🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Gerçek Sayıların Üslü Ve Köklü Gösterimlerinde Yapılan İşlemler Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Gerçek Sayıların Üslü Ve Köklü Gösterimlerinde Yapılan İşlemler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıdaki üslü ifade işleminin sonucunu bulunuz. 🤔
\[ 2^3 \times 2^5 \div 2^2 \]
\[ 2^3 \times 2^5 \div 2^2 \]
Çözüm:
Bu işlemde tabanlar aynı olduğu için üslü sayılarla çarpma ve bölme kurallarını uygulayacağız. İşte adımlar:
- 👉 Çarpma İşlemi: Tabanlar aynı olduğunda üsler toplanır. \[ 2^3 \times 2^5 = 2^{(3+5)} = 2^8 \]
- 👉 Bölme İşlemi: Tabanlar aynı olduğunda üsler çıkarılır. \[ 2^8 \div 2^2 = 2^{(8-2)} = 2^6 \]
- ✅ Sonuç olarak, işlemin sonucu \( 2^6 \) olur. Bu da \( 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 64 \) demektir.
Örnek 2:
Aşağıdaki üslü ifadenin değerini bulunuz. 💡
\[ ((-3)^2)^3 \times (-3)^{-1} \]
\[ ((-3)^2)^3 \times (-3)^{-1} \]
Çözüm:
Bu soruda üssün üssü kuralını ve negatif üs kavramını kullanacağız. Adım adım ilerleyelim:
- 👉 Üssün Üssü: Bir üslü ifadenin tekrar üssü alındığında, üsler çarpılır. \[ ((-3)^2)^3 = (-3)^{(2 \times 3)} = (-3)^6 \]
- 👉 Negatif Üs: Bir sayının negatif üssü, o sayının çarpmaya göre tersinin pozitif üssüdür. \[ (-3)^{-1} = \frac{1}{(-3)^1} = -\frac{1}{3} \]
- 👉 Çarpma İşlemi: Şimdi bulduğumuz ifadeleri çarpalım. \[ (-3)^6 \times (-\frac{1}{3}) \]
- ✅ Sonuç olarak, işlemin değeri \( -3^5 = -(3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3) = -243 \) olur.
Unutmayalım ki \( (-3)^6 = 3^6 \) çünkü çift kuvvet negatif sayıyı pozitife çevirir. \[ 3^6 \times (-\frac{1}{3}) = 3^6 \div (-3) \]
Tabanları aynı yapmak için \( 3^6 \div (-3)^1 \) şeklinde düşünebiliriz. İşlemin sonucu negatif olacaktır. \[ 3^6 \div (-3) = -(3^6 \div 3^1) = -(3^{(6-1)}) = -3^5 \]
Örnek 3:
Aşağıdaki köklü ifadelerle toplama ve çıkarma işleminin sonucunu bulunuz. ➕➖
\[ \sqrt{12} + \sqrt{75} - \sqrt{27} \]
\[ \sqrt{12} + \sqrt{75} - \sqrt{27} \]
Çözüm:
Köklü ifadelerde toplama veya çıkarma yapabilmek için kök içlerinin aynı olması gerekir. Bu yüzden önce tüm köklü ifadeleri \( a\sqrt{b} \) biçiminde yazarak kök içlerini eşitlemeye çalışacağız.
- 👉 \( \sqrt{12} \) ifadesini düzenleyelim: \( 12 = 4 \times 3 \), bu yüzden \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \)
- 👉 \( \sqrt{75} \) ifadesini düzenleyelim: \( 75 = 25 \times 3 \), bu yüzden \( \sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt{3} = 5\sqrt{3} \)
- 👉 \( \sqrt{27} \) ifadesini düzenleyelim: \( 27 = 9 \times 3 \), bu yüzden \( \sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = \sqrt{9} \times \sqrt{3} = 3\sqrt{3} \)
- 👉 Şimdi tüm ifadeleri yerine yazıp işlemi yapalım: \[ 2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} - 3\sqrt{3} \]
- ✅ Sonuç olarak, işlemin sonucu \( 4\sqrt{3} \) olur.
Kök içleri aynı olduğu için katsayılar arasında toplama ve çıkarma işlemi yapabiliriz. \[ (2+5-3)\sqrt{3} = (7-3)\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \]
Örnek 4:
Aşağıdaki köklü ifadelerle çarpma işleminin sonucunu bulunuz. ✖️
\[ (2\sqrt{5}) \times (\sqrt{10}) \]
\[ (2\sqrt{5}) \times (\sqrt{10}) \]
Çözüm:
Köklü ifadelerde çarpma işlemi yaparken katsayılar kendi arasında, kök içleri kendi arasında çarpılır.
- 👉 Katsayıları çarpalım: Birinci ifadenin katsayısı 2, ikinci ifadenin katsayısı 1'dir. \( 2 \times 1 = 2 \).
- 👉 Kök içlerini çarpalım: Birinci ifadenin kök içi 5, ikinci ifadenin kök içi 10'dur. \( \sqrt{5} \times \sqrt{10} = \sqrt{5 \times 10} = \sqrt{50} \).
- 👉 Şimdi çarpım sonucunu yazalım: \[ 2\sqrt{50} \]
- 👉 Kök içini sadeleştirelim: \( 50 = 25 \times 2 \) olduğu için \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \) şeklinde yazabiliriz.
- 👉 Son hali: \[ 2 \times (5\sqrt{2}) = 10\sqrt{2} \]
- ✅ Sonuç olarak, çarpma işleminin sonucu \( 10\sqrt{2} \) olur.
Örnek 5:
Aşağıdaki kesrin paydasını rasyonel yapınız. 🎯
\[ \frac{6}{\sqrt{3}} \]
\[ \frac{6}{\sqrt{3}} \]
Çözüm:
Bir kesrin paydasında köklü ifade varsa, paydayı rasyonel yapmak için paydayı kendisiyle çarparız (yani eşleniğiyle). Bu durumda payı ve paydayı \( \sqrt{3} \) ile çarpacağız.
- 👉 Payı ve paydayı \( \sqrt{3} \) ile çarpalım: \[ \frac{6}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \]
- 👉 Pay kısmını çarpalım: \( 6 \times \sqrt{3} = 6\sqrt{3} \)
- 👉 Payda kısmını çarpalım: \( \sqrt{3} \times \sqrt{3} = \sqrt{3 \times 3} = \sqrt{9} = 3 \)
- 👉 Kesri yeniden yazalım: \[ \frac{6\sqrt{3}}{3} \]
- 👉 Sadeleştirme yapalım: Paydaki 6 ile paydadaki 3 sadeleşebilir. \( 6 \div 3 = 2 \). \[ 2\sqrt{3} \]
- ✅ Sonuç olarak, kesrin paydasını rasyonel yaptığımızda \( 2\sqrt{3} \) elde ederiz.
Örnek 6:
Bir bakteri türünün laboratuvar ortamında her 20 dakikada bir 2 katına çıktığı gözlemlenmiştir. Başlangıçta 256 bakteri olduğuna göre, 2 saat sonra bu ortamda kaç bakteri olur? 🦠🔬
Çözüm:
Bu bir üslü sayılarla büyüme problemidir. Adım adım hesaplayalım:
- 👉 Toplam süreyi belirleyelim: 2 saat = \( 2 \times 60 \) dakika = 120 dakika.
- 👉 Kaç kez ikiye katlandığını bulalım: Her 20 dakikada bir ikiye katlandığına göre, 120 dakika içinde \( 120 \div 20 = 6 \) kez ikiye katlanacaktır.
- 👉 Bakteri sayısındaki artışı üslü ifade olarak yazalım: Her katlanmada 2 katına çıktığı için, 6 katlanma sonunda \( 2^6 \) kat artacaktır. \( 2^6 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 64 \).
- 👉 Başlangıçtaki bakteri sayısını üslü ifade olarak yazalım: Başlangıçta 256 bakteri vardır. \( 256 = 2^8 \).
- 👉 Son bakteri sayısını hesaplayalım: Başlangıçtaki bakteri sayısı ile katlanma miktarını çarpalım: \[ 2^8 \times 2^6 \]
- ✅ Sonuç olarak, 2 saat sonra bu ortamda \( 2^{14} \) bakteri olur. Bu da 16384 bakteriye eşittir.
Tabanlar aynı olduğu için üsleri toplarız: \[ 2^{(8+6)} = 2^{14} \]
Örnek 7:
Bir çiftçi kare şeklindeki tarlasının alanının \( 3200 \text{ m}^2 \) olduğunu biliyor. Bu tarlanın etrafına iki sıra tel çekmek isterse, toplam kaç metre tel kullanması gerekir? 🌾📐
Çözüm:
Bu problemde kareköklü ifadeler kullanarak tarlanın kenar uzunluğunu ve çevresini hesaplayacağız.
- 👉 Karenin bir kenar uzunluğunu bulalım: Karenin alanı bir kenarının karesine eşittir. Alan \( A = a^2 \) ise, kenar uzunluğu \( a = \sqrt{A} \) olur. \[ a = \sqrt{3200} \]
- 👉 Tarlanın çevresini hesaplayalım: Karenin çevresi 4 kenar uzunluğunun toplamıdır. Çevre \( C = 4a \). \[ C = 4 \times (40\sqrt{2}) = 160\sqrt{2} \text{ metre} \]
- 👉 Çekilecek toplam tel miktarını bulalım: Çiftçi tarlanın etrafına iki sıra tel çekeceği için, toplam tel miktarı çevrenin 2 katı olacaktır. Toplam tel = \( 2 \times C = 2 \times (160\sqrt{2}) = 320\sqrt{2} \text{ metre} \)
- ✅ Sonuç olarak, çiftçinin tarlasının etrafına iki sıra tel çekmek için toplam \( 320\sqrt{2} \) metre tele ihtiyacı vardır.
\( \sqrt{3200} \) ifadesini \( a\sqrt{b} \) şeklinde yazalım. \( 3200 = 1600 \times 2 \). \[ a = \sqrt{1600 \times 2} = \sqrt{1600} \times \sqrt{2} = 40\sqrt{2} \text{ metre} \]
Örnek 8:
Aşağıdaki işlemin sonucunu bulunuz. 🔢
\[ \frac{\sqrt{8} \times 4^2}{2^3} \]
\[ \frac{\sqrt{8} \times 4^2}{2^3} \]
Çözüm:
Bu soruda hem köklü hem de üslü ifadeler bulunmaktadır. Adım adım sadeleştirme yaparak sonuca ulaşalım:
- 👉 Köklü ifadeyi düzenleyelim: \( \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = \sqrt{4} \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \)
- 👉 Üslü ifadeleri hesaplayalım: \( 4^2 = 16 \) \( 2^3 = 8 \)
- 👉 İfadeleri yerine yazıp işlemi yeniden düzenleyelim: \[ \frac{2\sqrt{2} \times 16}{8} \]
- 👉 Pay kısmındaki çarpma işlemini yapalım: \( 2\sqrt{2} \times 16 = (2 \times 16)\sqrt{2} = 32\sqrt{2} \)
- 👉 Şimdi bölme işlemini yapalım: \[ \frac{32\sqrt{2}}{8} \]
- ✅ Sonuç olarak, işlemin sonucu \( 4\sqrt{2} \) olur.
Paydaki 32 ile paydadaki 8'i sadeleştirelim: \( 32 \div 8 = 4 \). \[ 4\sqrt{2} \]
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-gercek-sayilarin-uslu-ve-koklu-gosterimlerinde-yapilan-islemler/sorular