💡 9. Sınıf Matematik: İki üçgenin eş veya benzer olması için gereken asgari koşullar Çözümlü Örnekler

İki üçgenin eş olması için aşağıdaki koşullardan biri sağlanmalıdır:

• Kenar-Açı-Kenar (KAK) Eşliği: Bir üçgenin iki kenarı ve bu kenarlar arasındaki açısı, diğer üçgenin karşılık gelen iki kenarı ve arasındaki açıya eşitse, bu iki üçgen eştir.
• Açı-Kenar-Açı (AKA) Eşliği: Bir üçgenin iki açısı ve bu iki açı arasındaki kenarı, diğer üçgenin karşılık gelen iki açısı ve arasındaki kenarına eşitse, bu iki üçgen eştir.
• Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Eşliği: Bir üçgenin üç kenarı, diğer üçgenin karşılık gelen üç kenarına eşitse, bu iki üçgen eştir.

Eş üçgenlerin karşılıklı kenar uzunlukları ve açı ölçüleri birbirine eşittir. Bu durum, eş üçgenlerin birbirinin aynısı olduğu anlamına gelir. ✅

İki üçgenin benzer olması için aşağıdaki koşullardan biri sağlanmalıdır:

• Açı-Açı (AA) Benzerliği: Bir üçgenin iki açısı, diğer üçgenin karşılık gelen iki açısına eşitse, bu iki üçgen benzerdir.
• Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerliği: Bir üçgenin iki kenarı arasındaki açısı, diğer üçgenin karşılık gelen iki kenarı arasındaki açısına eşit ve bu kenarların oranları da birbirine eşitse, bu iki üçgen benzerdir.
• Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Benzerliği: Bir üçgenin üç kenarı, diğer üçgenin karşılık gelen üç kenarına orantılı ise, bu iki üçgen benzerdir.

Benzer üçgenlerin karşılıklı açı ölçüleri eşittir, ancak kenar uzunlukları birbiriyle orantılıdır. Orantı sabiti 1'den farklı olabilir. 👉

Evet, ABC ve DEF üçgenleri eş üçgenlerdir.

• ABC üçgeninde iki kenar (\( AB \) ve \( BC \)) ve bu kenarlar arasındaki açı (\( \angle B \)) verilmiştir.
• DEF üçgeninde ise karşılık gelen kenarlar (\( DE \) ve \( EF \)) ve bu kenarlar arasındaki açı (\( \angle E \)) verilmiştir.
• Verilen kenar uzunlukları \( AB = DE = 5 \) cm ve \( BC = EF = 7 \) cm'dir.
• Verilen açı ölçüsü \( \angle B = \angle E = 60^\circ \) 'dir.

Bu durum, Kenar-Açı-Kenar (KAK) Eşliği koşulunu sağlamaktadır. Bu nedenle ABC \( \cong \) DEF'dir. ✅

Evet, ABC ve PQR üçgenleri benzerdir.

• Üçgenlerin kenar uzunluklarını karşılaştıralım:
• \( \frac{PQ}{AB} = \frac{12}{6} = 2 \)
• \( \frac{QR}{BC} = \frac{16}{8} = 2 \)
• \( \frac{PR}{AC} = \frac{20}{10} = 2 \)

Tüm karşılıklı kenar uzunluklarının oranı sabittir ve 2'dir. Bu durum, Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Benzerliği koşulunu sağlamaktadır. Bu nedenle ABC \( \sim \) PQR'dir. Benzerlik oranı 2'dir. 🌟

Bu iki üçgen ne eş ne de benzerdir.

• Bir üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olmalıdır.
• Birinci üçgenin üçüncü açısı: \( 180^\circ - 50^\circ - 70^\circ = 60^\circ \) olur. Yani açıları \( 50^\circ, 70^\circ, 60^\circ \) 'dir.
• İkinci üçgenin üçüncü açısı: \( 180^\circ - 50^\circ - 60^\circ = 70^\circ \) olur. Yani açıları \( 50^\circ, 60^\circ, 70^\circ \) 'dir.

Her iki üçgenin de açıları \( 50^\circ, 60^\circ, 70^\circ \) olduğundan, bu iki üçgen benzerdir (Açı-Açı Benzerliği). Ancak, sadece açıları eşit olduğu için kenar uzunlukları hakkında bir bilgiye sahip değiliz. Eş üçgen olmaları için hem açıları hem de karşılıklı kenar uzunlukları eşit olmalıdır. Bu durumda sadece benzerdirler. 🔄

Evet, bu iki dikdörtgen benzerdir.

• Dikdörtgenlerin kenar uzunluklarını karşılaştıralım:
• Kısa kenarların oranı: \( \frac{20 \text{ cm}}{10 \text{ cm}} = 2 \)
• Uzun kenarların oranı: \( \frac{30 \text{ cm}}{15 \text{ cm}} = 2 \)

Her iki kenar oranının da 2 olması, bu iki dikdörtgenin benzer olduğunu gösterir. Dikdörtgenler benzer olduğunda, köşegenleri ile oluşan üçgenler de benzer olur (Kenar-Açı-Kenar Benzerliği veya Kenar-Kenar-Kenar Benzerliği ile açıklanabilir, çünkü tüm açılar \( 90^\circ \) ve kenarlar orantılıdır). Bu, fotoğrafın çerçeveye orantılı bir şekilde sığdırılacağı anlamına gelir. 👍

İki üçgenin eş olduğunu göstermek için gereken minimum koşullar şunlardır:

• Kenar-Açı-Kenar (KAK) Eşliği: Bir üçgenin iki kenarı ve bu kenarlar arasındaki açısı, diğer üçgenin karşılık gelen iki kenarı ve arasındaki açıya eşit olmalıdır. (2 kenar, 1 açı)
• Açı-Kenar-Açı (AKA) Eşliği: Bir üçgenin iki açısı ve bu iki açı arasındaki kenarı, diğer üçgenin karşılık gelen iki açısı ve arasındaki kenarına eşit olmalıdır. (2 açı, 1 kenar)
• Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Eşliği: Bir üçgenin üç kenarı, diğer üçgenin karşılık gelen üç kenarına eşit olmalıdır. (3 kenar)
• Açı-Açı-Kenar (AAK) Eşliği: Bir üçgenin iki açısı ve bu açılardan birinin karşısındaki kenarı, diğer üçgenin karşılık gelen iki açısı ve bu açılardan birinin karşısındaki kenarına eşit olmalıdır. (2 açı, 1 kenar)

En az 2 kenar ve 1 açı (KAK veya AAK) veya 2 açı ve 1 kenar (AKA) bilgisiyle eşlik gösterilebilir. KKK eşliğinde ise 3 kenar bilgisi gereklidir. 📌

Bu iki üçgen eş değildir, ancak benzerdir.

• Eşlik Kontrolü: Üçgenlerin karşılıklı kenar uzunlukları eşit değildir (\( 8 \neq 4 \), \( 10 \neq 5 \), \( 12 \neq 6 \)). Bu nedenle KKK eşliği sağlanmaz. Diğer eşlik durumları için de yeterli bilgi yoktur ve kenarlar eşit olmadığı için eşlik mümkün değildir.
• Benzerlik Kontrolü: Karşılıklı kenar uzunluklarının oranlarını inceleyelim:
• \( \frac{AB}{DE} = \frac{8}{4} = 2 \)
• \( \frac{BC}{EF} = \frac{10}{5} = 2 \)
• \( \frac{AC}{DF} = \frac{12}{6} = 2 \)

Tüm karşılıklı kenar uzunluklarının oranı sabittir ve 2'dir. Bu durum, Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Benzerliği koşulunu sağlamaktadır. Bu nedenle ABC \( \sim \) DEF'dir. Benzerlik oranı 2'dir. 💯