🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: İki Üçgenin Eş Veya Benzer Olması İçin Gerekli Asgari Koşullar Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: İki Üçgenin Eş Veya Benzer Olması İçin Gerekli Asgari Koşullar Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeni ve bir DEF üçgeni verilmiştir.
Kenar uzunlukları sırasıyla şöyledir:
ABC üçgeninde: \(|AB| = 5\) cm, \(|BC| = 7\) cm, \(|AC| = 9\) cm.
DEF üçgeninde: \(|DE| = 5\) cm, \(|EF| = 7\) cm, \(|DF| = 9\) cm.
Bu iki üçgenin eş olup olmadığını belirleyiniz.
Kenar uzunlukları sırasıyla şöyledir:
ABC üçgeninde: \(|AB| = 5\) cm, \(|BC| = 7\) cm, \(|AC| = 9\) cm.
DEF üçgeninde: \(|DE| = 5\) cm, \(|EF| = 7\) cm, \(|DF| = 9\) cm.
Bu iki üçgenin eş olup olmadığını belirleyiniz.
Çözüm:
Bu soruda iki üçgenin eş olup olmadığını belirlemek için KKK (Kenar-Kenar-Kenar) Eşlik Kuralı'nı kullanacağız. 💡
- 👉 Adım 1: Kenar Uzunluklarını Karşılaştırma.
ABC üçgeninin kenar uzunlukları ile DEF üçgeninin kenar uzunluklarını sırasıyla karşılaştıralım:- \(|AB| = 5\) cm ve \(|DE| = 5\) cm. Yani \(|AB| = |DE|\).
- \(|BC| = 7\) cm ve \(|EF| = 7\) cm. Yani \(|BC| = |EF|\).
- \(|AC| = 9\) cm ve \(|DF| = 9\) cm. Yani \(|AC| = |DF|\).
- 👉 Adım 2: Eşlik Kuralını Uygulama.
Gördüğümüz gibi, ABC üçgeninin tüm kenar uzunlukları, DEF üçgeninin karşılıklı kenar uzunluklarına eşittir. - ✅ Sonuç: KKK Eşlik Kuralı'na göre, üçgenlerin karşılıklı tüm kenarları eşit olduğundan, ABC üçgeni ile DEF üçgeni eştir. Bu durumu \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) şeklinde gösteririz.
Örnek 2:
Bir KLM üçgeni ve bir PRS üçgeni verilmiştir.
KLM üçgeninde: \(m(\angle K) = 60^\circ\), \(m(\angle L) = 80^\circ\) ve \(|KL| = 10\) cm.
PRS üçgeninde: \(m(\angle P) = 60^\circ\), \(m(\angle R) = 80^\circ\) ve \(|PR| = 10\) cm.
Bu iki üçgenin eş olup olmadığını belirleyiniz.
KLM üçgeninde: \(m(\angle K) = 60^\circ\), \(m(\angle L) = 80^\circ\) ve \(|KL| = 10\) cm.
PRS üçgeninde: \(m(\angle P) = 60^\circ\), \(m(\angle R) = 80^\circ\) ve \(|PR| = 10\) cm.
Bu iki üçgenin eş olup olmadığını belirleyiniz.
Çözüm:
Bu soruda iki üçgenin eş olup olmadığını belirlemek için AKA (Açı-Kenar-Açı) Eşlik Kuralı'nı kullanacağız. 📐
- 👉 Adım 1: Açıları ve Aradaki Kenarı Karşılaştırma.
KLM üçgeninin açıları ve bu açılar arasındaki kenar ile PRS üçgeninin karşılık gelen açıları ve aradaki kenarı karşılaştıralım:- \(m(\angle K) = 60^\circ\) ve \(m(\angle P) = 60^\circ\). Yani \(m(\angle K) = m(\angle P)\).
- \(m(\angle L) = 80^\circ\) ve \(m(\angle R) = 80^\circ\). Yani \(m(\angle L) = m(\angle R)\).
- Bu iki açı arasında kalan kenarlar: \(|KL| = 10\) cm ve \(|PR| = 10\) cm. Yani \(|KL| = |PR|\).
- 👉 Adım 2: Eşlik Kuralını Uygulama.
Gördüğümüz gibi, KLM üçgeninin iki açısı ve bu açılar arasındaki kenarı, PRS üçgeninin karşılıklı iki açısına ve bu açılar arasındaki kenarına eşittir. - ✅ Sonuç: AKA Eşlik Kuralı'na göre, KLM üçgeni ile PRS üçgeni eştir. Bu durumu \( \triangle KLM \cong \triangle PRS \) şeklinde gösteririz.
Örnek 3:
Bir XYZ üçgeni ve bir GHI üçgeni verilmiştir.
XYZ üçgeninde: \(|XY| = 8\) cm, \(|YZ| = 12\) cm ve \(m(\angle Y) = 70^\circ\).
GHI üçgeninde: \(|GH| = 8\) cm, \(|HI| = 12\) cm ve \(m(\angle H) = 70^\circ\).
Bu iki üçgenin eş olup olmadığını belirleyiniz.
XYZ üçgeninde: \(|XY| = 8\) cm, \(|YZ| = 12\) cm ve \(m(\angle Y) = 70^\circ\).
GHI üçgeninde: \(|GH| = 8\) cm, \(|HI| = 12\) cm ve \(m(\angle H) = 70^\circ\).
Bu iki üçgenin eş olup olmadığını belirleyiniz.
Çözüm:
Bu soruda iki üçgenin eş olup olmadığını belirlemek için KAK (Kenar-Açı-Kenar) Eşlik Kuralı'nı kullanacağız. 📏
- 👉 Adım 1: Kenarları ve Aralarındaki Açıyı Karşılaştırma.
XYZ üçgeninin iki kenarı ve bu kenarlar arasındaki açısı ile GHI üçgeninin karşılık gelen iki kenarı ve aralarındaki açısını karşılaştıralım:- \(|XY| = 8\) cm ve \(|GH| = 8\) cm. Yani \(|XY| = |GH|\).
- \(|YZ| = 12\) cm ve \(|HI| = 12\) cm. Yani \(|YZ| = |HI|\).
- Bu iki kenar arasında kalan açılar: \(m(\angle Y) = 70^\circ\) ve \(m(\angle H) = 70^\circ\). Yani \(m(\angle Y) = m(\angle H)\).
- 👉 Adım 2: Eşlik Kuralını Uygulama.
Gördüğümüz gibi, XYZ üçgeninin iki kenarı ve bu kenarlar arasında kalan açısı, GHI üçgeninin karşılıklı iki kenarına ve bu kenarlar arasında kalan açısına eşittir. - ✅ Sonuç: KAK Eşlik Kuralı'na göre, XYZ üçgeni ile GHI üçgeni eştir. Bu durumu \( \triangle XYZ \cong \triangle GHI \) şeklinde gösteririz.
Örnek 4:
Bir ABC üçgeni ve bir DEF üçgeni verilmiştir.
ABC üçgeninde: \(m(\angle A) = 45^\circ\) ve \(m(\angle B) = 65^\circ\).
DEF üçgeninde: \(m(\angle D) = 45^\circ\) ve \(m(\angle E) = 65^\circ\).
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını belirleyiniz.
ABC üçgeninde: \(m(\angle A) = 45^\circ\) ve \(m(\angle B) = 65^\circ\).
DEF üçgeninde: \(m(\angle D) = 45^\circ\) ve \(m(\angle E) = 65^\circ\).
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını belirleyiniz.
Çözüm:
Bu soruda iki üçgenin benzer olup olmadığını belirlemek için AA (Açı-Açı) Benzerlik Kuralı'nı kullanacağız. 🔍
- 👉 Adım 1: Açıları Karşılaştırma.
ABC üçgeninin açıları ile DEF üçgeninin açılarını karşılaştıralım:- \(m(\angle A) = 45^\circ\) ve \(m(\angle D) = 45^\circ\). Yani \(m(\angle A) = m(\angle D)\).
- \(m(\angle B) = 65^\circ\) ve \(m(\angle E) = 65^\circ\). Yani \(m(\angle B) = m(\angle E)\).
- 👉 Adım 2: Benzerlik Kuralını Uygulama.
İki üçgenin ikişer açısı karşılıklı olarak eşitse, üçüncü açıları da otomatik olarak eşit olacaktır (Üçgenin iç açıları toplamı \(180^\circ\) olduğu için). Bu durumda, üçgenlerin tüm açıları eşit demektir. - ✅ Sonuç: AA Benzerlik Kuralı'na göre, ABC üçgeni ile DEF üçgeni benzerdir. Bu durumu \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) şeklinde gösteririz.
Örnek 5:
Bir PQR üçgeni ve bir TUV üçgeni verilmiştir.
PQR üçgeninde: \(|PQ| = 6\) cm, \(|QR| = 9\) cm, \(|RP| = 12\) cm.
TUV üçgeninde: \(|TU| = 4\) cm, \(|UV| = 6\) cm, \(|VT| = 8\) cm.
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını belirleyiniz.
PQR üçgeninde: \(|PQ| = 6\) cm, \(|QR| = 9\) cm, \(|RP| = 12\) cm.
TUV üçgeninde: \(|TU| = 4\) cm, \(|UV| = 6\) cm, \(|VT| = 8\) cm.
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını belirleyiniz.
Çözüm:
Bu soruda iki üçgenin benzer olup olmadığını belirlemek için KKK (Kenar-Kenar-Kenar) Benzerlik Kuralı'nı kullanacağız. 📊
- 👉 Adım 1: Kenarlar Arasındaki Oranları Hesaplama.
PQR üçgeninin kenar uzunlukları ile TUV üçgeninin karşılıklı kenar uzunlukları arasındaki oranları bulalım:- \( \frac{|PQ|}{|TU|} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \)
- \( \frac{|QR|}{|UV|} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} \)
- \( \frac{|RP|}{|VT|} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \)
- 👉 Adım 2: Benzerlik Kuralını Uygulama.
Gördüğümüz gibi, üçgenlerin karşılıklı kenar uzunlukları arasındaki oranlar birbirine eşittir. Bu oran, benzerlik oranıdır. - ✅ Sonuç: KKK Benzerlik Kuralı'na göre, PQR üçgeni ile TUV üçgeni benzerdir. Benzerlik oranı \( \frac{3}{2} \) veya \( \frac{2}{3} \)'tür. Bu durumu \( \triangle PQR \sim \triangle TUV \) şeklinde gösteririz.
Örnek 6:
Bir ABC üçgeni ve bir DEF üçgeni verilmiştir.
ABC üçgeninde: \(|AB| = 10\) cm, \(|BC| = 15\) cm ve \(m(\angle B) = 50^\circ\).
DEF üçgeninde: \(|DE| = 6\) cm, \(|EF| = 9\) cm ve \(m(\angle E) = 50^\circ\).
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını belirleyiniz.
ABC üçgeninde: \(|AB| = 10\) cm, \(|BC| = 15\) cm ve \(m(\angle B) = 50^\circ\).
DEF üçgeninde: \(|DE| = 6\) cm, \(|EF| = 9\) cm ve \(m(\angle E) = 50^\circ\).
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını belirleyiniz.
Çözüm:
Bu soruda iki üçgenin benzer olup olmadığını belirlemek için KAK (Kenar-Açı-Kenar) Benzerlik Kuralı'nı kullanacağız. ⚖️
- 👉 Adım 1: Kenarlar Arasındaki Oranları ve Aradaki Açıyı Karşılaştırma.
ABC üçgeninin iki kenarı ve bu kenarlar arasındaki açısı ile DEF üçgeninin karşılık gelen iki kenarı ve aralarındaki açısını karşılaştıralım:- Kenarlar arasındaki oranları hesaplayalım:
- \( \frac{|AB|}{|DE|} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \)
- \( \frac{|BC|}{|EF|} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3} \)
- Aradaki açılar: \(m(\angle B) = 50^\circ\) ve \(m(\angle E) = 50^\circ\). Yani \(m(\angle B) = m(\angle E)\).
- Kenarlar arasındaki oranları hesaplayalım:
- 👉 Adım 2: Benzerlik Kuralını Uygulama.
Gördüğümüz gibi, iki üçgenin ikişer kenarı orantılıdır ve bu kenarlar arasında kalan açılar eşittir. - ✅ Sonuç: KAK Benzerlik Kuralı'na göre, ABC üçgeni ile DEF üçgeni benzerdir. Benzerlik oranı \( \frac{5}{3} \)'tür. Bu durumu \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) şeklinde gösteririz.
Örnek 7:
Bir pergelin ayakları arasındaki açıklık 6 cm iken, pergelin uçları A ve B noktalarını işaretliyor. Pergelin üst kısmındaki menteşe noktası C olsun. Böylece bir ABC üçgeni oluşur.
Aynı pergelin ayakları arasındaki açıklık 9 cm'ye getirildiğinde, pergelin uçları D ve E noktalarını işaretliyor. Menteşe noktası yine F olsun. Böylece bir DEF üçgeni oluşur.
Her iki durumda da pergelin kolları (CA, CB, FD, FE) birbirine eşit uzunluktadır ve bu uzunluk 10 cm'dir.
Ancak, pergel açılırken menteşe açısı değişebilir.
Bu durumda, ABC üçgeni ile DEF üçgeni hakkında ne söyleyebiliriz? (Eşlik veya benzerlik açısından)
Aynı pergelin ayakları arasındaki açıklık 9 cm'ye getirildiğinde, pergelin uçları D ve E noktalarını işaretliyor. Menteşe noktası yine F olsun. Böylece bir DEF üçgeni oluşur.
Her iki durumda da pergelin kolları (CA, CB, FD, FE) birbirine eşit uzunluktadır ve bu uzunluk 10 cm'dir.
Ancak, pergel açılırken menteşe açısı değişebilir.
Bu durumda, ABC üçgeni ile DEF üçgeni hakkında ne söyleyebiliriz? (Eşlik veya benzerlik açısından)
Çözüm:
Bu problemde, pergelin yapısını ve değişen açıklığı göz önünde bulundurarak üçgenlerin eşliğini veya benzerliğini inceleyeceğiz. 🧐
- 👉 Adım 1: ABC Üçgeninin Kenarlarını Belirleme.
Pergelin kolları eşit uzunlukta olduğundan:- \(|CA| = 10\) cm (Pergelin kolu)
- \(|CB| = 10\) cm (Pergelin diğer kolu)
- \(|AB| = 6\) cm (Pergelin ayakları arasındaki açıklık)
- 👉 Adım 2: DEF Üçgeninin Kenarlarını Belirleme.
Aynı mantıkla DEF üçgeni için:- \(|FD| = 10\) cm (Pergelin kolu)
- \(|FE| = 10\) cm (Pergelin diğer kolu)
- \(|DE| = 9\) cm (Pergelin ayakları arasındaki açıklık)
- 👉 Adım 3: Eşlik İçin Kenarları Karşılaştırma.
KKK Eşlik Kuralı'na göre, üçgenlerin eş olması için tüm kenar uzunluklarının eşit olması gerekir. Ancak \(|AB| = 6\) cm iken \(|DE| = 9\) cm'dir. Dolayısıyla, bu iki üçgen eş değildir. - 👉 Adım 4: Benzerlik İçin Kenarları Karşılaştırma.
KKK Benzerlik Kuralı'na göre, üçgenlerin benzer olması için karşılıklı kenar uzunluklarının orantılı olması gerekir. Oranları kontrol edelim:- \( \frac{|CA|}{|FD|} = \frac{10}{10} = 1 \)
- \( \frac{|CB|}{|FE|} = \frac{10}{10} = 1 \)
- \( \frac{|AB|}{|DE|} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \)
- 👉 Adım 5: KAK Benzerlik Kuralını Düşünme.
Kenarların orantılı olması ve aralarındaki açının eşit olması gerekir. Bizim durumumuzda \(|CA|=|CB|\) ve \(|FD|=|FE|\) olduğu için her iki üçgen de ikizkenar üçgendir. Ancak \(m(\angle C)\) ile \(m(\angle F)\) açıları hakkında bir bilgi verilmemiştir ve pergelin açıklığı değiştiği için bu açılar da farklı olacaktır. Dolayısıyla KAK benzerliği için yeterli bilgi yoktur. - ✅ Sonuç: Verilen bilgilerle ABC üçgeni ile DEF üçgeninin ne eş ne de benzer olduğunu söyleyebiliriz. Sadece ikizkenar üçgen oldukları bilgisi mevcuttur.
Örnek 8:
Bir parkta, bir direğin gölgesi 4 metre uzunluğundadır. Aynı anda, direğin hemen yanında duran 1.5 metre boyundaki bir kişinin gölgesi 1 metre uzunluğundadır.
Bu bilgiler ışığında direğin boyunu nasıl bulabiliriz? Hangi geometrik ilkeyi kullanırız?
Bu bilgiler ışığında direğin boyunu nasıl bulabiliriz? Hangi geometrik ilkeyi kullanırız?
Çözüm:
Bu günlük hayat probleminde, güneş ışınlarının paralel geldiği varsayımıyla benzer üçgenler ilkesini kullanacağız. ☀️
- 👉 Adım 1: Oluşan Üçgenleri Tanımlama.
Güneş ışınlarının yere düşme açısı her yerde aynı olduğundan, direk ve gölgesi bir dik üçgen oluşturur. Aynı şekilde, kişi ve gölgesi de bir dik üçgen oluşturur.- Direk Üçgeni: Direğin boyu (dikey kenar), gölge uzunluğu (yatay kenar) ve güneş ışınının direğin tepesinden yere çizdiği çizgi (hipotenüs) ile oluşan üçgen.
- Kişi Üçgeni: Kişinin boyu (dikey kenar), gölge uzunluğu (yatay kenar) ve güneş ışınının kişinin başından yere çizdiği çizgi (hipotenüs) ile oluşan üçgen.
- 👉 Adım 2: Benzerlik Kuralını Belirleme.
Her iki üçgen de dik üçgendir (direk ve kişi yere dik durur, yani \(90^\circ\) açı yapar). Ayrıca, güneş ışınlarının yere düşme açısı her iki durumda da aynıdır. Bu, üçgenlerin birer açısının eşit olduğu anlamına gelir.- Birinci açı: Her iki üçgende de dik açı (\(90^\circ\)).
- İkinci açı: Her iki üçgende de güneş ışınlarının yerle yaptığı açı (ortak veya eşit açı).
- 👉 Adım 3: Orantıyı Kurma ve Hesaplama.
Benzer üçgenlerde karşılıklı kenar uzunlukları orantılıdır. Direğin boyuna \(x\) diyelim.- Kişinin boyu: 1.5 metre
- Kişinin gölgesi: 1 metre
- Direğin boyu: \(x\) metre
- Direğin gölgesi: 4 metre
\( \frac{\text{Kişinin boyu}}{\text{Direğin boyu}} = \frac{\text{Kişinin gölgesi}}{\text{Direğin gölgesi}} \)
\( \frac{1.5}{x} = \frac{1}{4} \) - 👉 Adım 4: Denklemi Çözme.
İçler dışlar çarpımı yaparak \(x\)'i bulalım:
\( 1 \cdot x = 1.5 \cdot 4 \)
\( x = 6 \) metre - ✅ Sonuç: Direğin boyu 6 metredir. Bu tür problemler, benzer üçgenler ilkesinin günlük hayattaki en güzel uygulamalarından biridir!
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-i-ki-ucgenin-es-veya-benzer-olmasi-i-cin-gerekli-asgari-kosullar/sorular