🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Kare Köklü İfadeler Ve Üçgenler Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Kare Köklü İfadeler Ve Üçgenler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
💡 Soru 1: Aşağıdaki ifadelerden hangisi \( \sqrt{108} \) sayısına eşittir?
A) \( 3\sqrt{12} \)
B) \( 6\sqrt{3} \)
C) \( 4\sqrt{6} \)
D) \( 2\sqrt{27} \)
A) \( 3\sqrt{12} \)
B) \( 6\sqrt{3} \)
C) \( 4\sqrt{6} \)
D) \( 2\sqrt{27} \)
Çözüm:
Bu soruda, verilen kareköklü ifadeyi \( a\sqrt{b} \) şeklinde yazma ve seçenekleri de bu forma dönüştürerek karşılaştırma yapmamız gerekiyor.
- 📌 Öncelikle \( \sqrt{108} \) ifadesini en sade haliyle yazalım:
- 108 sayısını asal çarpanlarına ayıralım: \( 108 = 2 \times 54 = 2 \times 2 \times 27 = 2^2 \times 3^3 \).
- Veya 108'in çarpanlarından tam kare olanları bulalım: \( 108 = 36 \times 3 \).
- Bu durumda \( \sqrt{108} = \sqrt{36 \times 3} = \sqrt{36} \times \sqrt{3} = 6\sqrt{3} \) olur.
- 👉 Şimdi seçenekleri inceleyelim:
- A) \( 3\sqrt{12} = 3\sqrt{4 \times 3} = 3 \times \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 3 \times 2 \times \sqrt{3} = 6\sqrt{3} \).
- B) \( 6\sqrt{3} \). Bu zaten en sade hali ve \( \sqrt{108} \) ile eşittir.
- C) \( 4\sqrt{6} \). Bu ifade \( \sqrt{16 \times 6} = \sqrt{96} \) demektir, \( \sqrt{108} \) ile eşit değildir.
- D) \( 2\sqrt{27} = 2\sqrt{9 \times 3} = 2 \times \sqrt{9} \times \sqrt{3} = 2 \times 3 \times \sqrt{3} = 6\sqrt{3} \).
- ✅ Görüldüğü gibi A, B ve D seçenekleri \( \sqrt{108} \) ile eşittir. Ancak soru "hangi ifade eşittir" diye soruyorsa ve genellikle en sade halini bekliyorsa B seçeneği doğru cevaptır. Diğerleri de doğru olsa da, soru formatına göre en sade halini işaretlemek en uygunudur. Eğer tek bir doğru cevap bekleniyorsa ve bu bir test sorusu ise, birden fazla doğru cevap olamaz. Bu durumda A, B, D seçeneklerinin hepsi \( 6\sqrt{3} \) olduğundan, soru metninde bir hata olduğu varsayılabilir veya "en sade hali" gibi bir ek bilgi beklenir. Ancak matematiksel olarak hepsi \( \sqrt{108} \)'e eşittir. Biz burada \( \sqrt{108} = 6\sqrt{3} \) olduğunu bulduğumuz için B seçeneği doğru cevaptır.
Örnek 2:
💡 Soru 2: Aşağıdaki işlemin sonucunu bulunuz:
\( 5\sqrt{20} - 2\sqrt{45} + \sqrt{80} \)
\( 5\sqrt{20} - 2\sqrt{45} + \sqrt{80} \)
Çözüm:
Bu tür kareköklü ifadelerde toplama ve çıkarma yapabilmek için kök içindeki sayıları aynı hale getirmeliyiz.
- 📌 Her bir kareköklü ifadeyi \( a\sqrt{b} \) şeklinde yazalım:
- \( \sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = \sqrt{4} \times \sqrt{5} = 2\sqrt{5} \)
- \( \sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = \sqrt{9} \times \sqrt{5} = 3\sqrt{5} \)
- \( \sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = \sqrt{16} \times \sqrt{5} = 4\sqrt{5} \)
- 👉 Şimdi bu değerleri verilen ifadede yerine yazalım:
- \( 5\sqrt{20} - 2\sqrt{45} + \sqrt{80} = 5(2\sqrt{5}) - 2(3\sqrt{5}) + 4\sqrt{5} \)
- \( = 10\sqrt{5} - 6\sqrt{5} + 4\sqrt{5} \)
- ✅ Artık kök içleri aynı olduğu için katsayıları toplayıp çıkarabiliriz:
- \( (10 - 6 + 4)\sqrt{5} = (4 + 4)\sqrt{5} = 8\sqrt{5} \)
İşlemin sonucu \( 8\sqrt{5} \)'tir.
Örnek 3:
💡 Soru 3: Bir ABC üçgeninde A açısının ölçüsü \( 60^\circ \), B açısının ölçüsü \( 25^\circ \) ise C açısının ölçüsü kaç derecedir?
Çözüm:
Bir üçgenin iç açıları toplamının \( 180^\circ \) olduğunu biliyoruz.
- 📌 Verilen açıları ve bilinmeyen açıyı kullanarak bir denklem oluşturalım:
- \( m(\hat{A}) + m(\hat{B}) + m(\hat{C}) = 180^\circ \)
- \( 60^\circ + 25^\circ + m(\hat{C}) = 180^\circ \)
- 👉 Bilinen açıları toplayalım:
- \( 85^\circ + m(\hat{C}) = 180^\circ \)
- ✅ C açısının ölçüsünü bulmak için \( 180^\circ \)'den bilinen açıların toplamını çıkaralım:
- \( m(\hat{C}) = 180^\circ - 85^\circ \)
- \( m(\hat{C}) = 95^\circ \)
C açısının ölçüsü \( 95^\circ \)'dir.
Örnek 4:
💡 Soru 4: Bir dik üçgenin dik kenarlarından biri \( 2\sqrt{3} \) cm, diğeri \( \sqrt{21} \) cm'dir. Bu dik üçgenin hipotenüs uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm:
Bu bir dik üçgen problemi olduğu için Pisagor Teoremi'ni kullanmalıyız. Pisagor Teoremi'ne göre, dik bir üçgende dik kenarların karelerinin toplamı hipotenüsün karesine eşittir. Kenar uzunlukları kareköklü ifadelerle verildiği için karekök işlemleri de yapacağız.
- 📌 Dik kenarlar \( a = 2\sqrt{3} \) cm ve \( b = \sqrt{21} \) cm olsun. Hipotenüs uzunluğu \( c \) olsun.
- Pisagor Teoremi formülü: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- 👉 Verilen değerleri formülde yerine yazalım:
- \( (2\sqrt{3})^2 + (\sqrt{21})^2 = c^2 \)
- \( (2^2 \times (\sqrt{3})^2) + (21) = c^2 \)
- \( (4 \times 3) + 21 = c^2 \)
- \( 12 + 21 = c^2 \)
- \( 33 = c^2 \)
- ✅ Hipotenüs uzunluğunu bulmak için \( c^2 = 33 \) denkleminin karekökünü almalıyız:
- \( c = \sqrt{33} \)
Hipotenüs uzunluğu \( \sqrt{33} \) cm'dir.
Örnek 5:
💡 Soru 5: Bir marangoz, elindeki \( \sqrt{192} \) cm uzunluğundaki tahta parçasını kullanarak eşkenar bir üçgen çerçeve yapmak istiyor. Eğer marangoz bu tahta parçasının tamamını kullanırsa, oluşturacağı eşkenar üçgenin bir kenar uzunluğu kaç cm olur?
Çözüm:
Bu problemde, verilen tahta uzunluğunu önce karekök dışına çıkararak sadeleştirmeli, ardından eşkenar üçgenin özelliklerini kullanarak bir kenar uzunluğunu bulmalıyız.
- 📌 İlk olarak, tahta parçasının uzunluğunu sadeleştirelim:
- \( \sqrt{192} \) ifadesini \( a\sqrt{b} \) şeklinde yazalım.
- 192 sayısını çarpanlarına ayıralım: \( 192 = 64 \times 3 \). (En büyük tam kare çarpanı bulmak önemlidir.)
- \( \sqrt{192} = \sqrt{64 \times 3} = \sqrt{64} \times \sqrt{3} = 8\sqrt{3} \) cm.
Yani marangozun elindeki tahta parçasının uzunluğu \( 8\sqrt{3} \) cm'dir.
- 👉 Eşkenar üçgenin tüm kenarları birbirine eşittir. Eşkenar üçgenin çevresi, bir kenar uzunluğunun 3 katıdır. Marangoz tahtanın tamamını kullanacağı için, tahta parçasının uzunluğu üçgenin çevresine eşit olacaktır.
- Eşkenar üçgenin çevresi = \( 3 \times (\text{bir kenar uzunluğu}) \)
- \( 8\sqrt{3} = 3 \times (\text{bir kenar uzunluğu}) \)
- ✅ Bir kenar uzunluğunu bulmak için çevreyi 3'e bölelim:
- Bir kenar uzunluğu \( = \frac{8\sqrt{3}}{3} \) cm.
Oluşturulacak eşkenar üçgenin bir kenar uzunluğu \( \frac{8\sqrt{3}}{3} \) cm'dir.
Örnek 6:
💡 Soru 6: Bir parkta bulunan kaydırağın merdiven kısmı yere diktir. Merdivenin yüksekliği \( 4\sqrt{3} \) metre, kaydırak platformunun yerdeki uca olan uzaklığı (yatay mesafe) \( \sqrt{48} \) metredir. Kaydırağın platformu ile yerdeki ucu arasındaki mesafeyi (yani kaydırağın uzunluğunu) bulunuz.
Çözüm:
Bu problemde kaydırak, merdiven ve yer, bir dik üçgen oluşturmaktadır. Merdiven yüksekliği ve yatay mesafe dik kenarları, kaydırağın uzunluğu ise hipotenüsü temsil eder. Pisagor Teoremi'ni kullanarak kaydırağın uzunluğunu bulabiliriz.
- 📌 Öncelikle verilen uzunlukları sadeleştirelim:
- Merdivenin yüksekliği \( = 4\sqrt{3} \) metre. Bu zaten sadeleşmiş durumda.
- Yatay mesafe \( = \sqrt{48} \) metre.
- \( \sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = \sqrt{16} \times \sqrt{3} = 4\sqrt{3} \) metre.
Görüyoruz ki, dik kenarların uzunlukları eşit: \( 4\sqrt{3} \) metre.
- 👉 Şimdi Pisagor Teoremi'ni uygulayalım. Dik kenarlar \( a = 4\sqrt{3} \) ve \( b = 4\sqrt{3} \) olsun. Kaydırağın uzunluğu \( c \) olsun.
- \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- \( (4\sqrt{3})^2 + (4\sqrt{3})^2 = c^2 \)
- \( (4^2 \times (\sqrt{3})^2) + (4^2 \times (\sqrt{3})^2) = c^2 \)
- \( (16 \times 3) + (16 \times 3) = c^2 \)
- \( 48 + 48 = c^2 \)
- \( 96 = c^2 \)
- ✅ Hipotenüs uzunluğunu bulmak için \( c^2 = 96 \) denkleminin karekökünü alalım ve sadeleştirelim:
- \( c = \sqrt{96} \)
- \( \sqrt{96} = \sqrt{16 \times 6} = \sqrt{16} \times \sqrt{6} = 4\sqrt{6} \) metre.
Kaydırağın uzunluğu \( 4\sqrt{6} \) metredir.
Örnek 7:
💡 Soru 7: \( \frac{15}{\sqrt{3}} - \frac{6}{\sqrt{12}} \) işleminin sonucunu bulunuz.
Çözüm:
Bu tür rasyonel ifadeleri sadeleştirmek için paydaları rasyonel yapma ve kök içlerini eşitleme yöntemlerini kullanmalıyız.
- 📌 İlk terimi ele alalım: \( \frac{15}{\sqrt{3}} \)
- Paydayı rasyonel yapmak için pay ve paydayı \( \sqrt{3} \) ile çarpalım:
- \( \frac{15}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{15\sqrt{3}}{3} = 5\sqrt{3} \)
- 👉 İkinci terimi ele alalım: \( \frac{6}{\sqrt{12}} \)
- Önce paydadaki köklü ifadeyi sadeleştirelim: \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3} \).
- Şimdi ifadeyi yeniden yazalım: \( \frac{6}{2\sqrt{3}} \).
- Pay ve paydayı 2 ile sadeleştirelim: \( \frac{3}{\sqrt{3}} \).
- Şimdi paydayı rasyonel yapmak için pay ve paydayı \( \sqrt{3} \) ile çarpalım:
- \( \frac{3}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} \)
- ✅ Şimdi sadeleşmiş ifadeleri yerine yazarak çıkarma işlemini yapalım:
- \( 5\sqrt{3} - \sqrt{3} = (5-1)\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \)
İşlemin sonucu \( 4\sqrt{3} \)'tür.
Örnek 8:
💡 Soru 8: Bir ABC üçgeninde \( m(\hat{A}) = 3x - 10^\circ \), \( m(\hat{B}) = x + 20^\circ \) ve \( m(\hat{C}) = 2x + 10^\circ \) olarak verilmiştir. Buna göre, bu üçgenin en büyük iç açısının ölçüsü kaç derecedir?
Çözüm:
Bir üçgenin iç açıları toplamının \( 180^\circ \) olduğunu biliyoruz. Bu bilgiyi kullanarak \( x \) değerini bulacak, ardından her bir açının ölçüsünü hesaplayacağız.
- 📌 Verilen açıların toplamını \( 180^\circ \) 'ye eşitleyelim:
- \( (3x - 10^\circ) + (x + 20^\circ) + (2x + 10^\circ) = 180^\circ \)
- 👉 Denklemi çözerek \( x \) değerini bulalım:
- \( 3x + x + 2x - 10^\circ + 20^\circ + 10^\circ = 180^\circ \)
- \( 6x + 20^\circ = 180^\circ \)
- \( 6x = 180^\circ - 20^\circ \)
- \( 6x = 160^\circ \)
- \( x = \frac{160^\circ}{6} = \frac{80^\circ}{3} \)
- ✅ Şimdi \( x \) değerini her bir açı ifadesinde yerine yazarak açıların ölçülerini bulalım:
- \( m(\hat{A}) = 3x - 10^\circ = 3 \times \frac{80}{3} - 10^\circ = 80^\circ - 10^\circ = 70^\circ \)
- \( m(\hat{B}) = x + 20^\circ = \frac{80}{3} + 20^\circ = \frac{80}{3} + \frac{60}{3} = \frac{140}{3}^\circ \approx 46.67^\circ \)
- \( m(\hat{C}) = 2x + 10^\circ = 2 \times \frac{80}{3} + 10^\circ = \frac{160}{3} + \frac{30}{3} = \frac{190}{3}^\circ \approx 63.33^\circ \)
Bulduğumuz açıları karşılaştıralım:
- \( m(\hat{A}) = 70^\circ \)
- \( m(\hat{B}) \approx 46.67^\circ \)
- \( m(\hat{C}) \approx 63.33^\circ \)
En büyük iç açı \( m(\hat{A}) \)'dır.
Bu üçgenin en büyük iç açısının ölçüsü \( 70^\circ \)'dir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-kare-koklu-ifadeler-ve-ucgenler/sorular