleniğini belirleyelim.

\( 3 + \sqrt{5} \) ifadesinin eşleniği \( 3 - \sqrt{5} \)'tir.

• Adım 2: İfadeyi eşleniği ile çarpalım.

\[ (3 + \sqrt{5}) \\times (3 - \sqrt{5}) \]

Bu çarpım, \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \) özdeşliğini kullanılarak hesaplanır.

• Adım 3: Özdeşliği uygulayalım.

\[ 3^2 - (\sqrt{5})^2 = 9 - 5 = 4 \]

Sonuç 4'tür. 💡

Bu kesrin paydasını rasyonel yapmak için, paydanın eşleniği olan \( 2 + \sqrt{3} \) ile hem payı hem de paydayı çarpacağız.

• Adım 1: Kesri \( 2 + \sqrt{3} \) ile çarpalım.

\[ \frac{4}{2 - \sqrt{3}} \\times \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} = \frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3}) \cdot (2 + \sqrt{3})} \]

• Adım 2: Pay ve payda çarpımlarını yapalım.

Pay: \( 4 \cdot (2 + \sqrt{3}) = 8 + 4\sqrt{3} \)

Payda: \( (2 - \sqrt{3}) \cdot (2 + \sqrt{3}) \) ifadesinde \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \) özdeşliğini kullanırız.

\[ 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1 \]

• Adım 3: Sonucu birleştirelim.

\[ \frac{8 + 4\sqrt{3}}{1} = 8 + 4\sqrt{3} \]

İşlemin sonucu \( 8 + 4\sqrt{3} \)'tür. ✅

Bir \( \sqrt{a} - \sqrt{b} \) biçimindeki ifadenin eşleniği \( \sqrt{a} + \sqrt{b} \)'dir.

• Adım 1: Verilen ifadenin eşleniğini belirleyelim.

\( \sqrt{7} - \sqrt{2} \) ifadesinin eşleniği \( \sqrt{7} + \sqrt{2} \)'dir.

• Adım 2: İfadeyi eşleniği ile çarpalım.

\[ (\sqrt{7} - \sqrt{2}) \\times (\sqrt{7} + \sqrt{2}) \]

Bu çarpım, \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \) özdeşliğini kullanılarak hesaplanır.

• Adım 3: Özdeşliği uygulayalım.

\[ (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{2})^2 = 7 - 2 = 5 \]

Sonuç 5'tir. 💡

Bir karenin çevresi, bir kenar uzunluğunun 4 katına eşittir.

• Adım 1: Karenin çevresi formülünü yazalım.

Çevre = \( 4 \\times \text{kenar uzunluğu} \)

• Adım 2: Verilen kenar uzunluğunu formülde yerine koyalım.

Çevre = \( 4 \\times \frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{12}{\sqrt{5}} \) metre.

• Adım 3: Çevreyi rasyonel hale getirmek için paydadaki karekökten kurtulalım.

Paydayı rasyonel yapmak için kesri \( \sqrt{5} \) ile genişletelim.

\[ \frac{12}{\sqrt{5}} \\times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{12\sqrt{5}}{5} \]

Bahçenin çevresi \( \frac{12\sqrt{5}}{5} \) metredir. 🌳

Karekök dışına çıkarma işlemi, karekökün içindeki sayının tam kare çarpanlarını bularak yapılır.

• Adım 1: Verilen sayının çarpanlarını inceleyelim.

\( \sqrt{18} \). Sayının çarpanları: 1, 2, 3, 6, 9, 18.

• Adım 2: Bu çarpanlar arasında tam kare olanları belirleyelim.

Tam kare çarpan: 9 (çünkü \( 9 = 3^2 \)).

• Adım 3: Karekökü çarpanlarına ayırıp tam kare olanı dışarı çıkaralım.

\[ \sqrt{18} = \sqrt{9 \\times 2} \]

Karekökün özelliğinden \( \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \) yararlanarak:

\[ \sqrt{9} \\times \sqrt{2} = 3 \\times \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \]

İnşaat mühendisi, \( \sqrt{18} \) metreyi \( 3\sqrt{2} \) metre olarak ifade edebilir. Bu, hem daha sade bir gösterimdir hem de mühendisin hesaplamalarını kolaylaştırır. 🏗️