🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: İki Üçgenin Eş Veya Benzer Olması İçin Gereken Koşullar Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: İki Üçgenin Eş Veya Benzer Olması İçin Gereken Koşullar Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Örnek 1: KKK (Kenar-Kenar-Kenar) Eşlik Koşulu 📐
Aşağıda kenar uzunlukları verilen iki üçgenin eş olup olmadığını belirleyiniz.
Birinci üçgen ABC olsun: \( |AB| = 5 \) cm, \( |BC| = 7 \) cm, \( |CA| = 8 \) cm.
İkinci üçgen DEF olsun: \( |DE| = 5 \) cm, \( |EF| = 7 \) cm, \( |FD| = 8 \) cm.
Aşağıda kenar uzunlukları verilen iki üçgenin eş olup olmadığını belirleyiniz.
Birinci üçgen ABC olsun: \( |AB| = 5 \) cm, \( |BC| = 7 \) cm, \( |CA| = 8 \) cm.
İkinci üçgen DEF olsun: \( |DE| = 5 \) cm, \( |EF| = 7 \) cm, \( |FD| = 8 \) cm.
Çözüm:
Bu iki üçgenin eş olup olmadığını belirlemek için KKK (Kenar-Kenar-Kenar) Eşlik Koşulu'nu kullanırız. 💡
- 👉 İki üçgenin karşılıklı tüm kenar uzunlukları birbirine eşitse, bu üçgenler eştir.
- ABC üçgeninin kenar uzunlukları: \( |AB| = 5 \) cm, \( |BC| = 7 \) cm, \( |CA| = 8 \) cm.
- DEF üçgeninin kenar uzunlukları: \( |DE| = 5 \) cm, \( |EF| = 7 \) cm, \( |FD| = 8 \) cm.
- Karşılıklı kenarların uzunluklarını karşılaştıralım:
- \( |AB| = |DE| = 5 \) cm
- \( |BC| = |EF| = 7 \) cm
- \( |CA| = |FD| = 8 \) cm
- ✅ Görüldüğü gibi, her iki üçgenin de karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşittir. Bu nedenle, ABC üçgeni ile DEF üçgeni eştir. Bu durumu \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) şeklinde gösteririz.
Örnek 2:
Örnek 2: KAK (Kenar-Açı-Kenar) Eşlik Koşulu 📏
Bir ABC üçgeninde \( |AB| = 6 \) cm, \( |BC| = 10 \) cm ve \( m(\widehat{B}) = 40^\circ \) olarak veriliyor.
Bir KLM üçgeninde \( |KL| = 6 \) cm, \( |LM| = 10 \) cm ve \( m(\widehat{L}) = 40^\circ \) olarak veriliyor.
Bu iki üçgenin eş olup olmadığını belirleyiniz.
Bir ABC üçgeninde \( |AB| = 6 \) cm, \( |BC| = 10 \) cm ve \( m(\widehat{B}) = 40^\circ \) olarak veriliyor.
Bir KLM üçgeninde \( |KL| = 6 \) cm, \( |LM| = 10 \) cm ve \( m(\widehat{L}) = 40^\circ \) olarak veriliyor.
Bu iki üçgenin eş olup olmadığını belirleyiniz.
Çözüm:
Bu üçgenlerin eş olup olmadığını kontrol etmek için KAK (Kenar-Açı-Kenar) Eşlik Koşulu'nu kullanırız. 📌
- 👉 İki üçgenin karşılıklı iki kenarı ve bu kenarlar arasındaki açıları eşitse, bu üçgenler eştir.
- ABC üçgeninin özellikleri:
- \( |AB| = 6 \) cm
- \( |BC| = 10 \) cm
- Bu iki kenar arasındaki açı \( m(\widehat{B}) = 40^\circ \)
- KLM üçgeninin özellikleri:
- \( |KL| = 6 \) cm
- \( |LM| = 10 \) cm
- Bu iki kenar arasındaki açı \( m(\widehat{L}) = 40^\circ \)
- Karşılaştırma yapalım:
- \( |AB| = |KL| = 6 \) cm
- \( |BC| = |LM| = 10 \) cm
- \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{L}) = 40^\circ \)
- ✅ Görüldüğü üzere, ABC ve KLM üçgenlerinin karşılıklı iki kenarı ve bu kenarlar arasında kalan açıları birbirine eşittir. Bu nedenle, \( \triangle ABC \cong \triangle KLM \) olup üçgenler eştir.
Örnek 3:
Örnek 3: AKA (Açı-Kenar-Açı) Eşlik Koşulu 📐
Bir PRS üçgeninde \( m(\widehat{P}) = 60^\circ \), \( m(\widehat{R}) = 70^\circ \) ve \( |PR| = 9 \) cm veriliyor.
Bir XYZ üçgeninde \( m(\widehat{X}) = 60^\circ \), \( m(\widehat{Y}) = 70^\circ \) ve \( |XY| = 9 \) cm veriliyor.
Bu üçgenlerin eş olup olmadığını belirleyiniz.
Bir PRS üçgeninde \( m(\widehat{P}) = 60^\circ \), \( m(\widehat{R}) = 70^\circ \) ve \( |PR| = 9 \) cm veriliyor.
Bir XYZ üçgeninde \( m(\widehat{X}) = 60^\circ \), \( m(\widehat{Y}) = 70^\circ \) ve \( |XY| = 9 \) cm veriliyor.
Bu üçgenlerin eş olup olmadığını belirleyiniz.
Çözüm:
Bu üçgenlerin eşliğini kontrol etmek için AKA (Açı-Kenar-Açı) Eşlik Koşulu'nu kullanırız. 💡
- 👉 İki üçgenin karşılıklı iki açısı ve bu açılar arasındaki kenarı eşitse, bu üçgenler eştir.
- PRS üçgeninin özellikleri:
- \( m(\widehat{P}) = 60^\circ \)
- \( m(\widehat{R}) = 70^\circ \)
- Bu iki açı arasındaki kenar \( |PR| = 9 \) cm
- XYZ üçgeninin özellikleri:
- \( m(\widehat{X}) = 60^\circ \)
- \( m(\widehat{Y}) = 70^\circ \)
- Bu iki açı arasındaki kenar \( |XY| = 9 \) cm
- Karşılaştırma yapalım:
- \( m(\widehat{P}) = m(\widehat{X}) = 60^\circ \)
- \( m(\widehat{R}) = m(\widehat{Y}) = 70^\circ \)
- \( |PR| = |XY| = 9 \) cm
- ✅ PRS ve XYZ üçgenlerinin karşılıklı iki açısı ve bu açılar arasında kalan kenarları birbirine eşittir. Bu nedenle, \( \triangle PRS \cong \triangle XYZ \) olup üçgenler eştir.
Örnek 4:
Örnek 4: AA (Açı-Açı) Benzerlik Koşulu 🔍
Bir ABC üçgeninde \( m(\widehat{A}) = 50^\circ \) ve \( m(\widehat{B}) = 70^\circ \) veriliyor.
Bir DEF üçgeninde \( m(\widehat{D}) = 50^\circ \) ve \( m(\widehat{E}) = 70^\circ \) veriliyor.
Ayrıca \( |AB| = 6 \) cm ve \( |DE| = 9 \) cm ise, \( |BC| \) kenarının uzunluğu \( |EF| \) kenarının uzunluğunun kaç katıdır?
Bir ABC üçgeninde \( m(\widehat{A}) = 50^\circ \) ve \( m(\widehat{B}) = 70^\circ \) veriliyor.
Bir DEF üçgeninde \( m(\widehat{D}) = 50^\circ \) ve \( m(\widehat{E}) = 70^\circ \) veriliyor.
Ayrıca \( |AB| = 6 \) cm ve \( |DE| = 9 \) cm ise, \( |BC| \) kenarının uzunluğu \( |EF| \) kenarının uzunluğunun kaç katıdır?
Çözüm:
Bu üçgenlerin benzer olup olmadığını kontrol etmek için AA (Açı-Açı) Benzerlik Koşulu'nu kullanırız. 📌
- 👉 İki üçgenin karşılıklı iki açısı eşitse, bu üçgenler benzerdir.
- ABC üçgeninin açıları: \( m(\widehat{A}) = 50^\circ \), \( m(\widehat{B}) = 70^\circ \). Bu durumda \( m(\widehat{C}) = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 60^\circ \).
- DEF üçgeninin açıları: \( m(\widehat{D}) = 50^\circ \), \( m(\widehat{E}) = 70^\circ \). Bu durumda \( m(\widehat{F}) = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 60^\circ \).
- Karşılaştırma yapalım:
- \( m(\widehat{A}) = m(\widehat{D}) = 50^\circ \)
- \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{E}) = 70^\circ \)
- \( m(\widehat{C}) = m(\widehat{F}) = 60^\circ \)
- ✅ Tüm karşılıklı açılar eşit olduğu için \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) olup üçgenler benzerdir.
- Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları sabittir. Bu orana benzerlik oranı (k) denir. \[ \frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|BC|}{|EF|} = \frac{|CA|}{|FD|} = k \]
- Bize verilen kenar uzunluklarını kullanarak benzerlik oranını bulalım: \[ k = \frac{|AB|}{|DE|} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \]
- Şimdi \( |BC| \) ve \( |EF| \) kenarlarının oranını kullanalım: \[ \frac{|BC|}{|EF|} = k = \frac{2}{3} \]
- Bu durumda, \( 3 \cdot |BC| = 2 \cdot |EF| \) veya \( |BC| = \frac{2}{3} \cdot |EF| \) bulunur.
- Yani, \( |BC| \) kenarının uzunluğu \( |EF| \) kenarının uzunluğunun \( \frac{2}{3} \) katıdır.
Örnek 5:
Örnek 5: KAK (Kenar-Açı-Kenar) Benzerlik Koşulu 🔎
Bir ABC üçgeninde \( |AB| = 4 \) cm, \( |BC| = 6 \) cm ve \( m(\widehat{B}) = 80^\circ \) veriliyor.
Bir DEF üçgeninde \( |DE| = 6 \) cm, \( |EF| = 9 \) cm ve \( m(\widehat{E}) = 80^\circ \) veriliyor.
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını belirleyiniz.
Bir ABC üçgeninde \( |AB| = 4 \) cm, \( |BC| = 6 \) cm ve \( m(\widehat{B}) = 80^\circ \) veriliyor.
Bir DEF üçgeninde \( |DE| = 6 \) cm, \( |EF| = 9 \) cm ve \( m(\widehat{E}) = 80^\circ \) veriliyor.
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını belirleyiniz.
Çözüm:
Bu üçgenlerin benzerliğini kontrol etmek için KAK (Kenar-Açı-Kenar) Benzerlik Koşulu'nu kullanırız. 💡
- 👉 İki üçgenin karşılıklı iki kenarının oranları eşit ve bu kenarlar arasındaki açılar eşitse, bu üçgenler benzerdir.
- Öncelikle, kenarlar arasındaki açıların eşitliğini kontrol edelim:
- \( m(\widehat{B}) = 80^\circ \)
- \( m(\widehat{E}) = 80^\circ \)
- ✅ Açılar eşittir: \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{E}) \).
- Şimdi bu açıyı oluşturan kenarların oranlarını kontrol edelim. ABC üçgeninde \( |AB| = 4 \) ve \( |BC| = 6 \). DEF üçgeninde \( |DE| = 6 \) ve \( |EF| = 9 \).
- Kenarların oranlarını bulalım: \[ \frac{|AB|}{|DE|} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \] \[ \frac{|BC|}{|EF|} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \]
- ✅ Kenar oranları da birbirine eşittir: \( \frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|BC|}{|EF|} = \frac{2}{3} \).
- Hem karşılıklı kenarların oranları eşit hem de bu kenarlar arasındaki açılar eşit olduğu için, \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) olup üçgenler benzerdir.
Örnek 6:
Örnek 6: KKK (Kenar-Kenar-Kenar) Benzerlik Koşulu 📏
Bir PQR üçgeninin kenar uzunlukları \( |PQ| = 4 \) cm, \( |QR| = 6 \) cm ve \( |RP| = 8 \) cm'dir.
Bir STU üçgeninin kenar uzunlukları \( |ST| = 6 \) cm, \( |TU| = 9 \) cm ve \( |US| = 12 \) cm'dir.
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını belirleyiniz. Eğer benzerlerse, benzerlik oranını bulunuz.
Bir PQR üçgeninin kenar uzunlukları \( |PQ| = 4 \) cm, \( |QR| = 6 \) cm ve \( |RP| = 8 \) cm'dir.
Bir STU üçgeninin kenar uzunlukları \( |ST| = 6 \) cm, \( |TU| = 9 \) cm ve \( |US| = 12 \) cm'dir.
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını belirleyiniz. Eğer benzerlerse, benzerlik oranını bulunuz.
Çözüm:
Bu üçgenlerin benzerliğini kontrol etmek için KKK (Kenar-Kenar-Kenar) Benzerlik Koşulu'nu kullanırız. 📌
- 👉 İki üçgenin karşılıklı tüm kenarlarının oranları birbirine eşitse, bu üçgenler benzerdir.
- PQR üçgeninin kenar uzunlukları: \( |PQ| = 4 \), \( |QR| = 6 \), \( |RP| = 8 \).
- STU üçgeninin kenar uzunlukları: \( |ST| = 6 \), \( |TU| = 9 \), \( |US| = 12 \).
- Karşılıklı kenarların oranlarını bulalım. Küçük kenardan büyüğe doğru sıralayarak eşleştirelim:
- \( \frac{|PQ|}{|ST|} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)
- \( \frac{|QR|}{|TU|} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \)
- \( \frac{|RP|}{|US|} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \)
- ✅ Görüldüğü gibi, tüm karşılıklı kenarların oranları birbirine eşittir (\( \frac{2}{3} \)). Bu nedenle, \( \triangle PQR \sim \triangle STU \) olup üçgenler benzerdir.
- Bu durumda, üçgenler arasındaki benzerlik oranı (k) \( \frac{2}{3} \) olarak bulunur.
Örnek 7:
Örnek 7: Kelebek Benzerliği (AA Benzerliği Uygulaması) 🦋
Birbirini K noktasında kesen AC ve BD doğru parçaları verilmiştir. K noktasının etrafında, A noktasından C'ye ve B noktasından D'ye uzanan iki doğru parçası düşünün.
\( |AK| = 3 \) cm, \( |KC| = 9 \) cm, \( |BK| = 4 \) cm ve \( |KD| = 12 \) cm olarak verilmiştir.
Eğer \( |AB| = 5 \) cm ise, \( |CD| \) uzunluğu kaç cm'dir?
Birbirini K noktasında kesen AC ve BD doğru parçaları verilmiştir. K noktasının etrafında, A noktasından C'ye ve B noktasından D'ye uzanan iki doğru parçası düşünün.
\( |AK| = 3 \) cm, \( |KC| = 9 \) cm, \( |BK| = 4 \) cm ve \( |KD| = 12 \) cm olarak verilmiştir.
Eğer \( |AB| = 5 \) cm ise, \( |CD| \) uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm:
Bu problemde, birbirini kesen doğru parçalarıyla oluşan iki üçgenin benzerliğini inceleyeceğiz. Bu durum genellikle "kelebek benzerliği" olarak adlandırılır ve aslında AA Benzerliği'nin bir uygulamasıdır. 💡
- Öncelikle, K noktasında kesişen AC ve BD doğru parçaları, \( \triangle AKB \) ve \( \triangle CKD \) üçgenlerini oluşturur.
- Bu iki üçgende açıları inceleyelim:
- \( \angle AKB \) ve \( \angle CKD \) açıları ters açılar olduğu için birbirine eşittir: \( m(\widehat{AKB}) = m(\widehat{CKD}) \).
- AB doğrusu ile CD doğrusunun paralel olduğunu varsayarsak (ki bu benzerlik probleminde genellikle böyle ima edilir veya kenar oranlarından çıkar), iç ters açılar oluşur: \( m(\widehat{BAK}) = m(\widehat{DCK}) \) ve \( m(\widehat{ABK}) = m(\widehat{CDK}) \).
- Eğer AB ve CD paralel değilse bile, sadece ters açılar ve kenar oranları ile KAK benzerliği de düşünülebilir. Ancak bu örnekte AA benzerliği daha net.
- Karşılıklı kenarların oranlarını kontrol edelim:
- \( \frac{|AK|}{|KC|} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \)
- \( \frac{|BK|}{|KD|} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \)
- ✅ Görüldüğü gibi, \( \angle AKB = \angle CKD \) (ters açılar) ve bu açıları oluşturan kenarların oranları (\( \frac{|AK|}{|KC|} \) ve \( \frac{|BK|}{|KD|} \)) birbirine eşittir. Bu durumda, KAK Benzerlik Koşulu'na göre \( \triangle AKB \sim \triangle CKD \) olup üçgenler benzerdir.
- Benzerlik oranı \( k = \frac{1}{3} \)'tür.
- Benzer üçgenlerde, karşılıklı kenarların oranları benzerlik oranına eşittir: \[ \frac{|AB|}{|CD|} = k = \frac{1}{3} \]
- Bize \( |AB| = 5 \) cm olarak verilmiştir. Bu değeri formülde yerine yazalım: \[ \frac{5}{|CD|} = \frac{1}{3} \]
- Denklemi çözerek \( |CD| \) uzunluğunu buluruz: \[ |CD| = 5 \times 3 = 15 \]
- Sonuç olarak, \( |CD| = 15 \) cm'dir.
Örnek 8:
Örnek 8: Gölge Boyu ile Boy Ölçme (AA Benzerliği Uygulaması) ☀️
Güneşli bir günde, 1.8 metre boyundaki bir kişinin gölge boyu 2.4 metre olarak ölçülüyor.
Aynı anda, yanındaki bir ağacın gölge boyu ise 8 metre olarak ölçülüyor.
Buna göre, ağacın boyu kaç metredir?
Güneşli bir günde, 1.8 metre boyundaki bir kişinin gölge boyu 2.4 metre olarak ölçülüyor.
Aynı anda, yanındaki bir ağacın gölge boyu ise 8 metre olarak ölçülüyor.
Buna göre, ağacın boyu kaç metredir?
Çözüm:
Bu tür gölge problemleri, günlük hayatta benzer üçgenler ve özellikle AA Benzerlik Koşulu'nun güzel bir uygulamasıdır. 🌳
- 👉 Güneş ışınları yeryüzüne paralel geldiği için, hem kişinin hem de ağacın oluşturduğu üçgenlerde güneş ışınlarının yerle yaptığı açılar (gölge açısı) aynıdır.
- Ayrıca, hem kişi hem de ağaç yere dik durduğu için, yer ile yaptıkları açılar \( 90^\circ \) dir.
- Bu durumda, hem kişi ve gölgesinden oluşan dik üçgen hem de ağaç ve gölgesinden oluşan dik üçgenin iki açısı (güneş ışınlarının açısı ve \( 90^\circ \) açısı) birbirine eşittir. Bu da AA Benzerlik Koşulu'na göre bu iki üçgenin benzer olduğunu gösterir.
- Kişinin oluşturduğu üçgeni \( \triangle KAB \) ve ağacın oluşturduğu üçgeni \( \triangle AGB \) olarak düşünelim (K: Kişi, A: Ağaç, B: Gölge ucu).
- Verilenleri not edelim:
- Kişinin boyu: \( 1.8 \) metre
- Kişinin gölge boyu: \( 2.4 \) metre
- Ağacın gölge boyu: \( 8 \) metre
- Ağacın boyu: \( x \) metre (bilinmeyen)
- Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir: \[ \frac{\text{Kişinin Boyu}}{\text{Ağacın Boyu}} = \frac{\text{Kişinin Gölge Boyu}}{\text{Ağacın Gölge Boyu}} \]
- Değerleri yerine yazalım: \[ \frac{1.8}{x} = \frac{2.4}{8} \]
- Şimdi denklemi çözerek \( x \)'i bulalım: \[ 2.4 \cdot x = 1.8 \cdot 8 \] \[ 2.4x = 14.4 \] \[ x = \frac{14.4}{2.4} \] \[ x = 6 \]
- ✅ Sonuç olarak, ağacın boyu \( 6 \) metredir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-iki-ucgenin-es-veya-benzer-olmasi-icin-gereken-kosullar/sorular