💡 9. Sınıf Matematik: İç İçe Kökler Çözümlü Örnekler

Bu tür iç içe köklü ifadeleri sadeleştirmek için en içteki kökten başlayarak dışarı doğru ilerleriz.

• İlk olarak en içteki kökü hesaplayalım: \( \sqrt{81} = 9 \)
• Şimdi bu sonucu dıştaki kökün içine yerleştirelim: \( \sqrt{16 \times 9} \)
• İçerideki çarpma işlemini yapalım: \( 16 \times 9 = 144 \)
• Son olarak elde ettiğimiz sayının karekökünü alalım: \( \sqrt{144} = 12 \)

Sonuç olarak, \( \sqrt{16 \sqrt{81}} = 12 \) bulunur. ✅

İç içe köklü ifadelerde kök dereceleri çarpılarak tek bir kök altında birleştirilebilir.

• Verilen ifade: \( \sqrt[3]{\sqrt{64}} \)
• Karekök, 2. dereceden köktür. Bu durumda kök dereceleri 3 ve 2'dir.
• Kök derecelerini çarparak tek bir kök elde edelim: \( 3 \times 2 = 6 \)
• Tek kök altında sayıyı yazalım: \( \sqrt[6]{64} \)
• 64 sayısının 6. kuvvetten kökünü alalım. \( 64 = 2^6 \) olduğunu biliyoruz.
• O halde, \( \sqrt[6]{2^6} = 2 \) olur.

Sonuç olarak, \( \sqrt[3]{\sqrt{64}} = 2 \) bulunur. 💡

İç içe köklü ifadelerde, dıştaki kökün derecesi içeriye dağıtılabilir.

• Verilen ifade: \( \sqrt{5 \sqrt{25}} \)
• Önce en içteki kökü hesaplayalım: \( \sqrt{25} = 5 \)
• Bu sonucu yerine koyalım: \( \sqrt{5 \times 5} \)
• Çarpma işlemini yapalım: \( \sqrt{25} \)
• Son olarak karekökünü alalım: \( \sqrt{25} = 5 \)

Alternatif olarak, kök derecelerini çarparak da çözebiliriz:

• \( \sqrt{5 \sqrt{25}} = \sqrt[2]{5 \times \sqrt[2]{25}} \)
• Kök derecelerini çarparsak: \( \sqrt[2 \times 2]{5^2 \times 25} = \sqrt[4]{25 \times 25} = \sqrt[4]{625} \)
• \( 625 = 5^4 \) olduğu için, \( \sqrt[4]{5^4} = 5 \) bulunur.

Her iki yöntemle de sonuç 5'tir. ✅

Bu tür ifadelerde, sayının üssü ve kök dereceleri kullanılarak sadeleştirme yapılır.

• Verilen ifade: \( \sqrt{a \sqrt{a}} \)
• İçteki \( \sqrt{a} \) ifadesini \( a^{\frac{1}{2}} \) şeklinde yazabiliriz.
• İfade şimdi şöyle olur: \( \sqrt{a \times a^{\frac{1}{2}}} \)
• Üslü sayılarda çarpma kuralını kullanarak üsleri toplarız: \( a^1 \times a^{\frac{1}{2}} = a^{1 + \frac{1}{2}} = a^{\frac{3}{2}} \)
• İfade şimdi \( \sqrt{a^{\frac{3}{2}}} \) haline gelir.
• Bu ifadeyi de \( (a^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{2}} \) şeklinde yazabiliriz.
• Üslü sayılarda üs alma kuralını kullanarak üsleri çarparız: \( \frac{3}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \)
• Sonuç olarak, ifade \( a^{\frac{3}{4}} \) şeklinde yazılır.

Yani, \( x = \frac{3}{4} \) olur. 👉

Bu problemde alan ve kenar uzunluğu arasındaki ilişki kullanılarak istenen kenar uzunluğu bulunur.

• Tarlanın bir kenar uzunluğu \( a = \sqrt{18} \) metre.
• Tarlanın alanı \( A \), bir kenar uzunluğunun \( \sqrt{2} \) katıymış.
• Yani, \( A = a \times \sqrt{2} = \sqrt{18} \times \sqrt{2} \)
• Üslü sayılarda çarpma kuralını kullanarak kök içlerini çarpabiliriz: \( \sqrt{18 \times 2} = \sqrt{36} \)
• Alanı hesaplayalım: \( \sqrt{36} = 6 \) metrekare.
• Tarlanın alanı \( A = \text{kenar}_1 \times \text{kenar}_2 \) formülüyle bulunur.
• Bizim durumumuzda \( A = 6 \) ve \( \text{kenar}_1 = \sqrt{18} \). Diğer kenarı bulmak için: \( 6 = \sqrt{18} \times \text{kenar}_2 \)
• Diğer kenarı bulmak için alanı bir kenara böleriz: \( \text{kenar}_2 = \frac{6}{\sqrt{18}} \)
• \( \sqrt{18} \) ifadesini sadeleştirelim: \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2} \)
• Şimdi \( \text{kenar}_2 = \frac{6}{3\sqrt{2}} \) olur.
• Sadeleştirme yaparsak: \( \text{kenar}_2 = \frac{2}{\sqrt{2}} \)
• Paydayı rasyonel yapmak için \( \sqrt{2} \) ile çarparız: \( \text{kenar}_2 = \frac{2 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \)

Tarlanın diğer kenar uzunluğu \( \sqrt{2} \) metredir. 📏

Bu problemde, toplam uzunluğun, kullanılan parçaların uzunluğuna bölünmesiyle ihtiyaç duyulan parça sayısı bulunur.

• Marangozun kullanacağı ahşap parçalarının uzunluğu \( L_p = \sqrt{75} \) cm.
• Marangozun elde etmek istediği toplam uzunluk \( L_t = \sqrt{12} \) cm.
• İhtiyaç duyulan parça sayısını bulmak için toplam uzunluğu, bir parçanın uzunluğuna böleriz: \( \text{Sayı} = \frac{L_t}{L_p} = \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{75}} \)
• Bu ifadeyi sadeleştirelim: \( \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{75}} = \sqrt{\frac{12}{75}} \)
• Kesri sadeleştirelim. Her iki sayıyı da 3'e bölebiliriz: \( \frac{12}{75} = \frac{4}{25} \)
• Şimdi ifade \( \sqrt{\frac{4}{25}} \) haline gelir.
• Karekökünü alalım: \( \sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{25}} = \frac{2}{5} \)

Burada bir hata yaptık! Soruyu tekrar okuyalım. "Genişliğinde ahşap parçaları kullanacaktır" denmiş. Bu, parçaların genişliği ile ilgili bir bilgi. Ancak bizden istenen, parçaları yan yana dizerek toplam uzunluk elde etmek. Bu durumda, parçaların uzunluğu önemlidir. Eğer parçalar yan yana diziliyorsa, kullanılan parçaların uzunlukları toplanır. Eğer problemde "genişliği \( \sqrt{3} \) cm olan ve uzunluğu \( \sqrt{75} \) cm olan parçalar" deniyorsa, ve bu parçalar uzun kenarları boyunca yan yana diziliyorsa, o zaman parça uzunluğu \( \sqrt{75} \) cm'dir. Ancak problemde "toplam \( \sqrt{12} \) cm uzunluğunda bir yüzey elde etmek istiyorsa" deniyor. Bu durumda, elde edilmek istenen toplam uzunluk \( \sqrt{12} \) cm'dir. Eğer marangoz, \( \sqrt{75} \) cm uzunluğundaki parçaları yan yana dizerek \( \sqrt{12} \) cm'lik bir uzunluk elde etmek istiyorsa, bu durum mantıksızdır çünkü \( \sqrt{75} > \sqrt{12} \). Sorunun ifade ediliş şeklinde bir tutarsızlık var gibi görünüyor. Ancak, eğer soru şu şekilde olsaydı: "Marangoz, \( \sqrt{3} \) cm genişliğinde ve \( \sqrt{75} \) cm uzunluğunda ahşap parçalarını, uzun kenarları boyunca yan yana dizerek toplam \( \sqrt{12} \) cm uzunluğunda bir yüzey elde etmek istiyorsa..." Bu durumda da yine \( \sqrt{75} \) cm uzunluğundaki parçaları yan yana dizerek \( \sqrt{12} \) cm elde etmek mümkün olmaz. Varsayalım ki soruda bir yazım hatası var ve marangozun kullanacağı parçaların uzunluğu \( \sqrt{3} \) cm ve elde etmek istediği toplam uzunluk \( \sqrt{75} \) cm olsun. Bu durumda:

• Bir parçanın uzunluğu \( L_p = \sqrt{3} \) cm.
• Elde edilmek istenen toplam uzunluk \( L_t = \sqrt{75} \) cm.
• İhtiyaç duyulan parça sayısı: \( \text{Sayı} = \frac{L_t}{L_p} = \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{75}{3}} = \sqrt{25} = 5 \)

Bu durumda 5 parça gerekir. Eğer sorunun orijinal haliyle devam edersek ve "genişliğinde" kelimesi yerine "uzunluğunda" kelimesi kastedildiyse ve elde edilmek istenen toplam uzunluk \( \sqrt{75} \) cm ise, o zaman cevap 5 olur. Ancak soruda "toplam \( \sqrt{12} \) cm uzunluğunda bir yüzey elde etmek istiyorsa" ifadesi yer aldığı için, bu senaryoda \( \sqrt{75} \) cm'lik parçalarla \( \sqrt{12} \) cm'lik bir yüzey elde etmek mümkün değildir. Sorunun orijinal metnine sadık kalarak ve olası bir anlamı yorumlayarak devam edelim: Belki de marangoz, \( \sqrt{75} \) cm uzunluğundaki parçalardan birini keserek \( \sqrt{12} \) cm uzunluğunda bir parça elde etmek istiyor ve bu işlem için bir parça kullanıyor. Ancak bu da "kaç tane ahşap parçasına ihtiyacı vardır?" sorusunu tam olarak karşılamaz. Sorunun en olası yorumu, parçaların uzunluğunun \( \sqrt{3} \) cm olduğu ve toplamda \( \sqrt{75} \) cm uzunluğunda bir yüzey elde etmek istediğidir. Bu durumda cevap 5'tir. Eğer sorudaki \( \sqrt{12} \) ve \( \sqrt{75} \) yer değiştirmişse, o zaman da cevap \( \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{12}{3}} = \sqrt{4} = 2 \) olurdu. Sorunun orijinal metnine göre, \( \sqrt{75} \) cm uzunluğundaki parçalarla \( \sqrt{12} \) cm'lik bir toplam uzunluk elde etmek mümkün değildir. Bu nedenle, sorunun bu haliyle çözümü mantıksal bir çelişki içermektedir. Eğer sorunun amacı, \( \sqrt{3} \) cm uzunluğundaki parçaları yan yana dizerek \( \sqrt{75} \) cm'lik bir uzunluk elde etmek ise, o zaman 5 parça gerekir. Sorunun metnindeki belirsizlik nedeniyle, en mantıklı yorumu yaparak devam edelim: Marangoz, \( \sqrt{3} \) cm uzunluğunda parçaları kullanarak toplam \( \sqrt{75} \) cm uzunluğunda bir yüzey oluşturmak istiyor. Bu durumda:

• Bir parçanın uzunluğu = \( \sqrt{3} \) cm
• Elde edilecek toplam uzunluk = \( \sqrt{75} \) cm
• Gerekli parça sayısı = \( \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{75}{3}} = \sqrt{25} = 5 \)

Bu yorumla, marangozun 5 ahşap parçasına ihtiyacı vardır. 🛠️

İç içe köklü ifadeleri üslü sayılara çevirerek sadeleştirme yapacağız.

• Verilen ifade: \( \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x}}} \)
• En içteki \( \sqrt{x} \) ifadesini \( x^{\frac{1}{2}} \) olarak yazalım.
• İfade şimdi \( \sqrt{x \sqrt{x \cdot x^{\frac{1}{2}}}} \) olur.
• Üslü sayılarda çarpma kuralını uygulayalım: \( x \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{1 + \frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}} \)
• İfade \( \sqrt{x \sqrt{x^{\frac{3}{2}}}} \) haline gelir.
• Şimdi \( \sqrt{x^{\frac{3}{2}}} \) ifadesini \( (x^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{2}} \) olarak yazıp üsleri çarpalım: \( x^{\frac{3}{2} \times \frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{4}} \)
• İfade \( \sqrt{x \cdot x^{\frac{3}{4}}} \) olur.
• Tekrar üslü sayılarda çarpma kuralını uygulayalım: \( x \cdot x^{\frac{3}{4}} = x^{1 + \frac{3}{4}} = x^{\frac{7}{4}} \)
• Son olarak, ifademiz \( \sqrt{x^{\frac{7}{4}}} \) haline gelir.
• Bunu da \( (x^{\frac{7}{4}})^{\frac{1}{2}} \) olarak yazıp üsleri çarpalım: \( x^{\frac{7}{4} \times \frac{1}{2}} = x^{\frac{7}{8}} \)

Yani, \( \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x}}} = x^{\frac{7}{8}} \) olarak sadeleşir.
Soruda verilen \( x^{\frac{m}{n}} \) ifadesiyle karşılaştırırsak: \( \frac{m}{n} = \frac{7}{8} \) olur.
Buradan \( m = 7 \) ve \( n = 8 \) bulunur.
İstenen \( m+n \) toplamı: \( 7 + 8 = 15 \). ✅

Bu tür ifadelerde, her bir \( a \) teriminin üssünü ve kök derecesini dikkate alarak sadeleştirme yaparız.

• Verilen ifade: \( \sqrt{a^3 \sqrt{a^2 \sqrt{a}}} \)
• En içteki \( \sqrt{a} \) ifadesi \( a^{\frac{1}{2}} \) olarak yazılır.
• İfade \( \sqrt{a^3 \sqrt{a^2 \cdot a^{\frac{1}{2}}}} \) olur.
• \( a^2 \cdot a^{\frac{1}{2}} = a^{2 + \frac{1}{2}} = a^{\frac{5}{2}} \)
• İfade \( \sqrt{a^3 \sqrt{a^{\frac{5}{2}}}} \) haline gelir.
• \( \sqrt{a^{\frac{5}{2}}} = (a^{\frac{5}{2}})^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{5}{4}} \)
• İfade \( \sqrt{a^3 \cdot a^{\frac{5}{4}}} \) olur.
• \( a^3 \cdot a^{\frac{5}{4}} = a^{3 + \frac{5}{4}} = a^{\frac{12}{4} + \frac{5}{4}} = a^{\frac{17}{4}} \)
• Son olarak, \( \sqrt{a^{\frac{17}{4}}} = (a^{\frac{17}{4}})^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{17}{8}} \)

İfade \( a^{\frac{17}{8}} \) şeklinde yazılır.
Bu durumda \( k = \frac{17}{8} \) olur. 💡