🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Gerçek Sayılarla Üslü ve Köklü İşlemler Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Gerçek Sayılarla Üslü ve Köklü İşlemler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Üslü İfadeler: Temel Kurallar
Aşağıdaki işlemleri yapınız:
Aşağıdaki işlemleri yapınız:
- \( 3^2 \times 3^4 \)
- \( (5^3)^2 \)
- \( 7^5 \div 7^2 \)
Çözüm:
İşte adımlar:
- 1. İşlem: Tabanlar aynı olduğu için üsleri toplarız.
\( 3^2 \times 3^4 = 3^{2+4} = 3^6 \) - 2. İşlem: Üssün üssü alınırken üsler çarpılır.
\( (5^3)^2 = 5^{3 \times 2} = 5^6 \) - 3. İşlem: Tabanlar aynı olduğu için üsleri çıkarırız.
\( 7^5 \div 7^2 = 7^{5-2} = 7^3 \)
Örnek 2:
Negatif Üsler ve Kesirli İfadeler
Aşağıdaki işlemleri hesaplayınız:
Aşağıdaki işlemleri hesaplayınız:
- \( 2^{-3} \)
- \( \left(\frac{1}{4}\right)^{-2} \)
- \( \frac{10^5}{100^2} \)
Çözüm:
Adım adım çözelim:
- 1. İşlem: Negatif üssü pozitif yapalım.
\( 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \) - 2. İşlem: Hem tabanı hem de üssü ters çevirelim.
\( \left(\frac{1}{4}\right)^{-2} = \left(\frac{4}{1}\right)^{2} = 4^2 = 16 \) - 3. İşlem: Paydadaki sayıyı 10'un kuvveti şeklinde yazalım.
\( 100 = 10^2 \)
O halde, \( \frac{10^5}{(10^2)^2} = \frac{10^5}{10^{2 \times 2}} = \frac{10^5}{10^4} = 10^{5-4} = 10^1 = 10 \)
Örnek 3:
Köklü İfadeler: Temel Kavramlar
Aşağıdaki ifadelerin değerlerini bulunuz:
Aşağıdaki ifadelerin değerlerini bulunuz:
- \( \sqrt{81} \)
- \( \sqrt[3]{27} \)
- \( \sqrt{144} \)
Çözüm:
Çözüm adımları:
- 1. İşlem: Hangi sayının karesi 81'dir? \( 9 \times 9 = 81 \).
Dolayısıyla, \( \sqrt{81} = 9 \). - 2. İşlem: Hangi sayının küpü 27'dir? \( 3 \times 3 \times 3 = 27 \).
Dolayısıyla, \( \sqrt[3]{27} = 3 \). - 3. İşlem: Hangi sayının karesi 144'tür? \( 12 \times 12 = 144 \).
Dolayısıyla, \( \sqrt{144} = 12 \).
Örnek 4:
Köklü İfadeler: Sadeleştirme ve Çarpma
Aşağıdaki işlemleri yapınız:
Aşağıdaki işlemleri yapınız:
- \( \sqrt{50} \) işlemini sadeleştiriniz.
- \( \sqrt{2} \times \sqrt{8} \) işlemini yapınız.
- \( 3\sqrt{5} \times 2\sqrt{3} \) işlemini yapınız.
Çözüm:
İşte çözüm yolları:
- 1. Sadeleştirme: 50'yi çarpanlarına ayırıp tam kare ifadeyi dışarı çıkaralım.
\( \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \) - 2. Çarpma: Kök içlerini çarpabiliriz.
\( \sqrt{2} \times \sqrt{8} = \sqrt{2 \times 8} = \sqrt{16} = 4 \) - 3. Çarpma: Katsayıları kendi aralarında, kök içlerini kendi aralarında çarpalım.
\( 3\sqrt{5} \times 2\sqrt{3} = (3 \times 2) \times (\sqrt{5} \times \sqrt{3}) = 6 \times \sqrt{5 \times 3} = 6\sqrt{15} \)
Örnek 5:
Bilimsel Gösterim ve Üslü İfadeler
Bir bakterinin ortalama uzunluğu \( 5 \times 10^{-6} \) metredir. Bir mikroskop altında bu bakteriden \( 2 \times 10^5 \) tane yan yana dizildiğinde, oluşan zincirin uzunluğu kaç metre olur? Bu uzunluğu bilimsel gösterimle ifade ediniz. 👉 Bilimsel gösterim: Bir sayının \( a \times 10^n \) şeklinde yazılmasıdır, burada \( 1 \le |a| < 10 \) ve n bir tam sayıdır.
Bir bakterinin ortalama uzunluğu \( 5 \times 10^{-6} \) metredir. Bir mikroskop altında bu bakteriden \( 2 \times 10^5 \) tane yan yana dizildiğinde, oluşan zincirin uzunluğu kaç metre olur? Bu uzunluğu bilimsel gösterimle ifade ediniz. 👉 Bilimsel gösterim: Bir sayının \( a \times 10^n \) şeklinde yazılmasıdır, burada \( 1 \le |a| < 10 \) ve n bir tam sayıdır.
Çözüm:
Bu problemi adım adım çözelim:
- 1. Adım: Toplam uzunluğu bulmak için bakteri sayısını bir bakterinin uzunluğu ile çarparız.
Uzunluk = \( (2 \times 10^5) \times (5 \times 10^{-6}) \) metre - 2. Adım: Çarpma işlemini yaparken katsayıları ve 10'un kuvvetlerini ayrı ayrı çarparız.
Katsayılar çarpımı: \( 2 \times 5 = 10 \)
10'un kuvvetleri çarpımı: \( 10^5 \times 10^{-6} = 10^{5+(-6)} = 10^{-1} \) - 3. Adım: Elde ettiğimiz sonuçları birleştiririz.
Toplam Uzunluk = \( 10 \times 10^{-1} \) metre - 4. Adım: Bu ifadeyi \( a \times 10^n \) formatına getirelim. \( 10 = 1 \times 10^1 \) olduğundan,
Toplam Uzunluk = \( (1 \times 10^1) \times 10^{-1} = 1 \times 10^{1+(-1)} = 1 \times 10^0 \) metre - 5. Adım: \( 10^0 = 1 \) olduğundan, toplam uzunluk \( 1 \) metredir. Bilimsel gösterimi \( 1 \times 10^0 \) şeklindedir.
Örnek 6:
Ev Tadilatında Kullanılan Malzemeler
Bir ev tadilatı projesinde, duvarlara boya yapmak için \( \sqrt{72} \) metrekarelik bir alan hesaplandı. Eğer bir kutu boya \( \sqrt{8} \) metrekarelik alanı boyuyorsa, bu iş için kaç kutu boya gereklidir? 💡 Günlük Hayat Uygulaması: İnşaat ve tadilat işlerinde alan hesaplamaları, malzeme miktarlarının belirlenmesi gibi konularda köklü ifadelerle karşılaşılabilir.
Bir ev tadilatı projesinde, duvarlara boya yapmak için \( \sqrt{72} \) metrekarelik bir alan hesaplandı. Eğer bir kutu boya \( \sqrt{8} \) metrekarelik alanı boyuyorsa, bu iş için kaç kutu boya gereklidir? 💡 Günlük Hayat Uygulaması: İnşaat ve tadilat işlerinde alan hesaplamaları, malzeme miktarlarının belirlenmesi gibi konularda köklü ifadelerle karşılaşılabilir.
Çözüm:
Bu soruyu adım adım çözelim:
- 1. Adım: Boyanacak alanı ve bir kutu boyanın boyadığı alanı sadeleştirelim.
Boyanacak Alan: \( \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2} \) metrekare - 2. Adım: Bir kutu boyanın boyadığı alanı sadeleştirelim.
Bir Kutu Alanı: \( \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = \sqrt{4} \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \) metrekare - 3. Adım: Gerekli kutu sayısını bulmak için toplam alanı bir kutunun boyadığı alana böleriz.
Kutu Sayısı = \( \frac{\text{Boyanacak Alan}}{\text{Bir Kutu Alanı}} = \frac{6\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} \) - 4. Adım: Sadeleştirme işlemini yapalım.
Kutu Sayısı = \( \frac{6}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 3 \times 1 = 3 \)
Örnek 7:
Üslü ve Köklü İfadelerin Birleşimi
Aşağıdaki ifadeyi hesaplayınız: \[ \left( \sqrt{16} \right)^3 + \left( \frac{1}{2} \right)^{-3} - 5^0 \] 📌 Dikkat: İşlem önceliğine ve üslü/köklü sayı kurallarına dikkat ediniz.
Aşağıdaki ifadeyi hesaplayınız: \[ \left( \sqrt{16} \right)^3 + \left( \frac{1}{2} \right)^{-3} - 5^0 \] 📌 Dikkat: İşlem önceliğine ve üslü/köklü sayı kurallarına dikkat ediniz.
Çözüm:
İşlem önceliğini takip ederek adımları izleyelim:
- 1. Adım: Karekökü hesaplayalım.
\( \sqrt{16} = 4 \) - 2. Adım: Birinci terimi hesaplayalım.
\( (4)^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64 \) - 3. Adım: İkinci terimi hesaplayalım. Negatif üssü pozitife çevirelim.
\( \left( \frac{1}{2} \right)^{-3} = \left( \frac{2}{1} \right)^{3} = 2^3 = 8 \) - 4. Adım: Üçüncü terimi hesaplayalım. Sıfırıncı kuvvet her zaman 1'dir (taban 0 değilse).
\( 5^0 = 1 \) - 5. Adım: Elde ettiğimiz sonuçları yerine koyup işlemi tamamlayalım.
\( 64 + 8 - 1 \) - 6. Adım: Toplama ve çıkarma işlemlerini yapalım.
\( 72 - 1 = 71 \)
Örnek 8:
Köklü Sayılarda Toplama ve Çıkarma
Aşağıdaki işlemleri yapınız:
Aşağıdaki işlemleri yapınız:
- \( 3\sqrt{7} + 5\sqrt{7} \)
- \( 8\sqrt{3} - 2\sqrt{3} \)
- \( \sqrt{18} + \sqrt{50} \)
Çözüm:
Çözüm adımları:
- 1. İşlem: Kök içleri aynı (\( \sqrt{7} \)), katsayıları toplarız.
\( 3\sqrt{7} + 5\sqrt{7} = (3+5)\sqrt{7} = 8\sqrt{7} \) - 2. İşlem: Kök içleri aynı (\( \sqrt{3} \)), katsayıları çıkarırız.
\( 8\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = (8-2)\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \) - 3. İşlem: Önce kökleri sadeleştirmeliyiz.
\( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2} \)
\( \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2} \)
Şimdi toplama işlemini yapabiliriz:
\( 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = (3+5)\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \)
Örnek 9:
Birim Dönüşümleri ve Üslü İfadeler
Bir atomun çapı yaklaşık olarak \( 1 \times 10^{-10} \) metredir. Bu çapı milimetre cinsinden ifade ediniz ve bilimsel gösterimle yazınız. (1 metre = 1000 milimetre) 👉 Bilgi: Birimleri dönüştürürken uygun katsayı ile çarparız.
Bir atomun çapı yaklaşık olarak \( 1 \times 10^{-10} \) metredir. Bu çapı milimetre cinsinden ifade ediniz ve bilimsel gösterimle yazınız. (1 metre = 1000 milimetre) 👉 Bilgi: Birimleri dönüştürürken uygun katsayı ile çarparız.
Çözüm:
Bu dönüşümü adım adım yapalım:
- 1. Adım: Metreyi milimetreye çevirmek için 1000 ile çarparız. \( 1000 = 10^3 \).
Çap (mm) = \( (1 \times 10^{-10} \text{ metre}) \times (10^3 \text{ milimetre/metre}) \) - 2. Adım: Çarpma işlemini yaparken katsayıları ve 10'un kuvvetlerini ayrı ayrı çarparız.
Katsayılar çarpımı: \( 1 \times 1 = 1 \)
10'un kuvvetleri çarpımı: \( 10^{-10} \times 10^3 = 10^{-10+3} = 10^{-7} \) - 3. Adım: Elde ettiğimiz sonuçları birleştiririz.
Çap (mm) = \( 1 \times 10^{-7} \) milimetre - 4. Adım: Sonucun bilimsel gösterim olup olmadığını kontrol edelim. Katsayı \( 1 \), yani \( 1 \le 1 < 10 \) koşulu sağlanıyor.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-gercek-sayilarla-uslu-ve-koklu-islemler/sorular