🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Karakök problemleri Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Karakök problemleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıdaki ifadelerin kareköklerini hesaplayınız:
a) \( \sqrt{36} \)
b) \( \sqrt{144} \)
c) \( \sqrt{0} \)
a) \( \sqrt{36} \)
b) \( \sqrt{144} \)
c) \( \sqrt{0} \)
Çözüm:
Kareköklü ifadelerde amaç, kendisiyle çarpıldığında içindeki sayıyı veren sayıyı bulmaktır.
- a) \( \sqrt{36} \): Hangi sayının karesi 36'dır? Cevap 6'dır. Çünkü \( 6 \times 6 = 36 \). Dolayısıyla \( \sqrt{36} = 6 \). 💡
- b) \( \sqrt{144} \): Hangi sayının karesi 144'tür? Cevap 12'dir. Çünkü \( 12 \times 12 = 144 \). Dolayısıyla \( \sqrt{144} = 12 \). ✅
- c) \( \sqrt{0} \): Hangi sayının karesi 0'dır? Cevap 0'dır. Çünkü \( 0 \times 0 = 0 \). Dolayısıyla \( \sqrt{0} = 0 \). 📌
Örnek 2:
Aşağıdaki ifadelerin değerini bulunuz:
a) \( \sqrt{81} + \sqrt{25} \)
b) \( \sqrt{100} - \sqrt{49} \)
a) \( \sqrt{81} + \sqrt{25} \)
b) \( \sqrt{100} - \sqrt{49} \)
Çözüm:
İşlemleri adım adım yaparak sonuca ulaşalım.
- a) \( \sqrt{81} + \sqrt{25} \): Önce her bir karekökü ayrı ayrı hesaplayalım.
\( \sqrt{81} = 9 \) (çünkü \( 9 \times 9 = 81 \))
\( \sqrt{25} = 5 \) (çünkü \( 5 \times 5 = 25 \))
Şimdi bu sonuçları toplayalım: \( 9 + 5 = 14 \). 👉 - b) \( \sqrt{100} - \sqrt{49} \): Benzer şekilde karekökleri hesaplayalım.
\( \sqrt{100} = 10 \) (çünkü \( 10 \times 10 = 100 \))
\( \sqrt{49} = 7 \) (çünkü \( 7 \times 7 = 49 \))
Şimdi bu sonuçları çıkaralım: \( 10 - 7 = 3 \). 👍
Örnek 3:
\( \sqrt{a^2} \) ifadesi \( a \) ile \( -a \) arasındaki ilişkiyi anlamak için aşağıdaki soruyu cevaplayınız:
Eğer \( x = -5 \) ise, \( \sqrt{x^2} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Eğer \( x = -5 \) ise, \( \sqrt{x^2} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözüm:
Kare alma işlemi negatif bir sayıyı pozitife çevirir. Ancak karekök alma işlemi, pozitif bir sonuç verir. Bu nedenle \( \sqrt{x^2} \) ifadesi, \( x \)'in mutlak değerine eşittir.
- Verilen \( x = -5 \) değerini \( x^2 \) ifadesinde yerine koyalım: \( (-5)^2 = (-5) \times (-5) = 25 \).
- Şimdi \( \sqrt{25} \) ifadesini hesaplayalım: \( \sqrt{25} = 5 \).
- Dolayısıyla, \( \sqrt{x^2} = \sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 \). Bu sonuç, \( |x| = |-5| = 5 \) ile aynıdır. ✅
Örnek 4:
Bir kenar uzunluğu \( \sqrt{64} \) cm olan karenin alanını hesaplayınız.
Çözüm:
Kare şeklindeki bir cismin alanı, bir kenar uzunluğunun karesi ile bulunur. Alan = Kenar \( \times \) Kenar = Kenar\(^2\).
- Öncelikle karenin bir kenar uzunluğunu bulalım: \( \sqrt{64} \) cm.
- \( \sqrt{64} = 8 \) cm'dir, çünkü \( 8 \times 8 = 64 \).
- Şimdi karenin alanını hesaplayalım: Alan = \( (\sqrt{64})^2 \) cm\(^2\).
- Bu da \( 8 \times 8 = 64 \) cm\(^2\) eder. 💡 Karenin alanı 64 cm\(^2\)'dir.
Örnek 5:
Bir çiftçi, tarlasındaki domateslerin verimini artırmak için yeni bir gübre kullanmaya karar veriyor. Gübrenin etiketinde, tarlanın \( \sqrt{1600} \) metrekarelik bir alana yeteceği yazıyor. Çiftçinin tarlası 40 metreye 40 metre boyutlarında olduğuna göre, bu gübre çiftçinin tarlasına yeterli midir?
Çözüm:
Öncelikle gübrenin yeteceği alanı ve çiftçinin tarlasının alanını hesaplayalım.
- Gübrenin yeteceği alan: \( \sqrt{1600} \) metrekare.
- \( \sqrt{1600} \) sayısını bulmak için, karesi 1600 olan sayıyı düşünelim. \( 40 \times 40 = 1600 \) olduğundan, \( \sqrt{1600} = 40 \) metrekaredir. 💡
- Çiftçinin tarlasının boyutları 40 metreye 40 metredir.
- Tarlanın alanı = Kenar \( \times \) Kenar = \( 40 \times 40 = 1600 \) metrekaredir. ✅
- Karşılaştırma yapalım: Gübrenin yeteceği alan 40 metrekare iken, tarlanın alanı 1600 metrekaredir.
- Bu durumda, gübre çiftçinin tarlasına kesinlikle yetmez. 😥
Örnek 6:
Bir inşaat mühendisi, bir binanın temelini atmak için \( \sqrt{2500} \) metrekarelik bir alana ihtiyaç duyuyor. Mühendis, bu alanı tam olarak kullanmak istiyor ve bu alanı kare şeklinde planlıyor. Temelin bir kenar uzunluğu kaç metre olmalıdır?
Çözüm:
Temelin kare şeklinde olması ve alanının verilmesi, kenar uzunluğunu bulmak için karekök alma işlemini gerektirir.
- Temelin alanı \( \sqrt{2500} \) metrekaredir.
- Öncelikle alanı hesaplayalım: \( \sqrt{2500} \). Karesi 2500 olan sayıyı bulmalıyız. \( 50 \times 50 = 2500 \) olduğu için, \( \sqrt{2500} = 50 \) metrekaredir. 💡
- Temelin alanı 50 metrekaredir.
- Temel kare şeklinde olacağına göre, bir kenar uzunluğunu bulmak için alanın karekökünü alırız.
- Kenar uzunluğu = \( \sqrt{50} \) metredir. Bu ifadeyi tam sayı olarak ifade etmek için \( \sqrt{50} \) yaklaşık olarak \( 7.07 \) metredir. Ancak soruda tam olarak kullanmak istediği belirtilmiş, bu da alanın tam kare olması gerektiğini ima eder. Eğer alan \( 2500 \) ise ve bu \( \sqrt{2500} \) olarak verilmişse, bu bir yanıltmaca olabilir. Soruyu "alanı 2500 metrekare olan" şeklinde anlarsak:
- Alan = 2500 metrekare
- Karenin bir kenar uzunluğu = \( \sqrt{2500} \) metre
- \( \sqrt{2500} = 50 \) metre. ✅ Bu durumda, temelin bir kenar uzunluğu 50 metre olmalıdır.
Örnek 7:
\( \sqrt{196} \times \sqrt{16} \) işleminin sonucunu bulunuz.
Çözüm:
Bu tür işlemlerde, her bir karekökü ayrı ayrı hesaplayıp sonra çarpma işlemini yapabiliriz.
- İlk olarak \( \sqrt{196} \) değerini hesaplayalım. Karesi 196 olan sayıyı bulmalıyız. \( 14 \times 14 = 196 \) olduğundan, \( \sqrt{196} = 14 \). 💡
- İkinci olarak \( \sqrt{16} \) değerini hesaplayalım. Karesi 16 olan sayı 4'tür. Çünkü \( 4 \times 4 = 16 \). Dolayısıyla \( \sqrt{16} = 4 \). ✅
- Şimdi bu iki sonucu çarpalım: \( 14 \times 4 \).
- \( 14 \times 4 = 56 \). 👉 İşlemin sonucu 56'dır.
Örnek 8:
\( \sqrt{a} = 9 \) olduğuna göre, \( a \) kaçtır?
Çözüm:
Karekök alma işleminin tersi karesini almaktır. Eğer bir sayının karekökü verilmişse, o sayıyı bulmak için verilen sonucun karesini alırız.
- Verilen denklem: \( \sqrt{a} = 9 \).
- \( a \) değerini bulmak için, denklemin her iki tarafının karesini almalıyız.
- \( (\sqrt{a})^2 = 9^2 \)
- Sol tarafta karekök ve kare birbirini götürür, sadece \( a \) kalır.
- Sağ tarafta \( 9^2 = 9 \times 9 = 81 \) olur.
- Dolayısıyla, \( a = 81 \). 💡 Kontrol edelim: \( \sqrt{81} = 9 \), bu da verilen denklemle uyuşuyor. ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-karakok-problemleri/sorular