🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Gerçek Sayılarla Köklü ve Üslü Gösterim Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Gerçek Sayılarla Köklü ve Üslü Gösterim Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıdaki ifadelerin değerlerini hesaplayınız:
a) \( \sqrt{81} \)
b) \( \sqrt[3]{64} \)
c) \( 5^3 \)
d) \( (-2)^4 \)
a) \( \sqrt{81} \)
b) \( \sqrt[3]{64} \)
c) \( 5^3 \)
d) \( (-2)^4 \)
Çözüm:
Bu soruda köklü ve üslü ifadelerin temel tanımlarını kullanacağız. 💡
- a) \( \sqrt{81} \): Karekök, kendisiyle çarpıldığında 81'i veren pozitif sayıyı ifade eder. \( 9 \times 9 = 81 \) olduğundan, \( \sqrt{81} = 9 \) olur. ✅
- b) \( \sqrt[3]{64} \): Küpkök, kendisiyle üç kez çarpıldığında 64'ü veren sayıyı ifade eder. \( 4 \times 4 \times 4 = 64 \) olduğundan, \( \sqrt[3]{64} = 4 \) olur. ✅
- c) \( 5^3 \): Bu, 5 sayısının kendisiyle 3 kez çarpılması anlamına gelir. \( 5 \times 5 \times 5 = 125 \) olur. ✅
- d) \( (-2)^4 \): Bu, -2 sayısının kendisiyle 4 kez çarpılması anlamına gelir. Negatif bir sayının çift kuvveti pozitiftir. \( (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = 16 \) olur. ✅
Örnek 2:
\( \sqrt{18} \) ifadesini \( a\sqrt{b} \) şeklinde yazınız.
Çözüm:
Bu soruda karekökün içindeki sayıyı çarpanlarına ayırarak dışarı çıkaracağız. 🚀
- Kök İçindeki Sayıyı Çarpanlarına Ayırma: 18 sayısını, tam kare çarpanları olacak şekilde ayırırız. \( 18 = 9 \times 2 \) şeklinde yazabiliriz. Burada 9 bir tam karedir.
- Karekök Özelliğini Kullanma: Karekökün özelliğine göre, \( \sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \) şeklindedir. Bu özelliği kullanarak \( \sqrt{18} \) ifadesini \( \sqrt{9 \times 2} \) olarak yazarız.
- Tam Kareyi Dışarı Çıkarma: \( \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} \) olur. \( \sqrt{9} = 3 \) olduğundan, ifade \( 3 \times \sqrt{2} \) haline gelir.
Örnek 3:
\( 2^x = 16 \) denklemini sağlayan \( x \) değerini bulunuz.
Çözüm:
Bu denklemde, tabanı aynı yaparak \( x \) değerini bulacağız. 🎯
- Tabanları Eşitleme: Denklemin sağ tarafındaki 16 sayısını, tabanı 2 olan bir üslü ifade olarak yazmaya çalışırız. \( 16 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^4 \) olduğunu biliyoruz.
- Denklemi Yeniden Yazma: Denklemimiz \( 2^x = 2^4 \) haline gelir.
- Üsleri Eşitleme: Tabanlar eşit olduğunda, üsler de eşit olmak zorundadır. Bu nedenle, \( x = 4 \) olur. ✅
Örnek 4:
\( \sqrt{50} + \sqrt{18} \) işleminin sonucunu bulunuz.
Çözüm:
Bu işlemde, köklü ifadeleri sadeleştirerek toplama işlemini yapacağız. ➕
- \( \sqrt{50} \) ifadesini sadeleştirme: \( 50 = 25 \times 2 \) olduğundan, \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \) olur.
- \( \sqrt{18} \) ifadesini sadeleştirme: \( 18 = 9 \times 2 \) olduğundan, \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \) olur.
- Sadeleştirilmiş İfadeleri Toplama: Şimdi \( 5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} \) işlemini yaparız. Köklerin içi aynı olduğu için katsayıları toplarız: \( (5+3)\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \). ✅
Örnek 5:
Bir kenar uzunluğu \( \sqrt{72} \) cm olan kare şeklindeki bir bahçenin çevresinin kaç cm olduğunu hesaplayınız.
Çözüm:
Bu soruda, karenin çevre formülünü ve köklü ifadelerin sadeleştirilmesini kullanacağız. 🌳
- Karenin Çevre Formülü: Bir karenin çevresi, bir kenar uzunluğunun 4 katına eşittir. Çevre \( = 4 \times \text{kenar uzunluğu} \).
- Kenar Uzunluğunu Sadeleştirme: Bahçenin bir kenar uzunluğu \( \sqrt{72} \) cm'dir. Bu ifadeyi sadeleştirelim:
- \( 72 = 36 \times 2 \) şeklinde yazabiliriz.
- \( \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2} \) cm olur.
- Çevreyi Hesaplama: Şimdi çevre formülünde sadeleştirilmiş kenar uzunluğunu yerine koyalım:
- Çevre \( = 4 \times 6\sqrt{2} \) cm
- Çevre \( = 24\sqrt{2} \) cm ✅
Örnek 6:
Bir teknoloji mağazasında, bir bilgisayarın fiyatı \( 2^8 \) TL olarak belirlenmiştir. Bu bilgisayarın fiyatını TL cinsinden hesaplayınız.
Çözüm:
Bu soruda, verilen üslü ifadeyi hesaplayarak bilgisayarın fiyatını bulacağız. 💻
- Üslü İfadeyi Açma: \( 2^8 \) ifadesi, 2 sayısının kendisiyle 8 kez çarpılması anlamına gelir.
- Hesaplama:
- \( 2^1 = 2 \)
- \( 2^2 = 4 \)
- \( 2^3 = 8 \)
- \( 2^4 = 16 \)
- \( 2^5 = 32 \)
- \( 2^6 = 64 \)
- \( 2^7 = 128 \)
- \( 2^8 = 256 \) ✅
Örnek 7:
\( \sqrt[3]{a^6} \) ifadesini en sade şekilde yazınız.
Çözüm:
Bu soruda, küpkök ve üslü ifadeler arasındaki ilişkiyi kullanacağız. 🧐
- Üslü İfadeyi Kök Dışına Çıkarma Kuralı: \( \sqrt[n]{a^m} = a^{m/n} \) kuralını hatırlayalım.
- Kuralı Uygulama: Bu kuralı \( \sqrt[3]{a^6} \) ifadesine uyguladığımızda, \( n=3 \) ve \( m=6 \) olur.
- Hesaplama: Dolayısıyla, \( \sqrt[3]{a^6} = a^{6/3} = a^2 \) olur. ✅
Örnek 8:
Bir inşaat mühendisi, \( \sqrt{200} \) metre uzunluğundaki bir demir çubuğu eşit uzunlukta 5 parçaya ayırmak istiyor. Her bir parçanın uzunluğu kaç metre olur?
Çözüm:
Bu soruda, köklü bir sayıyı bölme işlemiyle sadeleştireceğiz. 🏗️
- Bölme İşlemini Yazma: Demir çubuğun uzunluğu \( \sqrt{200} \) metredir ve 5 parçaya ayrılacaktır. Bu, \( \frac{\sqrt{200}}{5} \) işlemini yapmamız gerektiği anlamına gelir.
- Kök İçindeki Sayıyı Sadeleştirme: Önce \( \sqrt{200} \) ifadesini sadeleştirelim:
- \( 200 = 100 \times 2 \) şeklinde yazabiliriz.
- \( \sqrt{200} = \sqrt{100 \times 2} = \sqrt{100} \times \sqrt{2} = 10\sqrt{2} \) olur.
- Bölme İşlemini Yapma: Şimdi sadeleştirilmiş ifadeyi 5'e bölelim:
- \( \frac{10\sqrt{2}}{5} \)
- Katsayıları böleriz: \( \frac{10}{5} \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \) ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-gercek-sayilarla-koklu-ve-uslu-gosterim/sorular