💡 9. Sınıf Matematik: İkiz Kenar Üçgeni Çözümlü Örnekler

İkizkenar üçgenin en temel özelliklerini kullanarak sorumuzu adım adım çözelim:

• Adım 1: Bir ikizkenar üçgende eşit kenarların karşılarındaki açılar (taban açıları) birbirine eşittir. Burada \( |AB| = |AC| \) olduğu için \( m(ABC) = m(ACB) \) olur. Bu açılara \( x \) diyelim.
• Adım 2: Üçgenin iç açılarının toplamı her zaman \( 180^\circ \) dir.
• Adım 3: Denklemi kuralım:
  \[ 50^\circ + x + x = 180^\circ \] \[ 50^\circ + 2x = 180^\circ \]
• Adım 4: Bilinenleri bir tarafa toplayarak \( x \) değerini bulalım:
  \[ 2x = 180^\circ - 50^\circ \] \[ 2x = 130^\circ \] \[ x = 65^\circ \]

✅ Bu durumda taban açılarından biri olan \( m(ABC) = 65^\circ \) olarak bulunur.

Verilen geometrik bilgileri adım adım analiz ederek çözüme ulaşalım:

• Adım 1: İlk olarak \( ACD \) dik üçgenine odaklanalım. Bu üçgende \( m(ADC) = 90^\circ \) ve \( m(CAD) = 35^\circ \) dir.
• Adım 2: Üçgenin iç açılar toplamından \( m(ACD) \) açısını bulalım:
  \[ m(ACD) + 90^\circ + 35^\circ = 180^\circ \] \[ m(ACD) + 125^\circ = 180^\circ \] \[ m(ACD) = 55^\circ \]
• Adım 3: \( B, C, D \) noktaları doğrusal olduğundan, \( m(ACB) \) ve \( m(ACD) \) bütünler açılardır:
  \[ m(ACB) + m(ACD) = 180^\circ \] \[ m(ACB) + 55^\circ = 180^\circ \] \[ m(ACB) = 125^\circ \]
• Adım 4: \( ABC \) üçgeninde \( |AB| = |AC| \) olduğu verilmiştir. Bu bir ikizkenar üçgendir ve taban açıları eşittir:
  Ancak geniş açılı bu durumda tepe açısı \( m(BAC) \) olmalıdır. \( |AB| = |AC| \) ise taban açıları \( m(B) \) ve \( m(ACB) \) olamaz çünkü bir üçgende iki tane geniş açı bulunamaz.
• Düzeltme ve Analiz: \( |AB| = |AC| \) ise taban açıları \( m(B) \) ve \( m(ACB) \) olmalıdır. Fakat \( m(ACB) = 125^\circ \) bulmuştuk. Bu durumda \( C \) noktası dışarıda kalmaktadır. Şekli tekrar yorumlarsak:
  \( m(ACD) = 55^\circ \) ise ve \( |AB| = |AC| \) ikizkenar üçgeninde taban açıları \( m(ABC) = m(ACB) \) dir.
  \( m(ACB) = 55^\circ \) ise \( m(B) = 55^\circ \) olur.

✅ Buradan \( m(B) = 55^\circ \) olarak elde edilir.

Geometrinin en önemli kurallarından biri olan YAKİ (Yükseklik, Açıortay, Kenarortay, İkizkenar) kuralını uygulayalım:

• Adım 1: Bir üçgende indirilen yükseklik (\( [AH] \)), tabanı iki eşit parçaya bölüyorsa (\( |BH| = |HC| \)), bu yükseklik aynı zamanda hem kenarortaydır hem de bu üçgen bir ikizkenar üçgendir.
• Adım 2: İkizkenarlık gereği \( |AB| = |AC| \) olmalıdır.
• Adım 3: Verilen ifadeleri birbirine eşitleyerek \( x \) değerini bulalım:
  \[ 2x + 5 = 4x - 7 \] \[ 5 + 7 = 4x - 2x \] \[ 12 = 2x \] \[ x = 6 \]
• Adım 4: Bulduğumuz \( x \) değerini \( |AB| \) uzunluk formülünde yerine yazalım:
  \[ |AB| = 2(6) + 5 \] \[ |AB| = 12 + 5 = 17 \text{ cm} \]

✅ Doğru cevap 17 cm olarak bulunur.

İkizkenar üçgende tabana indirilen dikme özelliğini kullanarak çözüme gidelim:

• Adım 1: İkizkenar üçgende tepe noktasından tabana indirilen dikme, tabanı iki eşit parçaya böler (Kenarortay özelliği).
• Adım 2: Dikmenin \( [BC] \) tabanını kestiği noktaya \( H \) diyelim. Bu durumda:
  \[ |BH| = |HC| = \frac{|BC|}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ cm} \]
• Adım 3: Oluşan \( ABH \) dik üçgeninde Pisagor teoremini uygulayalım:
  \[ |AH|^2 + |BH|^2 = |AB|^2 \] \[ |AH|^2 + 6^2 = 10^2 \] \[ |AH|^2 + 36 = 100 \] \[ |AH|^2 = 64 \] \[ |AH| = 8 \text{ cm} \]
• Not: Bu üçgen, \( 3 - 4 - 5 \) özel dik üçgeninin 2 katı olan \( 6 - 8 - 10 \) özel üçgenidir.

✅ Taban yüksekliği 8 cm olarak hesaplanır.

Açıları adım adım yerleştirerek çözüme ulaşalım:

• Adım 1: Öncelikle \( m(ABC) \) açısının tamamını bulalım:
  \[ m(ABC) = m(ABD) + m(DBC) = 20^\circ + 40^\circ = 60^\circ \]
• Adım 2: \( ABC \) üçgeni \( |AB| = |AC| \) olan bir ikizkenar üçgen olduğundan, taban açıları eşittir:
  \[ m(ACB) = m(ABC) = 60^\circ \]
• Adım 3: Tepe açısı olan \( m(BAC) \) değerini bulalım:
  \[ m(BAC) + 60^\circ + 60^\circ = 180^\circ \] \[ m(BAC) = 60^\circ \] Bu durumda \( ABC \) aslında bir eşkenar üçgendir! Dolayısıyla \( |AB| = |AC| = |BC| \) olur.
• Adım 4: Soruda \( |BD| = |BC| \) verilmişti. Eşkenar üçgenden dolayı \( |BC| = |AB| \) olduğuna göre, \( |BD| = |AB| \) olur. Yani \( ABD \) üçgesi de bir ikizkenar üçgendir.
• Adım 5: \( ABD \) ikizkenar üçgeninde tepe açısı \( m(ABD) = 20^\circ \) dir. Taban açıları \( m(BAD) \) ve \( m(ADB) \) birbirine eşittir:
  \[ m(BAD) = \frac{180^\circ - 20^\circ}{2} = \frac{160^\circ}{2} = 80^\circ \]

✅ Aranan \( m(BAD) \) açısı 80 derecedir.

Katlama sorularında en önemli kural, katlanmış şekli eski haline getirerek simetriyi görmektir:

• Adım 1: B noktası katlandığında tam olarak C noktasının üzerine geliyorsa, katlama çizgisi olan \( [AD] \) doğrusu \( [BC] \) kenarının kenar orta dikmesidir.
• Adım 2: Bu durumda \( [AD] \perp [BC] \) ve \( |BD| = |DC| \) olur.
• Adım 3: \( |BC| = 10 \) cm verildiğine göre:
  \[ |BD| = |DC| = \frac{10}{2} = 5 \text{ cm} \]
• Adım 4: Katlama çizgisi yüksekliğimiz olduğundan \( m(ADC) = 90^\circ \) dir. \( ADC \) dik üçgeninde Pisagor teoremi uygularız:
  \[ |AC|^2 = |AD|^2 + |DC|^2 \] \[ |AC|^2 = 12^2 + 5^2 \] \[ |AC|^2 = 144 + 25 = 169 \] \[ |AC| = 13 \text{ cm} \]
• Adım 5: Başlangıçta üçgenimiz ikizkenar ve \( |AB| = |AC| \) olduğundan:
  \[ |AB| = 13 \text{ cm} \]

✅ Kartonun katlanmadan önceki \( |AB| \) kenar uzunluğu 13 cm'dir.

Günlük hayattaki bu çatı problemini ikizkenar üçgen modeliyle çözelim:

• Adım 1: Çatı dik kesiti \( |AB| = |AC| = 15 \) m olan bir ikizkenar üçgendir. Taban genişliği \( |BC| = 18 \) m'dir.
• Adım 2: Tam ortadan indirilecek dikey destek direği, tabana dik inen yükseklik (\( h \)) olacaktır.
• Adım 3: İkizkenar üçgenin özelliğinden dolayı bu dikme tabanı iki eşit parçaya böler:
  \[ \text{Yarı taban uzunluğu} = \frac{18}{2} = 9 \text{ metre} \]
• Adım 4: Oluşan dik üçgende Pisagor teoremini uygulayalım:
  \[ h^2 + 9^2 = 15^2 \] \[ h^2 + 81 = 225 \] \[ h^2 = 225 - 81 \] \[ h^2 = 144 \] \[ h = 12 \text{ metre} \]
• Pratik Yol: Bu üçgen, \( 3 - 4 - 5 \) özel üçgeninin 3 katı olan \( 9 - 12 - 15 \) dik üçgenidir.

✅ Yerleştirilecek destek direğinin boyu 12 metre olmalıdır.

Bu soruda \( 30^\circ - 30^\circ - 120^\circ \) özel ikizkenar üçgeninin özelliklerini kullanacağız:

• Adım 1: Tepe açısı \( 120^\circ \) olan ikizkenar üçgenin taban açıları:
  \[ \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ \text{ olur.} \]
• Adım 2: Tepe noktasından tabana bir dikme indirelim. Bu dikme tepe açısını iki eş parçaya (\( 60^\circ - 60^\circ \)) ve tabanı iki eş parçaya böler.
• Adım 3: Oluşan \( 30^\circ - 60^\circ - 90^\circ \) dik üçgeninde:
  
  • \( 90^\circ \)'nin karşısındaki kenar (hipotenüs) \( 8 \) metredir.
  • \( 30^\circ \)'nin karşısındaki kenar (yükseklik), hipotenüsün yarısıdır: \( \frac{8}{2} = 4 \) metre.
  • \( 60^\circ \)'nin karşısındaki kenar (tabanın yarısı), \( 30^\circ \)'nin karşısındakinin \( \sqrt{3} \) katıdır: \( 4\sqrt{3} \) metre.
• Adım 4: Tabanın tamamı bu uzunluğun iki katı olacağından:
  \[ \text{Taban genişliği} = 2 \times 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3} \text{ metre} \]

✅ Köprü ayağının taban genişliği \( 8\sqrt{3} \) metre olarak bulunur.