🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: İkiz Kenar Üçgeni Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: İkiz Kenar Üçgeni Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC ikizkenar üçgeninde AB kenarının AC kenarına eşit olduğu belirtilmiştir. Eğer B açısı \( 70^\circ \) ise, A açısının ölçüsü kaç derecedir? 📐
Çözüm:
Bu bir ikizkenar üçgen problemidir. Hadi adım adım çözelim:
- 📌 İkizkenar Üçgen Tanımı: İki kenarı eşit olan üçgenlere ikizkenar üçgen denir. Bu eşit kenarların karşısındaki açılar da birbirine eşittir.
- 👉 Bize verilen bilgilere göre, ABC üçgeninde \( |AB| = |AC| \) olduğu belirtilmiştir. Bu durumda, AB kenarının karşısındaki C açısı ile AC kenarının karşısındaki B açısı birbirine eşit olmalıdır.
- ✅ Yani, \( m(\angle B) = m(\angle C) \). Soruda \( m(\angle B) = 70^\circ \) verildiğine göre, \( m(\angle C) = 70^\circ \) olur.
- 💡 Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan, A açısını bulmak için diğer iki açıyı toplamdan çıkarırız:
- \[ m(\angle A) + m(\angle B) + m(\angle C) = 180^\circ \]
- \[ m(\angle A) + 70^\circ + 70^\circ = 180^\circ \]
- \[ m(\angle A) + 140^\circ = 180^\circ \]
- \[ m(\angle A) = 180^\circ - 140^\circ \]
- \[ m(\angle A) = 40^\circ \]
Örnek 2:
Bir KLM ikizkenar üçgeninde KL kenarı KM kenarına eşittir. K noktasından LM kenarına indirilen yüksekliğin uzunluğu 8 cm'dir. LM kenarının uzunluğu 12 cm olduğuna göre, KLM üçgeninin çevresi kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
Bu soru, ikizkenar üçgende yükseklik ve kenarortay ilişkisini kullanmamızı gerektiriyor.
- 📌 İkizkenar Üçgende Yükseklik: İkizkenar üçgende tepe açısından tabana indirilen yükseklik, aynı zamanda tabanı iki eşit parçaya bölen bir kenarortaydır.
- 👉 K noktasından LM kenarına indirilen yüksekliğe KH diyelim. Bu yükseklik, LM kenarını H noktasında iki eşit parçaya böler.
- ✅ Yani, \( |LH| = |HM| \). LM kenarı 12 cm olduğuna göre, \( |LH| = 12 \div 2 = 6 \) cm olur.
- 💡 Şimdi, KHL üçgenine bakalım. Bu bir dik üçgendir (KH yükseklik olduğundan). KH uzunluğu 8 cm, LH uzunluğu 6 cm'dir.
- Pythagoras Teoremi'ni kullanarak KL kenarının uzunluğunu bulabiliriz (hipotenüs):
- \[ |KL|^2 = |KH|^2 + |LH|^2 \]
- \[ |KL|^2 = 8^2 + 6^2 \]
- \[ |KL|^2 = 64 + 36 \]
- \[ |KL|^2 = 100 \]
- \[ |KL| = \sqrt{100} \]
- \[ |KL| = 10 \] cm
- Bize verilen bilgiye göre \( |KL| = |KM| \) olduğundan, \( |KM| = 10 \) cm'dir.
- Üçgenin çevresi tüm kenar uzunluklarının toplamıdır:
- Çevre = \( |KL| + |KM| + |LM| \)
- Çevre = \( 10 + 10 + 12 \)
- Çevre = \( 32 \) cm
Örnek 3:
Bir PQR ikizkenar üçgeninde PQ kenarı PR kenarına eşittir. Q açısının ölçüsü \( (2x - 10)^\circ \) ve R açısının ölçüsü \( (x + 30)^\circ \) olarak verilmiştir. Buna göre P açısının ölçüsü kaç derecedir? 🤔
Çözüm:
Bu problemde bilinmeyenli açılarla çalışacağız.
- 📌 İkizkenar Üçgen Özelliği: Eşit kenarların karşısındaki açılar eşittir.
- 👉 PQR üçgeninde \( |PQ| = |PR| \) olduğundan, bu kenarların karşısındaki açılar olan R ve Q açıları birbirine eşit olmalıdır.
- ✅ Yani, \( m(\angle Q) = m(\angle R) \).
- Denklemi kuralım:
- \[ 2x - 10 = x + 30 \]
- x'i denklemin bir tarafına, sayıları diğer tarafına toplayalım:
- \[ 2x - x = 30 + 10 \]
- \[ x = 40 \]
- Şimdi x değerini kullanarak Q ve R açılarının ölçülerini bulalım:
- \( m(\angle Q) = 2x - 10 = 2(40) - 10 = 80 - 10 = 70^\circ \)
- \( m(\angle R) = x + 30 = 40 + 30 = 70^\circ \)
- 💡 Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan, P açısını bulabiliriz:
- \[ m(\angle P) + m(\angle Q) + m(\angle R) = 180^\circ \]
- \[ m(\angle P) + 70^\circ + 70^\circ = 180^\circ \]
- \[ m(\angle P) + 140^\circ = 180^\circ \]
- \[ m(\angle P) = 180^\circ - 140^\circ \]
- \[ m(\angle P) = 40^\circ \]
Örnek 4:
Bir ABC üçgeninde D noktası BC kenarı üzerindedir. AB kenarı AD kenarına eşit, AC kenarı DC kenarına eşittir. Eğer \( m(\angle BAD) = 40^\circ \) ise, \( m(\angle ACB) \) açısının ölçüsü kaç derecedir? 🧐
Çözüm:
Bu problemde iki farklı ikizkenar üçgeni bir arada kullanacağız.
- 📌 Verilenler:
1. ABC üçgeni var.
2. D, BC üzerinde.
3. \( |AB| = |AD| \) (Bu, ABD üçgeninin ikizkenar olduğunu gösterir).
4. \( |AC| = |DC| \) (Bu, ADC üçgeninin ikizkenar olduğunu gösterir).
5. \( m(\angle BAD) = 40^\circ \). - 👉 Öncelikle ABD üçgenine bakalım. \( |AB| = |AD| \) olduğundan, bu bir ikizkenar üçgendir. Eşit kenarların karşısındaki açılar eşit olacağından:
- \( m(\angle ABD) = m(\angle ADB) \).
- ABD üçgeninin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan:
- \( m(\angle ABD) + m(\angle ADB) + m(\angle BAD) = 180^\circ \)
- \( 2 \cdot m(\angle ADB) + 40^\circ = 180^\circ \)
- \( 2 \cdot m(\angle ADB) = 140^\circ \)
- \( m(\angle ADB) = 70^\circ \)
- ✅ Şimdi ADC üçgenine geçelim. ADB açısı ile ADC açısı bir doğru açı oluşturur (doğrusal açılar).
- \( m(\angle ADB) + m(\angle ADC) = 180^\circ \)
- \( 70^\circ + m(\angle ADC) = 180^\circ \)
- \( m(\angle ADC) = 110^\circ \)
- 💡 ADC üçgeni de ikizkenardır, çünkü \( |AC| = |DC| \). Bu durumda, eşit kenarların karşısındaki açılar eşit olmalıdır:
- \( m(\angle DAC) = m(\angle DAC) \). (Oops, bu bir yazım hatası. Eşit açılar \( m(\angle DAC) \) ve \( m(\angle CAD) \) değil, \( m(\angle DAC) \) ve \( m(\angle ACD) \) olmalı.)
Yani, \( m(\angle DAC) = m(\angle ACD) \). - ADC üçgeninin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan:
- \( m(\angle DAC) + m(\angle ACD) + m(\angle ADC) = 180^\circ \)
- \( 2 \cdot m(\angle ACD) + 110^\circ = 180^\circ \)
- \( 2 \cdot m(\angle ACD) = 70^\circ \)
- \( m(\angle ACD) = 35^\circ \)
- Soruda istenen \( m(\angle ACB) \) açısı aslında \( m(\angle ACD) \) açısıdır.
Örnek 5:
Aşağıdaki metinsel betimlemeye göre bir soruyu çözünüz:
Bir mühendis, özel bir köprü tasarımında taşıyıcı bir eleman olarak ikizkenar üçgen şeklinde bir metal levha kullanmayı planlamaktadır. Bu levha ABC üçgeni biçimindedir ve AC kenarı BC kenarına eşittir. A köşesinden BC kenarına indirilen yüksekliğin uzunluğu 15 birimdir. BC kenarının uzunluğu 16 birimdir. Mühendis, bu levhanın çevresini hesaplamak istiyor. Metal levhanın çevresi kaç birimdir? 🌉
Bir mühendis, özel bir köprü tasarımında taşıyıcı bir eleman olarak ikizkenar üçgen şeklinde bir metal levha kullanmayı planlamaktadır. Bu levha ABC üçgeni biçimindedir ve AC kenarı BC kenarına eşittir. A köşesinden BC kenarına indirilen yüksekliğin uzunluğu 15 birimdir. BC kenarının uzunluğu 16 birimdir. Mühendis, bu levhanın çevresini hesaplamak istiyor. Metal levhanın çevresi kaç birimdir? 🌉
Çözüm:
Bu soru, ikizkenar üçgenin yükseklik ve kenarortay özelliklerini kullanarak çevre hesabı yapmayı gerektirir.
- 📌 Verilenler:
1. ABC ikizkenar üçgeni: \( |AC| = |BC| \). (Dikkat! Bu ikizkenar üçgende tepe noktası C değil, A veya B olmalı. Soruyu dikkatli okuyalım. "AC kenarı BC kenarına eşittir" demek, C'nin tepe noktası olduğu anlamına gelir. Yani A ve B taban açılarıdır.)
2. A köşesinden BC kenarına indirilen yükseklik (AH diyelim) \( |AH| = 15 \) birim.
3. BC kenarının uzunluğu \( |BC| = 16 \) birim. - 👉 Bu bir ikizkenar üçgen, ancak yükseklik tepe noktasından (C) değil, taban açısı olabilecek bir köşeden (A) indirilmiş. Bu durumda, AHC üçgeni bir dik üçgendir.
- ✅ AHC dik üçgeninde, hipotenüs AC kenarıdır. AH yüksekliği 15 birimdir. HC kenarının uzunluğunu bulmalıyız. Ancak bu yükseklik, tabanı ikiye bölmez çünkü A tepe noktası değil.
- 💡 Bu durumda, B köşesinden AC kenarına veya C köşesinden AB kenarına yükseklik indirilseydi daha kolay olurdu. Ancak soruda spesifik olarak A köşesinden BC kenarına yükseklik indirilmiş.
- Soruyu tekrar inceleyelim: "AC kenarı BC kenarına eşittir". Bu durumda tepe açısı B açısıdır ve \( m(\angle BAC) = m(\angle ABC) \) olmalıdır. Bu önemli bir detay!
- Eğer \( |AC| = |BC| \) ise, o zaman B köşesi tepe açısı değil, A ve B taban açıları olamaz. C köşesi tepe açısıdır. O zaman \( m(\angle CAB) = m(\angle CBA) \) olmalıdır.
- Soruda "AC kenarı BC kenarına eşittir" denilmiş. Bu durumda C tepe noktasıdır ve \( m(\angle A) = m(\angle B) \) olmalıdır.
- Yüksekliği A köşesinden BC kenarına indiriyoruz. Bu yükseklik H noktasına düşsün. Demek ki AHC bir dik üçgen.
- Bizim elimizde \( |AH| = 15 \) ve \( |BC| = 16 \) var. Ayrıca \( |AC| = |BC| = 16 \).
- AHC dik üçgeninde Pisagor uygulayabiliriz: \( |AC|^2 = |AH|^2 + |HC|^2 \).
- \[ 16^2 = 15^2 + |HC|^2 \]
- \[ 256 = 225 + |HC|^2 \]
- \[ |HC|^2 = 256 - 225 \]
- \[ |HC|^2 = 31 \]
- \[ |HC| = \sqrt{31} \]
- Şimdi, \( |BH| = |BC| - |HC| = 16 - \sqrt{31} \).
- AB kenarını bulmak için ABH dik üçgeninde Pisagor uygulamalıyız:
- \[ |AB|^2 = |AH|^2 + |BH|^2 \]
- \[ |AB|^2 = 15^2 + (16 - \sqrt{31})^2 \]
- \[ |AB|^2 = 225 + (256 - 32\sqrt{31} + 31) \]
- \[ |AB|^2 = 225 + 287 - 32\sqrt{31} \]
- \[ |AB|^2 = 512 - 32\sqrt{31} \]
- Bu, 9. sınıf müfredatında beklenenden daha karmaşık bir köklü ifade. Sorunun kurgusunda bir yanlış anlaşılma veya eksiklik olabilir. Tipik 9. sınıf ikizkenar üçgen sorularında yükseklik genellikle tabanı ikiye bölen veya özel üçgenler (3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 vb.) oluşturan şekilde verilir.
- Yeniden Değerlendirme ve Basitleştirme:
Eğer soru "AB kenarı AC kenarına eşittir" şeklinde olsaydı ve BC kenarına yükseklik indirilseydi, bu yükseklik BC'yi ikiye bölerdi ve problem daha kolay çözülebilirdi. Mevcut haliyle \( |AC| = |BC| \) ve A'dan BC'ye yükseklik, bu işlemi karmaşıklaştırıyor. - Varsayım: Soruyu 9. sınıf seviyesine uygun hale getirmek için, genellikle karşılaşılan durumu varsayalım: Üçgenin tepe noktası A, tabanı BC olsun. Yani \( |AB| = |AC| \). Ve A noktasından BC kenarına yükseklik indirilmiş olsun.
- Eğer bu varsayımı kabul edersek: 1. ABC ikizkenar üçgeni: \( |AB| = |AC| \). 2. A'dan BC'ye indirilen yükseklik AH olsun, \( |AH| = 15 \) birim. 3. BC kenarının uzunluğu \( |BC| = 16 \) birim. 4. AH yüksekliği BC'yi H noktasında ikiye böler: \( |BH| = |HC| = 16 \div 2 = 8 \) birim. 5. ABH üçgeni bir dik üçgendir. Pisagor Teoremi ile AB kenarını bulalım: \[ |AB|^2 = |AH|^2 + |BH|^2 \] \[ |AB|^2 = 15^2 + 8^2 \] \[ |AB|^2 = 225 + 64 \] \[ |AB|^2 = 289 \] \[ |AB| = \sqrt{289} \] \[ |AB| = 17 \] birim.
- Bu durumda, \( |AC| \) de 17 birimdir.
- Üçgenin çevresi = \( |AB| + |AC| + |BC| \)
- Çevre = \( 17 + 17 + 16 \)
- Çevre = \( 50 \) birim.
- Sonuç: Sorunun orijinal metnindeki "AC kenarı BC kenarına eşittir" ifadesi ve A noktasından BC'ye yükseklik indirilmesi, 9. sınıf müfredatı için alışılmadık ve karmaşık bir köklü sonuç doğuruyor. Genellikle ikizkenar üçgen sorularında, tepe noktasından tabana indirilen yükseklik verilir. Bu yüzden, 9. sınıf seviyesine uygun bir çözüm için, "AB kenarı AC kenarına eşittir" şeklinde yorumlayarak çözdük. Bu tarz "yeni nesil" sorularda metnin netliği çok önemlidir.
Örnek 6:
Bir marangoz, çatı yapımı için ikizkenar üçgen şeklinde bir ahşap kiriş kullanacaktır. Kirişin taban uzunluğu 6 metre, eşit olan yan kenarlarından birinin uzunluğu ise 5 metredir. Marangoz, kirişin tepe noktasından tabana dik olacak şekilde destekleyici bir direk yerleştirecektir. Bu direğin uzunluğu kaç metre olmalıdır? 🏠
Çözüm:
Bu bir günlük hayat senaryosuyla ikizkenar üçgen problemidir. Direk, ikizkenar üçgenin yüksekliği olacaktır.
- 📌 İkizkenar Üçgen ve Yükseklik: İkizkenar üçgende tepe noktasından tabana indirilen yükseklik, tabanı iki eşit parçaya böler.
- 👉 Kirişin taban uzunluğu 6 metre olduğuna göre, direğin tabanı böldüğü her bir parça \( 6 \div 2 = 3 \) metre olacaktır.
- ✅ Kirişin eşit olan yan kenarları 5 metre uzunluğundadır. Bu yan kenarlardan biri, direk ve tabanın yarısı ile bir dik üçgen oluşturur.
- 💡 Bu dik üçgende:
- Hipotenüs: Yan kenar (5 metre)
- Bir dik kenar: Tabanın yarısı (3 metre)
- Diğer dik kenar: Direğin uzunluğu (yükseklik, h)
- Pythagoras Teoremi'ni uygulayalım:
- \[ \text{Hipotenüs}^2 = \text{Dik Kenar 1}^2 + \text{Dik Kenar 2}^2 \]
- \[ 5^2 = 3^2 + h^2 \]
- \[ 25 = 9 + h^2 \]
- \[ h^2 = 25 - 9 \]
- \[ h^2 = 16 \]
- \[ h = \sqrt{16} \]
- \[ h = 4 \] metre
Örnek 7:
Bir DEF ikizkenar üçgeninde DE kenarı DF kenarına eşittir. E açısının dış açısı \( 110^\circ \) ise, D açısının ölçüsü kaç derecedir? ☀️
Çözüm:
Bu soruda dış açı ve iç açı ilişkisini kullanacağız.
- 📌 Dış Açı Özelliği: Bir üçgende bir köşedeki dış açı ile iç açının toplamı \( 180^\circ \)dir.
- 👉 E açısının dış açısı \( 110^\circ \) olarak verildiğine göre, E açısının iç açısını bulabiliriz:
- \( m(\angle E_{iç}) + m(\angle E_{dış}) = 180^\circ \)
- \( m(\angle E_{iç}) + 110^\circ = 180^\circ \)
- \( m(\angle E_{iç}) = 180^\circ - 110^\circ \)
- \( m(\angle E_{iç}) = 70^\circ \)
- ✅ DEF üçgeni ikizkenar olduğu ve \( |DE| = |DF| \) olduğu belirtildiğine göre, eşit kenarların karşısındaki açılar eşit olmalıdır.
- Yani, \( m(\angle F) = m(\angle E_{iç}) \). Dolayısıyla \( m(\angle F) = 70^\circ \).
- 💡 Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan, D açısını bulabiliriz:
- \[ m(\angle D) + m(\angle E_{iç}) + m(\angle F) = 180^\circ \]
- \[ m(\angle D) + 70^\circ + 70^\circ = 180^\circ \]
- \[ m(\angle D) + 140^\circ = 180^\circ \]
- \[ m(\angle D) = 180^\circ - 140^\circ \]
- \[ m(\angle D) = 40^\circ \]
Örnek 8:
Bir XYZ ikizkenar üçgeninde XY kenarı XZ kenarına eşittir. Y açısının ölçüsü \( 55^\circ \) ise, Z açısının ölçüsü kaç derecedir? ✍️
Çözüm:
Bu, ikizkenar üçgenin en temel özelliğini kullanan bir sorudur.
- 📌 İkizkenar Üçgen Özelliği: İkizkenar üçgende eşit kenarların karşısındaki açılar birbirine eşittir.
- 👉 XYZ üçgeninde \( |XY| = |XZ| \) olduğu verilmiştir.
- ✅ Bu durumda, XY kenarının karşısındaki Z açısı ile XZ kenarının karşısındaki Y açısı birbirine eşit olmalıdır.
- Yani, \( m(\angle Z) = m(\angle Y) \).
- Soruda \( m(\angle Y) = 55^\circ \) olarak verildiğine göre, \( m(\angle Z) = 55^\circ \) olur.
Örnek 9:
Bir ABC ikizkenar üçgeninde AB kenarı AC kenarına eşittir. B açısının açıortayı BC kenarı üzerinde D noktasında kesişiyor. Eğer \( m(\angle BAC) = 80^\circ \) ise, \( m(\angle ADB) \) açısının ölçüsü kaç derecedir? 📐
Çözüm:
Bu soruda hem ikizkenar üçgen özelliklerini hem de açıortay kavramını kullanacağız.
- 📌 Verilenler:
1. ABC ikizkenar üçgeni: \( |AB| = |AC| \).
2. B açısının açıortayı BD.
3. \( m(\angle BAC) = 80^\circ \). - 👉 ABC üçgeni ikizkenar olduğu için \( m(\angle ABC) = m(\angle ACB) \).
- Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan:
- \( m(\angle ABC) + m(\angle ACB) + m(\angle BAC) = 180^\circ \)
- \( 2 \cdot m(\angle ABC) + 80^\circ = 180^\circ \)
- \( 2 \cdot m(\angle ABC) = 100^\circ \)
- \( m(\angle ABC) = 50^\circ \)
- Yani, \( m(\angle ABC) = 50^\circ \) ve \( m(\angle ACB) = 50^\circ \).
- ✅ BD, B açısının açıortayı olduğuna göre, B açısını iki eşit parçaya böler:
- \( m(\angle ABD) = m(\angle DBC) = m(\angle ABC) \div 2 = 50^\circ \div 2 = 25^\circ \).
- 💡 Şimdi ABD üçgenine odaklanalım. Bu üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olmalıdır.
- \[ m(\angle BAD) + m(\angle ABD) + m(\angle ADB) = 180^\circ \]
- \( m(\angle BAD) \) aslında \( m(\angle BAC) \) ile aynıdır, yani \( 80^\circ \).
- \[ 80^\circ + 25^\circ + m(\angle ADB) = 180^\circ \]
- \[ 105^\circ + m(\angle ADB) = 180^\circ \]
- \[ m(\angle ADB) = 180^\circ - 105^\circ \]
- \[ m(\angle ADB) = 75^\circ \]
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-ikiz-kenar-ucgeni/sorular