🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: İki Üçgenin Eş Veya Benzer Olması İçin Gerekli Olan Asgari Koşullarla İlgili Sayısal Eşlik Ve Benzerlik Çıkarım Yapabilme Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: İki Üçgenin Eş Veya Benzer Olması İçin Gerekli Olan Asgari Koşullarla İlgili Sayısal Eşlik Ve Benzerlik Çıkarım Yapabilme Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
💡 Bir ABC üçgeni ile bir DEF üçgeni veriliyor.
* AB kenarının uzunluğu 6 cm ve DE kenarının uzunluğu 6 cm'dir.
* BC kenarının uzunluğu 8 cm ve EF kenarının uzunluğu 8 cm'dir.
* B açısının ölçüsü \( 40^\circ \) ve E açısının ölçüsü \( 40^\circ \) dir.
Bu iki üçgenin eş olup olmadığını gerekli asgari koşulu belirterek açıklayınız.
* AB kenarının uzunluğu 6 cm ve DE kenarının uzunluğu 6 cm'dir.
* BC kenarının uzunluğu 8 cm ve EF kenarının uzunluğu 8 cm'dir.
* B açısının ölçüsü \( 40^\circ \) ve E açısının ölçüsü \( 40^\circ \) dir.
Bu iki üçgenin eş olup olmadığını gerekli asgari koşulu belirterek açıklayınız.
Çözüm:
Bu iki üçgenin eş olup olmadığını belirlemek için verilen bilgileri inceleyelim:
✅ Sonuç: Verilen ABC ve DEF üçgenleri KAK eşlik teoremine göre eştirler. Yani \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) yazılır.
- AB kenarı ile DE kenarı eşittir: \( |AB| = |DE| = 6 \) cm.
- BC kenarı ile EF kenarı eşittir: \( |BC| = |EF| = 8 \) cm.
- Bu iki kenar arasında kalan B açısı ile E açısı eşittir: \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{E}) = 40^\circ \).
✅ Sonuç: Verilen ABC ve DEF üçgenleri KAK eşlik teoremine göre eştirler. Yani \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) yazılır.
Örnek 2:
📌 Bir KLM üçgeninde KL kenarının uzunluğu 7 cm, M açısının ölçüsü \( 60^\circ \) ve L açısının ölçüsü \( 80^\circ \) dir.
Bir PRS üçgeninde PR kenarının uzunluğu 7 cm, S açısının ölçüsü \( 60^\circ \) ve R açısının ölçüsü \( 80^\circ \) dir.
Bu iki üçgenin eş olup olmadığını gerekli asgari koşulu belirterek açıklayınız.
Bir PRS üçgeninde PR kenarının uzunluğu 7 cm, S açısının ölçüsü \( 60^\circ \) ve R açısının ölçüsü \( 80^\circ \) dir.
Bu iki üçgenin eş olup olmadığını gerekli asgari koşulu belirterek açıklayınız.
Çözüm:
Verilen KLM ve PRS üçgenleri için aşağıdaki bilgilere sahibiz:
✅ Sonuç: KLM ve PRS üçgenleri AKA eşlik teoremine göre eştirler. Yani \( \triangle KLM \cong \triangle PRS \) yazılır.
- KL kenarının uzunluğu 7 cm ve PR kenarının uzunluğu 7 cm'dir: \( |KL| = |PR| = 7 \) cm.
- KLM üçgeninde L açısı \( 80^\circ \) ve M açısı \( 60^\circ \) dir. Bir üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan, K açısı \( 180^\circ - (80^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ \) olur.
- PRS üçgeninde R açısı \( 80^\circ \) ve S açısı \( 60^\circ \) dir. Bir üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan, P açısı \( 180^\circ - (80^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ \) olur.
- KL kenarı ile PR kenarı eşittir: \( |KL| = |PR| = 7 \) cm.
- Bu kenarın uç noktalarındaki açılar:
K açısı \( 40^\circ \) ve P açısı \( 40^\circ \) dir.
L açısı \( 80^\circ \) ve R açısı \( 80^\circ \) dir.
✅ Sonuç: KLM ve PRS üçgenleri AKA eşlik teoremine göre eştirler. Yani \( \triangle KLM \cong \triangle PRS \) yazılır.
Örnek 3:
👉 Bir ABC üçgeni ile bir XYZ üçgeni veriliyor.
* A açısının ölçüsü \( 70^\circ \) ve X açısının ölçüsü \( 70^\circ \) dir.
* B açısının ölçüsü \( 50^\circ \) ve Y açısının ölçüsü \( 50^\circ \) dir.
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını ve benzer ise hangi asgari koşula göre benzer olduğunu açıklayınız.
* A açısının ölçüsü \( 70^\circ \) ve X açısının ölçüsü \( 70^\circ \) dir.
* B açısının ölçüsü \( 50^\circ \) ve Y açısının ölçüsü \( 50^\circ \) dir.
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını ve benzer ise hangi asgari koşula göre benzer olduğunu açıklayınız.
Çözüm:
İki üçgenin benzer olması için en az iki açısının ölçüsünün eşit olması yeterlidir. Bu, Açı-Açı (AA) Benzerlik Teoremi olarak bilinir.
Verilen bilgilere göre:
\( m(\widehat{Z}) = 180^\circ - (70^\circ + 50^\circ) = 60^\circ \)
✅ Sonuç: ABC ve XYZ üçgenleri Açı-Açı (AA) Benzerlik Teoremi'ne göre benzerdirler. Yani \( \triangle ABC \sim \triangle XYZ \) yazılır.
- ABC üçgeninde A açısı \( 70^\circ \) ve XYZ üçgeninde X açısı \( 70^\circ \) dir. Yani \( m(\widehat{A}) = m(\widehat{X}) \).
- ABC üçgeninde B açısı \( 50^\circ \) ve XYZ üçgeninde Y açısı \( 50^\circ \) dir. Yani \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{Y}) \).
\( m(\widehat{Z}) = 180^\circ - (70^\circ + 50^\circ) = 60^\circ \)
✅ Sonuç: ABC ve XYZ üçgenleri Açı-Açı (AA) Benzerlik Teoremi'ne göre benzerdirler. Yani \( \triangle ABC \sim \triangle XYZ \) yazılır.
Örnek 4:
💡 Bir ABC üçgeninde AB kenarının uzunluğu 4 cm, BC kenarının uzunluğu 6 cm ve B açısının ölçüsü \( 60^\circ \) dir.
Bir DEF üçgeninde DE kenarının uzunluğu 6 cm, EF kenarının uzunluğu 9 cm ve E açısının ölçüsü \( 60^\circ \) dir.
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını gerekli asgari koşulu belirterek açıklayınız.
Bir DEF üçgeninde DE kenarının uzunluğu 6 cm, EF kenarının uzunluğu 9 cm ve E açısının ölçüsü \( 60^\circ \) dir.
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını gerekli asgari koşulu belirterek açıklayınız.
Çözüm:
İki üçgenin benzer olması için Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerlik Teoremi'ni inceleyelim. Bu teorem, iki üçgenin karşılıklı iki kenarının oranları eşit ve bu kenarlar arasında kalan açıların ölçüleri eşit ise üçgenlerin benzer olduğunu belirtir.
Verilen bilgilere göre:
✅ Sonuç: ABC ve DEF üçgenleri KAK benzerlik teoremine göre benzerdirler. Yani \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) yazılır.
- ABC üçgeninde AB kenarı 4 cm, BC kenarı 6 cm'dir. DEF üçgeninde DE kenarı 6 cm, EF kenarı 9 cm'dir.
- Karşılıklı kenar oranlarını kontrol edelim:
\( \frac{|AB|}{|DE|} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)
\( \frac{|BC|}{|EF|} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \) - Bu kenarlar arasında kalan açılar:
ABC üçgeninde B açısı \( 60^\circ \).
DEF üçgeninde E açısı \( 60^\circ \).
Yani \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{E}) \).
✅ Sonuç: ABC ve DEF üçgenleri KAK benzerlik teoremine göre benzerdirler. Yani \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) yazılır.
Örnek 5:
📌 Bir ABC üçgeninde kenar uzunlukları \( |AB| = 6 \) cm, \( |BC| = 9 \) cm, \( |AC| = 12 \) cm'dir.
Bir DEF üçgeninde kenar uzunlukları \( |DE| = 4 \) cm, \( |EF| = 6 \) cm, \( |DF| = 8 \) cm'dir.
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını gerekli asgari koşulu belirterek açıklayınız.
Bir DEF üçgeninde kenar uzunlukları \( |DE| = 4 \) cm, \( |EF| = 6 \) cm, \( |DF| = 8 \) cm'dir.
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını gerekli asgari koşulu belirterek açıklayınız.
Çözüm:
İki üçgenin benzer olması için Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Benzerlik Teoremi'ni inceleyelim. Bu teorem, iki üçgenin karşılıklı tüm kenarlarının oranları eşit ise üçgenlerin benzer olduğunu belirtir.
Verilen kenar uzunluklarını küçükten büyüğe doğru sıralayarak oranları kontrol edelim:
✅ Sonuç: ABC ve DEF üçgenleri KKK benzerlik teoremine göre benzerdirler. Yani \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) yazılır.
- ABC üçgeninin kenarları: 6 cm, 9 cm, 12 cm.
- DEF üçgeninin kenarları: 4 cm, 6 cm, 8 cm.
- En kısa kenarların oranı: \( \frac{|AB|}{|DE|} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \)
- Ortanca kenarların oranı: \( \frac{|BC|}{|EF|} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} \)
- En uzun kenarların oranı: \( \frac{|AC|}{|DF|} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \)
✅ Sonuç: ABC ve DEF üçgenleri KKK benzerlik teoremine göre benzerdirler. Yani \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) yazılır.
Örnek 6:
🌳 Bir binanın gölgesi 15 metre uzunluğundadır. Aynı anda, binanın yanında duran 1.8 metre boyundaki bir kişinin gölgesi 3 metre uzunluğundadır.
Bu bilgilere göre, binanın yüksekliğini bulunuz. Hangi asgari koşulu kullanarak çözüm yaptığınızı açıklayınız.
Bu bilgilere göre, binanın yüksekliğini bulunuz. Hangi asgari koşulu kullanarak çözüm yaptığınızı açıklayınız.
Çözüm:
Bu tür bir problemde, güneş ışınlarının aynı anda yere paralel düştüğü varsayılır. Bu durumda, bina ve gölgesi ile kişi ve gölgesi arasında oluşan dik üçgenler benzer olacaktır.
Bu durumda, iki üçgenin ikişer açısı eşit olduğu için (birer açı \( 90^\circ \), diğer açılar güneşin eğim açısı), Açı-Açı (AA) Benzerlik Teoremi'ne göre benzerdirler. Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir: \[ \frac{\text{Binanın Yüksekliği}}{\text{Kişinin Boyu}} = \frac{\text{Binanın Gölgesi}}{\text{Kişinin Gölgesi}} \] \[ \frac{h}{1.8} = \frac{15}{3} \] Denklemi çözelim: \[ \frac{h}{1.8} = 5 \] \[ h = 5 \times 1.8 \] \[ h = 9 \] ✅ Sonuç: Binanın yüksekliği 9 metredir. Bu çözümde Açı-Açı (AA) Benzerlik Teoremi kullanılmıştır.
- Binanın yüksekliğini \( h \) ile gösterelim. Binanın gölgesi 15 metredir.
- Kişinin boyu 1.8 metre ve gölgesi 3 metredir.
Bu durumda, iki üçgenin ikişer açısı eşit olduğu için (birer açı \( 90^\circ \), diğer açılar güneşin eğim açısı), Açı-Açı (AA) Benzerlik Teoremi'ne göre benzerdirler. Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir: \[ \frac{\text{Binanın Yüksekliği}}{\text{Kişinin Boyu}} = \frac{\text{Binanın Gölgesi}}{\text{Kişinin Gölgesi}} \] \[ \frac{h}{1.8} = \frac{15}{3} \] Denklemi çözelim: \[ \frac{h}{1.8} = 5 \] \[ h = 5 \times 1.8 \] \[ h = 9 \] ✅ Sonuç: Binanın yüksekliği 9 metredir. Bu çözümde Açı-Açı (AA) Benzerlik Teoremi kullanılmıştır.
Örnek 7:
✂️ Bir kağıt, ABCD dikdörtgeni şeklindedir. AB kenarının uzunluğu 10 cm, BC kenarının uzunluğu 6 cm'dir. Bu dikdörtgen, C köşesi A köşesinin üzerine gelecek şekilde katlanıyor ve katlama çizgisi EF oluyor. E noktası AD kenarı üzerinde, F noktası AB kenarı üzerindedir.
Katlama sonucunda oluşan AFE üçgeni ile BCF üçgeninin eş veya benzer olup olmadığını ve gerekli asgari koşulları açıklayınız. (Not: Katlama sonucunda C noktası A'ya geldiği için, katlanan kısım CFE üçgeni ile AFE üçgeni eştir.)
Katlama sonucunda oluşan AFE üçgeni ile BCF üçgeninin eş veya benzer olup olmadığını ve gerekli asgari koşulları açıklayınız. (Not: Katlama sonucunda C noktası A'ya geldiği için, katlanan kısım CFE üçgeni ile AFE üçgeni eştir.)
Çözüm:
Bu problemde, katlama işlemiyle oluşan üçgenleri ve orijinal dikdörtgenin özelliklerini inceleyelim.
Öncelikle, katlama işlemi gereği, katlanan üçgen (CFE) ile katlama sonrası oluşan üçgen (AFE) eştir. Yani \( \triangle CFE \cong \triangle AFE \).
Bu eşlikten dolayı:
- \( |CF| = |AF| \)
- \( |CE| = |AE| \)
- \( m(\widehat{CFE}) = m(\widehat{AFE}) \)
- Dikdörtgen olduğu için A ve B köşelerindeki açılar \( 90^\circ \) dir.
Yani \( m(\widehat{FAE}) = 90^\circ \) ve \( m(\widehat{CBF}) = 90^\circ \). - F noktasındaki açılara bakalım. \( m(\widehat{AFE}) \) açısı ile \( m(\widehat{BFC}) \) açısı arasında bir ilişki kurmalıyız.
Ayrıca, AFE üçgeninde F açısı, BCF üçgeninde F açısı ve CFE üçgeninde F açısı ile ilgili bilgi gereklidir.
Doğru açı \( 180^\circ \) olduğundan, \( m(\widehat{AFE}) + m(\widehat{EFC}) + m(\widehat{CFB}) = 180^\circ \) dir.
Katlama nedeniyle \( m(\widehat{AFE}) = m(\widehat{CFE}) \).
Bu durumda, \( 2 \cdot m(\widehat{AFE}) + m(\widehat{CFB}) = 180^\circ \) diyebiliriz. - Ancak, bu açılar hakkında kesin bir eşitlik veya oran belirlemek zor olabilir. Bunun yerine, AFE üçgenindeki \( m(\widehat{AEF}) \) açısı ile BCF üçgenindeki \( m(\widehat{BCF}) \) açısı arasındaki ilişkiye bakalım.
\( m(\widehat{AEF}) + m(\widehat{EFC}) = 90^\circ \) (Düzlemsel açı olduğu için).
\( m(\widehat{ADE}) = 90^\circ \).
\( m(\widehat{AEF}) + m(\widehat{AFE}) = 90^\circ \) (AFE dik üçgeninde).
BCF üçgeninde \( m(\widehat{BFC}) + m(\widehat{BCF}) = 90^\circ \).
- \( m(\widehat{FAE}) = 90^\circ \) ve \( m(\widehat{CBF}) = 90^\circ \). Birer açıları eşit.
- Şimdi diğer açıları bulalım.
\( m(\widehat{AFE}) = \alpha \) diyelim. O zaman \( m(\widehat{AEF}) = 90^\circ - \alpha \).
Katlama nedeniyle \( m(\widehat{CFE}) = \alpha \).
AFB doğrusu üzerinde \( m(\widehat{BFC}) = 180^\circ - (m(\widehat{AFE}) + m(\widehat{CFE})) = 180^\circ - (\alpha + \alpha) = 180^\circ - 2\alpha \).
BCF üçgeninde açılar toplamı \( 180^\circ \) olduğundan \( m(\widehat{BCF}) = 180^\circ - 90^\circ - (180^\circ - 2\alpha) = 90^\circ - 180^\circ + 2\alpha = 2\alpha - 90^\circ \).
Bu açılar genellikle eşit çıkmaz.
- Kenar oranlarını bulmalıyız. \( |AB| = 10 \), \( |BC| = 6 \).
\( |AF| = x \) dersek, \( |FB| = 10-x \). Katlama nedeniyle \( |CF| = |AF| = x \).
BCF dik üçgeninde Pisagor teoremi uygularsak: \( |FB|^2 + |BC|^2 = |CF|^2 \)
\( (10-x)^2 + 6^2 = x^2 \)
\( 100 - 20x + x^2 + 36 = x^2 \)
\( 136 - 20x = 0 \)
\( 20x = 136 \)
\( x = \frac{136}{20} = \frac{34}{5} = 6.8 \) cm.
Demek ki \( |AF| = 6.8 \) cm ve \( |CF| = 6.8 \) cm.
\( |FB| = 10 - 6.8 = 3.2 \) cm. - Şimdi \( |AE| \) uzunluğunu bulalım.
\( |AD| = |BC| = 6 \) cm. \( |AE| = y \) dersek, \( |ED| = 6-y \).
Katlama nedeniyle \( |CE| = |AE| = y \).
EDC dik üçgeninde Pisagor teoremi uygularsak: \( |ED|^2 + |DC|^2 = |CE|^2 \)
\( (6-y)^2 + 10^2 = y^2 \)
\( 36 - 12y + y^2 + 100 = y^2 \)
\( 136 - 12y = 0 \)
\( 12y = 136 \)
\( y = \frac{136}{12} = \frac{34}{3} \) cm.
Demek ki \( |AE| = \frac{34}{3} \) cm.
- AFE üçgeni: \( |AF| = 6.8 \), \( |AE| = \frac{34}{3} \approx 11.33 \), \( |FE| = |CE| = \frac{34}{3} \). (Dikkat: AF ve AE dik kenarlar değil. AF hipotenüs.)
Hata! AFE üçgeni dik üçgendir, A köşesi \( 90^\circ \). \( |AF| = 6.8 \), \( |AE| = \frac{34}{3} \).
\( |FE|^2 = |AF|^2 + |AE|^2 \) olmalı. Ama katlama nedeniyle \( |FE| = |CE| = \frac{34}{3} \).
Kontrol edelim: \( (6.8)^2 + (\frac{34}{3})^2 = (\frac{34}{5})^2 + (\frac{34}{3})^2 = 46.24 + 128.44 \neq (\frac{34}{3})^2 \).
Burada bir hata var. Katlama çizgisi EF, C'yi A'ya getirdiğinde, AFE üçgeni ile CFE üçgeni eştir.
AFE üçgeni dik üçgendir, A açısı \( 90^\circ \).
CFE üçgeni dik üçgen değildir.
Doğru düşünce: C köşesi A üzerine geldiği için, \( |AF| = |CF| \) ve \( |AE| = |CE| \).
BCF üçgeni dik üçgendir (B açısı \( 90^\circ \)). Kenarları \( |BC|=6 \), \( |BF|=3.2 \), \( |CF|=6.8 \).
AFE üçgeni dik üçgendir (A açısı \( 90^\circ \)). Kenarları \( |AF|=6.8 \), \( |AE| \), \( |FE| \).
Biz \( |AE| \) ve \( |FE| \) yi bulmalıyız.
\( |ED| = |AD| - |AE| = 6 - |AE| \).
\( |CD| = |AB| = 10 \).
EDC dik üçgeninde \( |ED|^2 + |CD|^2 = |CE|^2 \).
\( (6-|AE|)^2 + 10^2 = |AE|^2 \) (çünkü \( |CE| = |AE| \)).
\( 36 - 12|AE| + |AE|^2 + 100 = |AE|^2 \)
\( 136 - 12|AE| = 0 \)
\( 12|AE| = 136 \Rightarrow |AE| = \frac{136}{12} = \frac{34}{3} \) cm. Şimdi AFE üçgeninin kenarları: \( |AF| = 6.8 = \frac{34}{5} \) cm, \( |AE| = \frac{34}{3} \) cm.
Bu bir dik üçgen olduğu için \( |FE|^2 = |AF|^2 + |AE|^2 = (\frac{34}{5})^2 + (\frac{34}{3})^2 = 34^2 (\frac{1}{25} + \frac{1}{9}) = 34^2 (\frac{9+25}{225}) = 34^2 \frac{34}{225} \). Bu durumda \( |FE| = \frac{34\sqrt{34}}{15} \). Bu oldukça karmaşık bir değer. Tekrar kontrol edelim. \( |AF| = 6.8 \), \( |BF| = 3.2 \), \( |CF| = 6.8 \).
\( |AE| = \frac{34}{3} \), \( |DE| = 6 - \frac{34}{3} = \frac{18-34}{3} = -\frac{16}{3} \). Bu negatif çıktı. Demek ki E noktası AD kenarı üzerinde değil, dışında. Burada problem metninde bir hata var veya ben katlama tanımını yanlış anladım. "C köşesi A köşesinin üzerine gelecek şekilde katlanıyor" ifadesi genellikle katlama çizgisinin orta dikme olduğunu belirtir.
Eğer C, A'nın üzerine geliyorsa, katlama çizgisi AC'nin orta dikmesidir. Bu durumda EF, AC'nin orta dikmesi olur.
Ancak, "E noktası AD kenarı üzerinde, F noktası AB kenarı üzerindedir" ifadesi, EF'nin kenarları kestiğini belirtir.
Bu durumda, katlama sonucunda oluşan AFE üçgeni ile BCF üçgeninin benzerliği sorgulanıyor. Yeniden ele alalım: Katlama sonucunda C noktası A noktasına geldiğinden, \( \triangle AFE \cong \triangle CFE \) (eşlik tanımı gereği) ve \( |AF| = |CF| \), \( |AE| = |CE| \).AFE üçgeni: A açısı \( 90^\circ \). Kenarlar: \( |AF|, |AE|, |FE| \).
BCF üçgeni: B açısı \( 90^\circ \). Kenarlar: \( |BF|, |BC|, |CF| \).
\( |AB| = 10 \), \( |BC| = 6 \).
\( |AF| = x \) diyelim. O zaman \( |BF| = 10-x \). Katlama nedeniyle \( |CF| = |AF| = x \).
BCF dik üçgeninde Pisagor: \( (10-x)^2 + 6^2 = x^2 \)
\( 100 - 20x + x^2 + 36 = x^2 \)
\( 136 - 20x = 0 \Rightarrow 20x = 136 \Rightarrow x = \frac{136}{20} = \frac{34}{5} = 6.8 \) cm.
Demek ki \( |AF| = 6.8 \) cm ve \( |BF| = 3.2 \) cm. Şimdi AFE üçgenindeki \( |AE| \) kenarını bulalım.
\( |AD| = 6 \). \( |DE| = |AD| - |AE| = 6 - |AE| \).
Bu kısım yanlış. E noktası AD üzerinde, F noktası AB üzerinde. Katlama çizgisi EF'dir.
Katlama sonucunda C noktası A'ya geliyorsa, katlanan kısım CFE üçgeni değil, FBC üçgenidir. Hayır, bu da yanlış. Katlama çizgisi EF ise, C noktasının yeni yeri A noktasıdır. Yani \( |CE| = |AE| \) ve \( |CF| = |AF| \). Bu durumda:AFE üçgeninde: \( m(\widehat{A}) = 90^\circ \). Kenarlar \( |AF| = 6.8 \), \( |AE| \), \( |FE| \).
BCF üçgeninde: \( m(\widehat{B}) = 90^\circ \). Kenarlar \( |BF| = 3.2 \), \( |BC| = 6 \), \( |CF| = 6.8 \).
EDC üçgeninde: \( m(\widehat{D}) = 90^\circ \). Kenarlar \( |DE| = 6 - |AE| \), \( |DC| = 10 \), \( |CE| = |AE| \). Yine Pisagor: \( (6-|AE|)^2 + 10^2 = |AE|^2 \)
\( 36 - 12|AE| + |AE|^2 + 100 = |AE|^2 \)
\( 136 - 12|AE| = 0 \Rightarrow 12|AE| = 136 \Rightarrow |AE| = \frac{136}{12} = \frac{34}{3} \) cm. Şimdi AFE üçgeninin kenarlarını biliyoruz: \( |AF| = \frac{34}{5} \), \( |AE| = \frac{34}{3} \).
BCF üçgeninin kenarlarını biliyoruz: \( |BF| = 10 - \frac{34}{5} = \frac{50-34}{5} = \frac{16}{5} \), \( |BC|=6 \), \( |CF| = \frac{34}{5} \). Şimdi AFE ve BCF üçgenlerinin kenar oranlarını kontrol edelim:- \( \frac{|AF|}{|BC|} = \frac{34/5}{6} = \frac{34}{30} = \frac{17}{15} \)
- \( \frac{|AE|}{|BF|} = \frac{34/3}{16/5} = \frac{34}{3} \times \frac{5}{16} = \frac{170}{48} = \frac{85}{24} \)
Katlama işlemi sonucunda, C noktası A noktasına geldiği için, katlama çizgisi EF ile oluşan \( \triangle AFE \) ve \( \triangle CFE \) eştirler. Bu, Kenar-Kenar-Kenar (KKK), Kenar-Açı-Kenar (KAK) veya Açı-Kenar-Açı (AKA) eşlik teoremine göre ifade edilebilir. Örneğin, \( |AF| = |CF| \), \( |AE| = |CE| \) ve \( |FE| = |FE| \) olduğundan KKK eşliği vardır.
Şimdi \( \triangle AFE \) ile \( \triangle BCF \) arasındaki ilişkiye bakalım:
- Dikdörtgenin köşeleri olduğu için \( m(\widehat{A}) = 90^\circ \) ve \( m(\widehat{B}) = 90^\circ \). Bu, birer açılarının eşit olduğu anlamına gelir.
- Eğer bu iki üçgen benzer olsaydı, Açı-Açı (AA) Benzerlik Teoremi gereği, diğer karşılıklı açılarının da eşit olması gerekirdi. Yani ya \( m(\widehat{AEF}) = m(\widehat{BFC}) \) ya da \( m(\widehat{AEF}) = m(\widehat{BCF}) \) olmalıydı.
- Sayısal değerlerle hesaplandığında (daha önceki adımlarda gösterildiği gibi), \( |AF| = 6.8 \) cm, \( |BF| = 3.2 \) cm, \( |BC| = 6 \) cm ve \( |AE| = \frac{34}{3} \) cm bulunur.
- Bu kenar uzunlukları arasındaki oranlar ve açılar karşılaştırıldığında, \( \triangle AFE \) ve \( \triangle BCF \) üçgenlerinin benzer olmadığı görülür. Örneğin, \( \frac{|AF|}{|BC|} = \frac{6.8}{6} \approx 1.13 \) iken \( \frac{|AE|}{|BF|} = \frac{34/3}{3.2} \approx 3.54 \). Oranlar eşit değildir.
Örnek 8:
📏 Bir merdiven, duvara yaslanmıştır. Merdivenin duvara değdiği nokta ile zemine değdiği nokta arasındaki mesafe 8 metredir. Merdivenin orta noktasında duran bir kişi, zeminden 3 metre yüksekliktedir.
Bu bilgilere dayanarak, merdivenin uzunluğunu bulunuz. Çözümünüzde kullandığınız asgari benzerlik koşulunu açıklayınız.
Bu bilgilere dayanarak, merdivenin uzunluğunu bulunuz. Çözümünüzde kullandığınız asgari benzerlik koşulunu açıklayınız.
Çözüm:
Bu problemi çözmek için benzer üçgenler prensibini kullanabiliriz.
- Merdiven, duvar ve zemin bir dik üçgen oluşturur. Merdivenin uzunluğu bu dik üçgenin hipotenüsüdür.
- Duvara değdiği nokta ile zemine değdiği nokta arasındaki mesafe (duvarın zemine uzaklığı) 8 metredir. Bu, dik üçgenin bir dik kenarıdır.
- Merdivenin orta noktasında duran kişi zeminden 3 metre yüksekliktedir. Bu, merdivenin orta noktasından zemine dik inen bir doğru parçasıdır.
- Her iki üçgende de zemine olan diklikten dolayı birer açıları \( 90^\circ \) dir.
- Her iki üçgende de merdivenin zeminle yaptığı açı ortaktır (aynı açıdır).
- Küçük üçgenin zeminden yüksekliği (kişinin yüksekliği) 3 metredir. Bu, büyük üçgenin duvar yüksekliğinin yarısıdır. Demek ki duvarın yüksekliği \( 2 \times 3 = 6 \) metredir.
- Küçük üçgenin zemindeki dik kenarı (merdivenin zemine değdiği nokta ile kişinin zemindeki izdüşümü arasındaki mesafe) büyük üçgenin zemindeki dik kenarının (8 metre) yarısıdır. Demek ki bu mesafe \( 8 / 2 = 4 \) metredir.
Örnek 9:
🗺️ Bir harita üzerinde, iki şehir arasındaki uzaklık 5 cm olarak gösterilmiştir. Haritanın ölçeği 1:2.000.000'dir.
Bu iki şehir arasındaki gerçek uzaklığı kilometre cinsinden bulunuz. Bu hesaplamada hangi matematiksel prensipten yararlanılmıştır?
Bu iki şehir arasındaki gerçek uzaklığı kilometre cinsinden bulunuz. Bu hesaplamada hangi matematiksel prensipten yararlanılmıştır?
Çözüm:
Bu problem, benzerlik kavramının günlük hayattaki en yaygın kullanımlarından biri olan ölçekli çizimler ve haritalar üzerinedir. Haritalar, gerçek dünyadaki nesnelerin ve mesafelerin belirli bir oranda küçültülmüş benzerleridir.
- Harita üzerindeki uzaklık = 5 cm.
- Haritanın ölçeği = 1:2.000.000. Bu, haritadaki 1 birim uzunluğun gerçekte 2.000.000 birim uzunluğa karşılık geldiği anlamına gelir.
- 1 metre = 100 cm
- 1 kilometre = 1000 metre
- Yani 1 kilometre = \( 1000 \times 100 = 100.000 \) cm.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-iki-ucgenin-es-veya-benzer-olmasi-icin-gerekli-olan-asgari-kosullarla-ilgili-sayisal-eslik-ve-benzerlik-cikarim-yapabilme/sorular