🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: İki Üçgenin Eş Veya Benzer Olması İçin Gerekli Olan Asgari Koşullar Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: İki Üçgenin Eş Veya Benzer Olması İçin Gerekli Olan Asgari Koşullar Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
💡 Örnek 1: Kenar-Açı-Kenar (KAK) Eşlik Kuralı
Bir ABC üçgeninde \( |AB| = 7 \) cm, \( |BC| = 10 \) cm ve \( m(\hat{B}) = 60^\circ \) olarak verilmiştir. Bir DEF üçgeninde ise \( |DE| = 7 \) cm, \( |EF| = 10 \) cm ve \( m(\hat{E}) = 60^\circ \) olarak verilmiştir.
Bu iki üçgenin eş olup olmadığını belirleyiniz.
Bir ABC üçgeninde \( |AB| = 7 \) cm, \( |BC| = 10 \) cm ve \( m(\hat{B}) = 60^\circ \) olarak verilmiştir. Bir DEF üçgeninde ise \( |DE| = 7 \) cm, \( |EF| = 10 \) cm ve \( m(\hat{E}) = 60^\circ \) olarak verilmiştir.
Bu iki üçgenin eş olup olmadığını belirleyiniz.
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için KAK Eşlik Kuralı'nı kullanacağız. İşte adımlar:
- 👉 KAK Eşlik Kuralı Nedir?
İki üçgen arasında, karşılıklı iki kenar uzunluğu ve bu iki kenar arasındaki açının ölçüsü eşitse, bu iki üçgen eştir. - ✅ Verilenleri İnceleyelim:
- ABC üçgeninde: \( |AB| = 7 \) cm, \( |BC| = 10 \) cm, \( m(\hat{B}) = 60^\circ \)
- DEF üçgeninde: \( |DE| = 7 \) cm, \( |EF| = 10 \) cm, \( m(\hat{E}) = 60^\circ \)
- 📌 Eşlik Koşullarını Karşılaştıralım:
- Kenar: \( |AB| = |DE| = 7 \) cm (Eşit)
- Açı: \( m(\hat{B}) = m(\hat{E}) = 60^\circ \) (Eşit ve eşit kenarlar arasında)
- Kenar: \( |BC| = |EF| = 10 \) cm (Eşit)
- Sonuç: Görüldüğü üzere, ABC ve DEF üçgenlerinin karşılıklı iki kenarı ve bu kenarlar arasındaki açıları birbirine eşittir. Bu durumda, Kenar-Açı-Kenar (KAK) Eşlik Kuralı'na göre bu iki üçgen eştir. Yani, \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \)'dir.
Örnek 2:
💡 Örnek 2: Açı-Kenar-Açı (AKA) Eşlik Kuralı
Bir KLM üçgeninde \( m(\hat{K}) = 40^\circ \), \( m(\hat{L}) = 80^\circ \) ve \( |KL| = 8 \) cm olarak verilmiştir. Bir PRS üçgeninde ise \( m(\hat{P}) = 40^\circ \), \( m(\hat{R}) = 80^\circ \) ve \( |PR| = 8 \) cm olarak verilmiştir.
Bu iki üçgenin eş olup olmadığını belirleyiniz.
Bir KLM üçgeninde \( m(\hat{K}) = 40^\circ \), \( m(\hat{L}) = 80^\circ \) ve \( |KL| = 8 \) cm olarak verilmiştir. Bir PRS üçgeninde ise \( m(\hat{P}) = 40^\circ \), \( m(\hat{R}) = 80^\circ \) ve \( |PR| = 8 \) cm olarak verilmiştir.
Bu iki üçgenin eş olup olmadığını belirleyiniz.
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için AKA Eşlik Kuralı'nı kullanacağız. İşte adımlar:
- 👉 AKA Eşlik Kuralı Nedir?
İki üçgen arasında, karşılıklı iki açının ölçüsü ve bu iki açı arasındaki kenar uzunluğu eşitse, bu iki üçgen eştir. - ✅ Verilenleri İnceleyelim:
- KLM üçgeninde: \( m(\hat{K}) = 40^\circ \), \( m(\hat{L}) = 80^\circ \), \( |KL| = 8 \) cm
- PRS üçgeninde: \( m(\hat{P}) = 40^\circ \), \( m(\hat{R}) = 80^\circ \), \( |PR| = 8 \) cm
- 📌 Eşlik Koşullarını Karşılaştıralım:
- Açı: \( m(\hat{K}) = m(\hat{P}) = 40^\circ \) (Eşit)
- Kenar: \( |KL| = |PR| = 8 \) cm (Eşit ve eşit açılar arasında)
- Açı: \( m(\hat{L}) = m(\hat{R}) = 80^\circ \) (Eşit)
- Sonuç: KLM ve PRS üçgenlerinin karşılıklı iki açısı ve bu açılar arasındaki kenarları birbirine eşittir. Bu durumda, Açı-Kenar-Açı (AKA) Eşlik Kuralı'na göre bu iki üçgen eştir. Yani, \( \triangle KLM \cong \triangle PRS \)'dir.
Örnek 3:
💡 Örnek 3: Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Eşlik Kuralı
Bir XYZ üçgeninde kenar uzunlukları \( |XY| = 5 \) cm, \( |YZ| = 12 \) cm ve \( |XZ| = 13 \) cm olarak verilmiştir. Bir TUV üçgeninde ise kenar uzunlukları \( |TU| = 5 \) cm, \( |UV| = 12 \) cm ve \( |TV| = 13 \) cm olarak verilmiştir.
Bu iki üçgenin eş olup olmadığını belirleyiniz.
Bir XYZ üçgeninde kenar uzunlukları \( |XY| = 5 \) cm, \( |YZ| = 12 \) cm ve \( |XZ| = 13 \) cm olarak verilmiştir. Bir TUV üçgeninde ise kenar uzunlukları \( |TU| = 5 \) cm, \( |UV| = 12 \) cm ve \( |TV| = 13 \) cm olarak verilmiştir.
Bu iki üçgenin eş olup olmadığını belirleyiniz.
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için KKK Eşlik Kuralı'nı kullanacağız. İşte adımlar:
- 👉 KKK Eşlik Kuralı Nedir?
İki üçgenin karşılıklı tüm kenar uzunlukları birbirine eşitse, bu iki üçgen eştir. - ✅ Verilenleri İnceleyelim:
- XYZ üçgeninde: \( |XY| = 5 \) cm, \( |YZ| = 12 \) cm, \( |XZ| = 13 \) cm
- TUV üçgeninde: \( |TU| = 5 \) cm, \( |UV| = 12 \) cm, \( |TV| = 13 \) cm
- 📌 Eşlik Koşullarını Karşılaştıralım:
- Kenar: \( |XY| = |TU| = 5 \) cm (Eşit)
- Kenar: \( |YZ| = |UV| = 12 \) cm (Eşit)
- Kenar: \( |XZ| = |TV| = 13 \) cm (Eşit)
- Sonuç: XYZ ve TUV üçgenlerinin karşılıklı tüm kenar uzunlukları birbirine eşittir. Bu durumda, Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Eşlik Kuralı'na göre bu iki üçgen eştir. Yani, \( \triangle XYZ \cong \triangle TUV \)'dir.
Örnek 4:
💡 Örnek 4: Açı-Açı (AA) Benzerlik Kuralı
Bir ABC üçgeninde \( m(\hat{A}) = 70^\circ \) ve \( m(\hat{B}) = 50^\circ \) olarak verilmiştir. Bir DEF üçgeninde ise \( m(\hat{D}) = 70^\circ \) ve \( m(\hat{E}) = 50^\circ \) olarak verilmiştir.
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını belirleyiniz ve eğer benzerlerse, benzerlik oranını bulmak için hangi bilgilere ihtiyaç duyulduğunu açıklayınız.
Bir ABC üçgeninde \( m(\hat{A}) = 70^\circ \) ve \( m(\hat{B}) = 50^\circ \) olarak verilmiştir. Bir DEF üçgeninde ise \( m(\hat{D}) = 70^\circ \) ve \( m(\hat{E}) = 50^\circ \) olarak verilmiştir.
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını belirleyiniz ve eğer benzerlerse, benzerlik oranını bulmak için hangi bilgilere ihtiyaç duyulduğunu açıklayınız.
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için AA Benzerlik Kuralı'nı kullanacağız. İşte adımlar:
- 👉 AA Benzerlik Kuralı Nedir?
İki üçgenin karşılıklı iki açısının ölçüsü eşitse, bu iki üçgen benzerdir. (Üçüncü açılar da otomatik olarak eşit olacaktır.) - ✅ Verilenleri İnceleyelim:
- ABC üçgeninde: \( m(\hat{A}) = 70^\circ \), \( m(\hat{B}) = 50^\circ \)
- DEF üçgeninde: \( m(\hat{D}) = 70^\circ \), \( m(\hat{E}) = 50^\circ \)
- 📌 Benzerlik Koşullarını Karşılaştıralım:
- Açı: \( m(\hat{A}) = m(\hat{D}) = 70^\circ \) (Eşit)
- Açı: \( m(\hat{B}) = m(\hat{E}) = 50^\circ \) (Eşit)
- Sonuç: ABC ve DEF üçgenlerinin karşılıklı iki açısı birbirine eşittir. Bu durumda, Açı-Açı (AA) Benzerlik Kuralı'na göre bu iki üçgen benzerdir. Yani, \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \)'dir.
- ❓ Benzerlik Oranı:
Benzerlik oranını bulmak için karşılıklı kenarların uzunlukları oranına ihtiyacımız vardır. Örneğin, \( \frac{|AB|}{|DE|} \) veya \( \frac{|BC|}{|EF|} \) gibi bir oran verilseydi benzerlik oranını hesaplayabilirdik. Sadece açılar verildiği için benzerlik oranını hesaplayamayız, sadece benzer olduklarını söyleyebiliriz.
Örnek 5:
💡 Örnek 5: Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerlik Kuralı
Bir GHI üçgeninde \( |GH| = 6 \) cm, \( |HI| = 9 \) cm ve \( m(\hat{H}) = 45^\circ \) olarak verilmiştir. Bir JKL üçgeninde ise \( |JK| = 12 \) cm, \( |KL| = 18 \) cm ve \( m(\hat{K}) = 45^\circ \) olarak verilmiştir.
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını belirleyiniz. Benzerlerse, benzerlik oranını bulunuz.
Bir GHI üçgeninde \( |GH| = 6 \) cm, \( |HI| = 9 \) cm ve \( m(\hat{H}) = 45^\circ \) olarak verilmiştir. Bir JKL üçgeninde ise \( |JK| = 12 \) cm, \( |KL| = 18 \) cm ve \( m(\hat{K}) = 45^\circ \) olarak verilmiştir.
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını belirleyiniz. Benzerlerse, benzerlik oranını bulunuz.
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için KAK Benzerlik Kuralı'nı kullanacağız. İşte adımlar:
- 👉 KAK Benzerlik Kuralı Nedir?
İki üçgen arasında, karşılıklı iki kenar uzunluğunun oranları eşit ve bu kenarlar arasındaki açılarının ölçüleri de eşitse, bu iki üçgen benzerdir. - ✅ Verilenleri İnceleyelim:
- GHI üçgeninde: \( |GH| = 6 \) cm, \( |HI| = 9 \) cm, \( m(\hat{H}) = 45^\circ \)
- JKL üçgeninde: \( |JK| = 12 \) cm, \( |KL| = 18 \) cm, \( m(\hat{K}) = 45^\circ \)
- 📌 Benzerlik Koşullarını Karşılaştıralım:
- Açı: \( m(\hat{H}) = m(\hat{K}) = 45^\circ \) (Açıları eşit)
- Kenar Oranları:
- \( \frac{|GH|}{|JK|} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \)
- \( \frac{|HI|}{|KL|} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2} \)
- Sonuç: GHI ve JKL üçgenlerinin karşılıklı iki kenarının oranları eşit (\( \frac{1}{2} \)) ve bu kenarlar arasındaki açıları da eşittir. Bu durumda, Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerlik Kuralı'na göre bu iki üçgen benzerdir. Yani, \( \triangle GHI \sim \triangle JKL \)'dir.
- 📈 Benzerlik Oranı:
Benzerlik oranı, karşılıklı kenarların oranına eşittir. Bu örnekte benzerlik oranı \( k = \frac{1}{2} \)'dir.
Örnek 6:
💡 Örnek 6: Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Benzerlik Kuralı
Bir MNO üçgeninde kenar uzunlukları \( |MN| = 4 \) cm, \( |NO| = 6 \) cm ve \( |MO| = 8 \) cm olarak verilmiştir. Bir PQR üçgeninde ise kenar uzunlukları \( |PQ| = 6 \) cm, \( |QR| = 9 \) cm ve \( |PR| = 12 \) cm olarak verilmiştir.
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını belirleyiniz. Benzerlerse, benzerlik oranını bulunuz.
Bir MNO üçgeninde kenar uzunlukları \( |MN| = 4 \) cm, \( |NO| = 6 \) cm ve \( |MO| = 8 \) cm olarak verilmiştir. Bir PQR üçgeninde ise kenar uzunlukları \( |PQ| = 6 \) cm, \( |QR| = 9 \) cm ve \( |PR| = 12 \) cm olarak verilmiştir.
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını belirleyiniz. Benzerlerse, benzerlik oranını bulunuz.
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için KKK Benzerlik Kuralı'nı kullanacağız. İşte adımlar:
- 👉 KKK Benzerlik Kuralı Nedir?
İki üçgenin karşılıklı tüm kenar uzunluklarının oranları eşitse, bu iki üçgen benzerdir. - ✅ Verilenleri İnceleyelim:
- MNO üçgeninde: \( |MN| = 4 \) cm, \( |NO| = 6 \) cm, \( |MO| = 8 \) cm
- PQR üçgeninde: \( |PQ| = 6 \) cm, \( |QR| = 9 \) cm, \( |PR| = 12 \) cm
- 📌 Benzerlik Koşullarını Karşılaştıralım (Kenar Oranları):
- \( \frac{|MN|}{|PQ|} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)
- \( \frac{|NO|}{|QR|} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \)
- \( \frac{|MO|}{|PR|} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \)
- Sonuç: MNO ve PQR üçgenlerinin karşılıklı tüm kenar uzunluklarının oranları birbirine eşittir (\( \frac{2}{3} \)). Bu durumda, Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Benzerlik Kuralı'na göre bu iki üçgen benzerdir. Yani, \( \triangle MNO \sim \triangle PQR \)'dir.
- 📈 Benzerlik Oranı:
Benzerlik oranı, karşılıklı kenarların oranına eşittir. Bu örnekte benzerlik oranı \( k = \frac{2}{3} \)'tür.
Örnek 7:
🌳 Örnek 7: Yeni Nesil - Paralel Doğrular ve Benzerlik
Bir ABC üçgeninde, BC kenarına paralel olan bir DE doğru parçası çiziliyor. D noktası AB kenarı üzerinde, E noktası ise AC kenarı üzerindedir. Eğer \( |AD| = 3 \) cm, \( |DB| = 6 \) cm ve \( |AE| = 4 \) cm ise, \( |EC| \) uzunluğunu bulunuz.
Bir ABC üçgeninde, BC kenarına paralel olan bir DE doğru parçası çiziliyor. D noktası AB kenarı üzerinde, E noktası ise AC kenarı üzerindedir. Eğer \( |AD| = 3 \) cm, \( |DB| = 6 \) cm ve \( |AE| = 4 \) cm ise, \( |EC| \) uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
Bu soruda Temel Benzerlik Teoremi'ni (veya Tales Teoremi'nin bir uygulamasını) kullanacağız. Bu teorem, aslında AA Benzerlik Kuralı'nın bir sonucudur. İşte adımlar:
- 👉 Paralellik ve Benzerlik İlişkisi:
BC // DE olduğu için, yöndeş açılar birbirine eşittir:- \( m(\hat{A}) \) açısı hem \( \triangle ADE \) hem de \( \triangle ABC \) için ortaktır.
- \( m(\hat{ADE}) = m(\hat{ABC}) \) (Yöndeş açılar)
- \( m(\hat{AED}) = m(\hat{ACB}) \) (Yöndeş açılar)
- ✅ AA Benzerliği:
Yukarıdaki açı eşitliklerinden dolayı, \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \) olduğu Açı-Açı (AA) Benzerlik Kuralı'na göre kesindir. - 📌 Kenar Oranlarını Yazalım:
Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir. Bu durumda: \[ \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AE|}{|AC|} = \frac{|DE|}{|BC|} \] - Verilenleri Yerine Koyalım:
- \( |AD| = 3 \) cm
- \( |DB| = 6 \) cm, bu durumda \( |AB| = |AD| + |DB| = 3 + 6 = 9 \) cm
- \( |AE| = 4 \) cm
- Hesaplama:
İlk iki oranı kullanarak \( |EC| \)'yi bulabiliriz: \[ \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AE|}{|AC|} \] \[ \frac{3}{9} = \frac{4}{|AC|} \] İçler dışlar çarpımı yaparak: \( 3 \cdot |AC| = 9 \cdot 4 \) \( 3 \cdot |AC| = 36 \) \( |AC| = \frac{36}{3} \) \( |AC| = 12 \) cm - \( |EC| \) Uzunluğu:
\( |AC| = |AE| + |EC| \) olduğundan: \( 12 = 4 + |EC| \) \( |EC| = 12 - 4 \) \( |EC| = 8 \) cm
Örnek 8:
☀️ Örnek 8: Günlük Hayattan Örnek - Gölgelerle Boy Ölçme
Güneşli bir günde, boyu 1.80 metre olan bir öğrencinin gölge boyu 1.20 metre olarak ölçülmüştür. Aynı anda, yanındaki bir ağacın gölge boyu ise 6 metre olarak ölçülmüştür.
Bu bilgilere göre, ağacın boyu kaç metredir?
Güneşli bir günde, boyu 1.80 metre olan bir öğrencinin gölge boyu 1.20 metre olarak ölçülmüştür. Aynı anda, yanındaki bir ağacın gölge boyu ise 6 metre olarak ölçülmüştür.
Bu bilgilere göre, ağacın boyu kaç metredir?
Çözüm:
Bu problemi çözmek için AA Benzerlik Kuralı'nı günlük hayata uygulayacağız. Güneş ışınlarının aynı açıyla geldiği kabul edildiğinde, cisimler ve gölgeleri arasında benzer üçgenler oluşur. İşte adımlar:
- 👉 Benzer Üçgenleri Tanımlama:
- Öğrenci ve gölgesi bir dik üçgen oluşturur. Bu üçgenin dik kenarları öğrencinin boyu ve gölge boyudur.
- Ağaç ve gölgesi de benzer şekilde bir dik üçgen oluşturur.
- Güneş ışınları her iki durumda da yerle aynı açıyı (gölge açısı) yaptığı için, bu iki dik üçgenin birer açısı (gölge açısı) ve dik açıları (cisimlerin yere dik durması) eşittir. Bu durumda, Açı-Açı (AA) Benzerlik Kuralı'na göre bu iki üçgen benzerdir.
- ✅ Verilenleri İnceleyelim:
- Öğrencinin boyu: \( H_{öğrenci} = 1.80 \) metre
- Öğrencinin gölge boyu: \( G_{öğrenci} = 1.20 \) metre
- Ağacın gölge boyu: \( G_{ağaç} = 6 \) metre
- Ağacın boyu: \( H_{ağaç} = ? \)
- 📌 Benzerlik Oranını Kurma:
Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir. Bu durumda, boyların oranı ile gölge boylarının oranı aynı olacaktır: \[ \frac{H_{öğrenci}}{G_{öğrenci}} = \frac{H_{ağaç}}{G_{ağaç}} \] - Hesaplama:
Verilen değerleri formülde yerine koyalım: \[ \frac{1.80}{1.20} = \frac{H_{ağaç}}{6} \] Oranı sadeleştirelim: \( \frac{180}{120} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} \) Şimdi denklemimizi yeniden yazalım: \[ \frac{3}{2} = \frac{H_{ağaç}}{6} \] İçler dışlar çarpımı yaparak \( H_{ağaç} \)'ı bulalım: \( 2 \cdot H_{ağaç} = 3 \cdot 6 \) \( 2 \cdot H_{ağaç} = 18 \) \( H_{ağaç} = \frac{18}{2} \) \( H_{ağaç} = 9 \) metre - Sonuç: Ağacın boyu 9 metredir. Bu yöntem, ulaşılması zor cisimlerin yüksekliklerini ölçmek için günlük hayatta sıklıkla kullanılır.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-iki-ucgenin-es-veya-benzer-olmasi-icin-gerekli-olan-asgari-kosullar/sorular