🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Gerçek sayılarla ve aralıklarıyla yapılan işlemler Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Gerçek sayılarla ve aralıklarıyla yapılan işlemler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Verilen \(A = [-2, 5)\) ve \(B = (1, 7]\) aralıkları için \(A \cup B\) kümesini bulunuz. 💡
Çözüm:
- Birleşim Kümesi (∪): İki kümenin birleşimi, her iki kümede de bulunan tüm elemanları içeren kümedir.
- Aralıkların Birleşimi: Verilen aralıkları sayı doğrusunda gösterelim.
- A aralığı -2'den başlayıp 5'e kadar (5 dahil değil) devam eder.
- B aralığı 1'den başlayıp 7'ye kadar (7 dahil) devam eder.
- Sayı doğrusunda bu iki aralığı birleştirdiğimizde, en küçük başlangıç noktası -2 (A'dan gelir) ve en büyük bitiş noktası 7 (B'den gelir) olur.
- Bu nedenle, \(A \cup B = [-2, 7]\) olarak bulunur. ✅
Örnek 2:
\(C = (3, 8]\) ve \(D = [5, 10)\) aralıkları için \(C \cap D\) kümesini bulunuz. 📌
Çözüm:
- Kesişim Kümesi (∩): İki kümenin kesişimi, her iki kümede de ortak olarak bulunan elemanları içeren kümedir.
- Aralıkların Kesişimi: Verilen aralıkları sayı doğrusunda gösterelim.
- C aralığı 3'ten başlayıp 8'e kadar (8 dahil) devam eder.
- D aralığı 5'ten başlayıp 10'a kadar (10 dahil değil) devam eder.
- Sayı doğrusunda bu iki aralığın ortak olan kısmını belirleyelim. Ortak kısım 5'ten başlar ve 8'de biter.
- 5, D aralığında olduğu için kesişime dahildir. 8, C aralığında olduğu için kesişime dahildir.
- Bu nedenle, \(C \cap D = [5, 8]\) olarak bulunur. 👉
Örnek 3:
\(X = [-3, 4)\) ve \(Y = [1, 6]\) aralıkları için \(X \setminus Y\) kümesini bulunuz. 🧐
Çözüm:
- Fark Kümesi (\): Bir kümeden diğer kümenin elemanlarını çıkardığımızda kalan elemanları içeren kümedir.
- Aralıkların Farkı: X kümesinden Y kümesinde olup X'te olmayan elemanları çıkarmalıyız.
- X aralığı: \([-3, 4)\)
- Y aralığı: \([1, 6]\)
- X kümesinde olup Y kümesinde olmayan elemanlar, -3'ten başlayıp 1'e kadar olan kısımdır.
- 1, Y kümesinde olduğu için X'ten çıkarılmalıdır.
- Bu nedenle, \(X \setminus Y = [-3, 1)\) olarak bulunur. 🚀
Örnek 4:
\(K = (-\infty, 3]\) ve \(L = [0, \infty)\) aralıkları için \(K \cap L\) kümesini bulunuz. 🧮
Çözüm:
- Sonsuz Aralıklarda Kesişim:
- K aralığı: \(-\infty\) 'dan başlayıp 3'e kadar (3 dahil).
- L aralığı: 0'dan başlayıp \(+\infty\) 'a kadar (0 dahil).
- Sayı doğrusunda bu iki aralığın kesiştiği bölge, 0'dan başlayıp 3'e kadar olan kısımdır.
- 0, L aralığında ve K aralığında olduğu için kesişime dahildir.
- 3, K aralığında ve L aralığında olduğu için kesişime dahildir.
- Bu nedenle, \(K \cap L = [0, 3]\) olarak bulunur. 💯
Örnek 5:
\(P = [-5, 2)\) ve \(Q = (-1, 3]\) aralıkları için \(P \cup Q\) kümesini bulunuz. ➕
Çözüm:
- Aralıkların Birleşimi:
- P aralığı: \([-5, 2)\)
- Q aralığı: \((-1, 3]\)
- Sayı doğrusunda P aralığı -5'ten başlar, 2'ye kadar (2 dahil değil) gider.
- Q aralığı -1'den başlar, 3'e kadar (3 dahil) gider.
- Bu iki aralığın birleşimi, en küçük başlangıç noktası olan -5'ten başlar ve en büyük bitiş noktası olan 3'te biter.
- -5, P aralığında olduğu için birleşime dahildir.
- 3, Q aralığında olduğu için birleşime dahildir.
- Bu nedenle, \(P \cup Q = [-5, 3]\) olarak bulunur. 🌟
Örnek 6:
Bir teknoloji mağazasında, bir tabletin fiyatı \(x\) TL'dir. Bu tabletin fiyatı önce \(100\) TL indirimle satılmış, daha sonra indirimin \(20\) yüzdesi kadar daha indirim yapılmıştır. Eğer son fiyat \(400\) TL olduğuna göre, ilk fiyat \(x\) kaç TL'dir? 💰
Çözüm:
- Problemi Anlama: İlk fiyat \(x\) TL.
- İlk İndirim: Fiyat \(100\) TL azalır. Yeni fiyat \(x - 100\) TL olur.
- İkinci İndirim: İlk indirimin \(20\) yüzdesi kadar daha indirim.
- İkinci indirim miktarı: \( (x - 100) \times \frac{20}{100} = 0.2(x - 100) \) TL.
- Son Fiyat: İlk indirimin yapıldığı fiyattan ikinci indirim miktarı çıkarılır.
- Son fiyat: \( (x - 100) - 0.2(x - 100) \) TL.
- Bu son fiyat \(400\) TL'ye eşittir.
- Denklem kuralım: \( (x - 100) - 0.2(x - 100) = 400 \)
- Denklemi çözelim:
- \( (x - 100)(1 - 0.2) = 400 \)
- \( (x - 100)(0.8) = 400 \)
- \( x - 100 = \frac{400}{0.8} \)
- \( x - 100 = 500 \)
- \( x = 500 + 100 \)
- \( x = 600 \) TL. ✅
- İlk fiyat \(600\) TL'dir.
Örnek 7:
Bir çiftçi, tarlasının bir kısmını domates ekmek için kullanacaktır. Tarlasının toplam alanının \( \frac{1}{3} \) 'üne domates ekecek, kalan alanın ise \( \frac{1}{2} \) 'sine biber ekecektir. Eğer çiftçi \(120\) metrekare alana biber ektiyse, tarlasının tamamı kaç metrekaredir? 🌾
Çözüm:
- Problemi Anlama: Tarlanın tamamının alanını bulmamız gerekiyor.
- Domates Ekilen Alan: Tarlanın \( \frac{1}{3} \) 'ü.
- Kalan Alan: Tarlanın \( 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \) 'ü.
- Biber Ekilen Alan: Kalan alanın \( \frac{1}{2} \) 'si.
- Yani, tarlanın \( \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{3} \) 'üne biber ekilmiştir.
- Biber ekilen alan \(120\) metrekare olarak verilmiş.
- Bu durumda, tarlanın \( \frac{1}{3} \) 'ü \(120\) metrekareye eşittir.
- Tarlanın Tamamı:
- Eğer tarlanın \( \frac{1}{3} \) 'ü \(120\) metrekare ise, tarlanın tamamı \( 120 \times 3 \) metrekare olur.
- Tarlanın tamamı = \( 120 \times 3 = 360 \) metrekare. ✅
- Çiftçinin tarlasının tamamı \(360\) metrekaredir.
Örnek 8:
\(A = [-4, 6]\) ve \(B = (-2, 8)\) aralıkları için \( (A \cup B) \cap (A \setminus B) \) kümesini bulunuz. 🎯
Çözüm:
- Adım 1: \(A \cup B\) kümesini bulalım.
- A aralığı: \([-4, 6]\)
- B aralığı: \((-2, 8)\)
- Birleşim: En küçük başlangıç noktası -4, en büyük bitiş noktası 8.
- \(A \cup B = [-4, 8)\)
- Adım 2: \(A \setminus B\) kümesini bulalım.
- A aralığı: \([-4, 6]\)
- B aralığı: \((-2, 8)\)
- A kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanlar, -4'ten başlayıp -2'ye kadar olan kısımdır.
- -2, B kümesinde olduğu için A'dan çıkarılır.
- \(A \setminus B = [-4, -2)\)
- Adım 3: \( (A \cup B) \cap (A \setminus B) \) kümesini bulalım.
- Şimdi bulduğumuz iki aralığın kesişimini alacağız:
- \(A \cup B = [-4, 8)\)
- \(A \setminus B = [-4, -2)\)
- Bu iki aralığın ortak olan kısmı, -4'ten başlayıp -2'ye kadar olan kısımdır.
- -4 her iki aralıkta da bulunur.
- -2, \(A \setminus B\) aralığında bulunur ancak \(A \cup B\) aralığında bulunmaz (çünkü \(A \cup B\) 'nin sınırında 8 vardır, -2 değil). Ancak, kesişim için her iki aralıkta da olması gerekir.
- Kesişim: \([-4, -2)\)
- Sonuç olarak, \( (A \cup B) \cap (A \setminus B) = [-4, -2) \) olarak bulunur. 🏆
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-gercek-sayilarla-ve-araliklariyla-yapilan-islemler/sorular