💡 9. Sınıf Matematik: İki üçgenin eş veya benzer olması için gerekli asgari koşullar test 1 Çözümlü Örnekler

Bu soruda iki üçgenin kenar uzunlukları verilmiştir.

• ABC Üçgeni Kenar Uzunlukları: 5 cm, 7 cm, 9 cm
• DEF Üçgeni Kenar Uzunlukları: 5 cm, 7 cm, 9 cm

İki üçgenin de karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşittir.
Bu durum, Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Eşlik Kuralı'nı ifade eder. ✅
Dolayısıyla, ABC üçgeni ile DEF üçgeni eş üçgenlerdir.

Öncelikle her iki üçgenin de üçüncü açılarını bulalım.
Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \)dir.

• ABC Üçgeni: \( m(\hat{C}) = 180^\circ - (50^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \)
• EFG Üçgeni: \( m(\hat{G}) = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \)

Şimdi açıları karşılaştıralım:

• \( m(\hat{A}) = m(\hat{E}) = 50^\circ \)
• \( m(\hat{B}) = m(\hat{G}) = 60^\circ \)
• \( m(\hat{C}) = m(\hat{F}) = 70^\circ \)

İki üçgenin de karşılıklı açıları birbirine eşittir.
Bu durum, Açı-Açı-Açı (AAA) Benzerlik Kuralı'nı ifade eder. 👉
Dolayısıyla, ABC üçgeni ile EFG üçgeni benzer üçgenlerdir.

Verilen bilgilere göre iki üçgenin iki kenar uzunluğunu ve bu kenarlar arasındaki açıyı karşılaştıralım.

• ABC Üçgeni: \( |AB| = 8 \), \( |BC| = 10 \), \( m(\hat{B}) = 40^\circ \)
• DEF Üçgeni: \( |DE| = 16 \), \( |EF| = 20 \), \( m(\hat{E}) = 40^\circ \)

Açıları karşılaştıralım: \( m(\hat{B}) = m(\hat{E}) = 40^\circ \). ✅
Şimdi kenar oranlarını kontrol edelim:
\( \frac{|DE|}{|AB|} = \frac{16}{8} = 2 \)
\( \frac{|EF|}{|BC|} = \frac{20}{10} = 2 \)
İki üçgenin karşılıklı kenar uzunlukları orantılıdır ve bu kenarlar arasındaki açılar eşittir.
Bu durum, Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerlik Kuralı'nı ifade eder. 💡
Dolayısıyla, ABC üçgeni ile DEF üçgeni benzer üçgenlerdir.

İki üçgenin de kenar uzunlukları verilmiştir. Kenar uzunluklarını karşılaştırarak benzerlik durumunu inceleyelim.

• ABC Üçgeni Kenar Uzunlukları: 6 cm, 8 cm, 10 cm
• DEF Üçgeni Kenar Uzunlukları: 3 cm, 4 cm, 5 cm

Karşılıklı kenar uzunluklarının oranlarını hesaplayalım:
\( \frac{|AB|}{|DE|} = \frac{6}{3} = 2 \)
\( \frac{|BC|}{|EF|} = \frac{8}{4} = 2 \)
\( \frac{|AC|}{|DF|} = \frac{10}{5} = 2 \)
Tüm karşılıklı kenar uzunlukları aynı orana (2) sahiptir.
Bu durum, Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Benzerlik Kuralı'nı ifade eder. 👉
Dolayısıyla, ABC üçgeni ile DEF üçgeni benzer üçgenlerdir.

Bu problemde, maketlerin yükseklikleri ve taban genişlikleri verilerek üçgenlerin benzerliği sorgulanmaktadır.
Maketleri birer üçgen olarak düşünelim:

• Birinci Maket (Üçgen 1): Yükseklik = 15 cm, Taban Genişliği = 10 cm
• İkinci Maket (Üçgen 2): Yükseklik = 30 cm, Taban Genişliği = 20 cm

Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını anlamak için kenar oranlarını kontrol edelim.
Yüksekliklerin oranını hesaplayalım: \( \frac{30 \text{ cm}}{15 \text{ cm}} = 2 \).
Taban genişliklerinin oranını hesaplayalım: \( \frac{20 \text{ cm}}{10 \text{ cm}} = 2 \).
Her iki kenar da aynı oranda arttığına göre (oran 2'dir) ve bu kenarların oluşturduğu açıların (örneğin, maketin tepesinden tabana inen yüksekliğin tabanla yaptığı açı) aynı olduğunu varsayarsak, bu üçgenler Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerlik Kuralı'na göre benzerdir. ✅
Eğer maketlerin tepelerinden tabanlarına indirilen yüksekliklerin tabanla yaptığı açılar aynıysa, bu iki üçgen benzerdir. Genellikle ölçekli modellerde bu durum geçerlidir.

Bu soruda, aynı en-boy oranına sahip iki fotoğrafın kenar uzunlukları verilmiştir. Bu durum, benzerlik kavramıyla ilgilidir.
Fotoğrafları birer dikdörtgen olarak düşünelim ve bu dikdörtgenlerin kenar uzunluklarını karşılaştıralım.

• Küçük Fotoğraf: Kenar 1 = 12 cm, Kenar 2 = 18 cm
• Büyük Fotoğraf: Kenar 1 = 24 cm, Kenar 2 = 36 cm

Kenar uzunluklarının oranlarını kontrol edelim:
\( \frac{24 \text{ cm}}{12 \text{ cm}} = 2 \)
\( \frac{36 \text{ cm}}{18 \text{ cm}} = 2 \)
Her iki kenar da aynı oranda (2) büyümüş.
Bu, iki dikdörtgenin de benzer olduğunu gösterir. Eğer bu dikdörtgenleri köşegenleriyle ikişer üçgene bölersek, elde edeceğimiz üçgenler de Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Benzerlik Kuralı'na göre benzer olacaktır. 💡
Yani, küçük fotoğrafı temsil eden üçgenler ile büyük fotoğrafı temsil eden üçgenler benzerdir.

İki üçgenin iki kenar uzunluğu ve aralarındaki açıları karşılaştıralım.

• ABC Üçgeni: \( |AB| = 10 \), \( |AC| = 15 \), \( m(\hat{A}) = 70^\circ \)
• DEF Üçgeni: \( |DE| = 5 \), \( |DF| = 7.5 \), \( m(\hat{D}) = 70^\circ \)

Açıları karşılaştıralım: \( m(\hat{A}) = m(\hat{D}) = 70^\circ \). ✅
Şimdi kenar oranlarını kontrol edelim:
\( \frac{|AB|}{|DE|} = \frac{10}{5} = 2 \)
\( \frac{|AC|}{|DF|} = \frac{15}{7.5} = 2 \)
İki üçgenin karşılıklı kenar uzunlukları orantılıdır ve bu kenarlar arasındaki açılar eşittir.
Bu durum, Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerlik Kuralı'nı ifade eder. 💡
Dolayısıyla, ABC üçgeni ile DEF üçgeni benzer üçgenlerdir.

İki üçgenin de kenar uzunlukları verilmiştir. Kenar uzunluklarını karşılaştırarak benzerlik durumunu inceleyelim.

• ABC Üçgeni Kenar Uzunlukları: 12 cm, 18 cm, 24 cm
• GHI Üçgeni Kenar Uzunlukları: 4 cm, 6 cm, 8 cm

Karşılıklı kenar uzunluklarının oranlarını hesaplayalım:
\( \frac{|AB|}{|GH|} = \frac{12}{4} = 3 \)
\( \frac{|BC|}{|HI|} = \frac{18}{6} = 3 \)
\( \frac{|AC|}{|GI|} = \frac{24}{8} = 3 \)
Tüm karşılıklı kenar uzunlukları aynı orana (3) sahiptir.
Bu durum, Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Benzerlik Kuralı'nı ifade eder. 👉
Dolayısıyla, ABC üçgeni ile GHI üçgeni benzer üçgenlerdir.