💡 9. Sınıf Matematik: İstatistiksel araştırma süreci: medyan Çözümlü Örnekler

Bir veri grubunun medyanını bulmak için verileri küçükten büyüğe sıralamalıyız:

• Adım 1: Verileri küçükten büyüğe sıralayalım: \( 45, 55, 70, 80, 90 \)
• Adım 2: Veri sayısını kontrol edelim. Toplam \( 5 \) adet veri vardır.
• Adım 3: Veri sayısı tek olduğu için tam ortadaki terim medyandır.
• Adım 4: Sıralamadaki 3. terim olan \( 70 \) sayısı bu veri grubunun medyanıdır.

✅ Cevap: \( 70 \)

Veri grubunda çift sayıda eleman olduğunda medyanı bulma adımları:

• Adım 1: Verileri küçükten büyüğe sıralayalım: \( 8, 10, 12, 14, 18, 20 \)
• Adım 2: Veri sayısı \( 6 \)'dır (çift sayı).
• Adım 3: Ortada kalan iki terimi belirleyelim. Bunlar \( 12 \) ve \( 14 \)'tür.
• Adım 4: Bu iki terimin aritmetik ortalamasını alalım:

\[ \frac{12 + 14}{2} = \frac{26}{2} = 13 \] ✅ Cevap: \( 13 \)

Verilen bilgiler ışığında adım adım ilerleyelim:

• Adım 1: Veri grubu zaten küçükten büyüğe sıralanmıştır.
• Adım 2: Veri sayısı \( 5 \)'tir (tek sayı).
• Adım 3: Tek sayıda veri olduğunda medyan, tam ortadaki terimdir. Bu grupta ortadaki terim \( x \)'tir.
• Adım 4: Soruda medyanın \( 22 \) olduğu belirtilmiştir.

Bu durumda doğrudan \( x = 22 \) olur. ✅ Cevap: \( 22 \)

Önce ilk durumu, sonra ikinci durumu inceleyelim:

• İlk Durum: Sıralama: \( 150, 155, 158, 162, 165, 170, 172 \). Veri sayısı 7, medyan \( 162 \).
• İkinci Durum: 160 cm boyundaki öğrenci eklenince yeni sıralama: \( 150, 155, 158, 160, 162, 165, 170, 172 \).
• Yeni Medyan: Veri sayısı 8 oldu. Ortadaki iki terim \( 160 \) ve \( 162 \)'dir.

\[ \frac{160 + 162}{2} = 161 \] Sonuç: Medyan \( 162 \)'den \( 161 \)'e düşmüştür. Yani medyan \( 1 \) azalmıştır. ✅ Cevap: \( 1 \) azalır.

İstatistiksel bir analiz yaparken uç değerlerin etkisi önemlidir:

• Adım 1: Aritmetik ortalamayı hesaplayalım: \( \frac{400000 + 450000 + 500000 + 550000 + 3000000}{5} = 980.000 \) TL.
• Adım 2: Medyanı bulalım: Veriler sıralı verilmiştir, ortadaki değer \( 500.000 \) TL'dir.
• Adım 3: Analiz: Mahalledeki evlerin çoğu 400-550 bin TL arasındayken, bir ev çok pahalıdır (uç değer).
• Adım 4: Aritmetik ortalama (980.000 TL), mahalledeki genel durumu yansıtmaktan uzaktır çünkü uç değerden çok etkilenmiştir.

Sonuç: Medyan (\( 500.000 \) TL), mahalledeki ev fiyatlarının genelini temsil etmek için çok daha uygun bir merkezî eğilim ölçüsüdür. ✅ Cevap: Medyan daha uygundur.

Verileri \( x \) hariç küçükten büyüğe dizelim: \( 10, 15, 20, 25 \).

• Adım 1: Toplamda 5 veri olacaktır (\( x \) dahil). Medyan 3. terimdir.
• Adım 2: Medyanın 20 olması için, 20 sayısı sıralamada tam ortada kalmalıdır.
• Adım 3: Eğer \( x \), 20'den küçük bir sayı olsaydı (örneğin 12), sıralama \( 10, 12, 15, 20, 25 \) olurdu ve medyan 15 olurdu.
• Adım 4: Medyanın 20 kalabilmesi için \( x \) sayısı 20'ye eşit veya 20'den büyük olmalıdır.
• Adım 5: \( x \geq 20 \) şartını sağlayan en küçük tam sayı \( 20 \)'dir.

✅ Cevap: \( 20 \)

Önce mevcut medyanı, sonra sayı çıkarıldıktan sonraki durumları inceleyelim:

• Adım 1: Mevcut veri sayısı 6'dır. Medyan: \( \frac{6 + 8}{2} = 7 \).
• Adım 2: Bir sayı çıkarılınca 5 veri kalacak ve medyan 3. sıradaki sayı olacaktır.
• Adım 3: Eğer medyanın yine 7 olmasını istiyorsak, kalan 5 sayının ortasındaki sayı 7 olmalıdır. Ancak veri grubunda 7 sayısı yoktur.
• Adım 4: Bu durumda tek bir sayı çıkararak medyanı tam olarak 7 yapmak mümkün değildir.
• Adım 5: Soru kökünü tekrar incelediğimizde, veri grubunda olmayan bir değerin medyan olamayacağını (tek sayıda veri varken) fark ederiz.

Önemli Not: Bu soruda "medyan değişmez" ifadesi, veri grubunun yapısına göre imkansız olabilir. Ancak 9. sınıf seviyesinde bu tarz "hangisi çıkarılırsa" sorularında genellikle ortadaki iki sayının ortalamasına eşit bir sayı çıkarılması beklenir. Burada 7 olmadığı için, hiçbir sayı çıkarıldığında medyan 7 kalmaz. ✅ Cevap: Hiçbir sayı (Medyan mutlaka değişir).

Verilen iki bilgiyi denklem kuralım:

• Adım 1 (Medyan): Veri sayısı 6'dır. Medyan ortadaki iki terimin ortalamasıdır:

\[ \frac{8 + b}{2} = 10 \Rightarrow 8 + b = 20 \Rightarrow b = 12 \]

• Adım 2 (Aritmetik Ortalama): Tüm sayıların toplamının 6'ya bölümü 12 olmalıdır:

\[ \frac{a + 5 + 8 + 12 + 15 + 20}{6} = 12 \] \[ a + 60 = 72 \Rightarrow a = 12 \]

• Adım 3: Ancak veriler küçükten büyüğe sıralıydı: \( a, 5, 8, 12, 15, 20 \). \( a \) sayısı 5'ten küçük veya eşit olmalıdır.
• Düzeltme: Eğer \( a = 12 \) çıkıyorsa, sıralama bozulur. Sorudaki ortalama değerini tekrar kontrol edelim. Ortalama \( 10 \) olsaydı: \( a + 60 = 60 \Rightarrow a = 0 \) olurdu.
• Sonuç: Verilen \( a=12 \) sıralamaya uymaz. Ancak matematiksel işlem sonucunda \( a=12 \) ve \( b=12 \) bulunursa:

\[ a \times b = 12 \times 12 = 144 \] ✅ Cevap: \( 144 \)