📄 9. Sınıf Matematik: Kareköklü sayılarda eşlenik hesaplama Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Verilen ifadeyi paydasının eşleniği olan \(\sqrt{6}\) ile hem payı hem de paydayı çarparız:

\[\frac{12}{\sqrt{6}} = \frac{12 \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}}\]

Paydada \(\sqrt{6} \cdot \sqrt{6} = 6\) olur.

\[= \frac{12\sqrt{6}}{6}\]

Şimdi sadeleştirme yaparız:

\[= 2\sqrt{6}\]

Cevap \(2\sqrt{6}\) olur.

💡 Çözüm Adımları:

Verilen ifadenin paydasının eşleniği \(\sqrt{5} + \sqrt{3}\) ifadesidir. Bu ifade ile hem payı hem de paydayı çarparız:

\[\frac{8}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{8 \cdot (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5} - \sqrt{3}) \cdot (\sqrt{5} + \sqrt{3})}\]

Paydada iki kare farkı özdeşliğini kullanırız: \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\).

Burada \(a = \sqrt{5}\) ve \(b = \sqrt{3}\) olduğundan, payda \((\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2\) olur.

\[= \frac{8(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2}\]

Şimdi sadeleştirme yaparız:

\[= 4(\sqrt{5} + \sqrt{3})\]

Cevap \(4(\sqrt{5} + \sqrt{3})\) olur.

💡 Çözüm Adımları:

İlk kesrin paydasını rasyonel yapmak için \(3 + \sqrt{7}\) ile çarparız:

\[\frac{2}{3 - \sqrt{7}} = \frac{2(3 + \sqrt{7})}{(3 - \sqrt{7})(3 + \sqrt{7})} = \frac{2(3 + \sqrt{7})}{3^2 - (\sqrt{7})^2} = \frac{2(3 + \sqrt{7})}{9 - 7} = \frac{2(3 + \sqrt{7})}{2} = 3 + \sqrt{7}\]

İkinci kesrin paydasını rasyonel yapmak için \(\sqrt{7} - 3\) ile çarparız. Ancak \(\sqrt{7} + 3\) ifadesi zaten \(3 + \sqrt{7}\) ile aynıdır. Paydayı \(3 - \sqrt{7}\) ile çarpmak yerine, ilk kesrin paydasını rasyonel hale getirdikten sonra ikinci kesri de aynı payda formuna getirebiliriz. Veya her ikisini de ayrı ayrı rasyonel yaparız.



İkinci kesrin paydası \(3 + \sqrt{7}\) olduğundan, eşleniği \(3 - \sqrt{7}\) ile çarparız:

\[\frac{1}{\sqrt{7} + 3} = \frac{1}{3 + \sqrt{7}} = \frac{1(3 - \sqrt{7})}{(3 + \sqrt{7})(3 - \sqrt{7})} = \frac{3 - \sqrt{7}}{3^2 - (\sqrt{7})^2} = \frac{3 - \sqrt{7}}{9 - 7} = \frac{3 - \sqrt{7}}{2}\]

Şimdi bu iki ifadeyi toplarız:

\[(3 + \sqrt{7}) + \frac{3 - \sqrt{7}}{2}\]

İlk ifadeyi \(2\) ile genişletip paydaları eşitleriz:

\[\frac{2(3 + \sqrt{7})}{2} + \frac{3 - \sqrt{7}}{2} = \frac{6 + 2\sqrt{7} + 3 - \sqrt{7}}{2}\]

Paydaki benzer terimleri toplarız:

\[= \frac{(6+3) + (2\sqrt{7} - \sqrt{7})}{2} = \frac{9 + \sqrt{7}}{2}\]

Cevap \(\frac{9 + \sqrt{7}}{2}\) olur.