💡 9. Sınıf Matematik: Gerçek Sayıların Üslü ve Köklü Gösterimleri Çözümlü Örnekler

Üslü sayılarda temel kuralları hatırlayalım:

• Pozitif taban: Taban pozitif ise üssün tek veya çift olması sonucu değiştirmez, sonuç her zaman pozitiftir.
• Negatif taban: Taban negatif ise üssün tek veya çift olması sonucu etkiler.
• Sıfır üssü: Sıfır hariç her sayının sıfırıncı kuvveti 1'dir.
• Bir üssü: Her sayının birinci kuvveti kendisine eşittir.

Şimdi örnekleri çözelim:

• \( 3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81 \) 💡
• \( (-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = -8 \) 💡
• \( 5^0 = 1 \) ✅
• \( 10^1 = 10 \) ✅

Üslü sayılarda çarpma ve bölme kurallarını hatırlayalım:

• Çarpma: Tabanlar aynı ise üsler toplanır: \( a^m \times a^n = a^{m+n} \)
• Bölme: Tabanlar aynı ise üsler çıkarılır: \( a^m \div a^n = a^{m-n} \)
• Üssün Üssü: Üsler çarpılır: \( (a^m)^n = a^{m \times n} \)

Şimdi örnekleri çözelim:

• \( 2^5 \times 2^3 = 2^{5+3} = 2^8 \) 👉
• \( x^7 \div x^2 = x^{7-2} = x^5 \) 👉
• \( (a^3)^2 = a^{3 \times 2} = a^6 \) 👉

Negatif üslü sayılarda taban ters çevrilir ve üs pozitif yapılır:

• \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \)
• \( (\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n \)

Şimdi örnekleri çözelim:

• \( 4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16} \) 💡
• \( (\frac{1}{3})^{-3} = (\frac{3}{1})^3 = 3^3 = 27 \) ✅

Üslü ifadeleri köklü ifadeye çevirirken şu kural kullanılır:

• \( a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \)

Burada payda kökün derecesini, pay ise tabanın kuvvetini gösterir. Eğer payda 2 ise, kökün derecesi yazılmayabilir (karekök).

Şimdi örnekleri çözelim:

• \( 5^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{5^1} = \sqrt{5} \) 👉
• \( x^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{x^2} \) 👉

Köklü ifadeleri üslü ifadeye çevirirken şu kural kullanılır:

• \( \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} \)

Burada kökün derecesi paydanın, tabanın kuvveti ise payın yerine geçer.

Şimdi örnekleri çözelim:

• \( \sqrt{7} = \sqrt[2]{7^1} = 7^{\frac{1}{2}} \) ✅
• \( \sqrt[5]{a^3} = a^{\frac{3}{5}} \) ✅

Köklü sayıyı sadeleştirmek için kök içindeki sayının çarpanlarından tam kare (veya tam küp vb.) olanları dışarı çıkarırız.

• Karekök için: \( \sqrt{a^2 \times b} = a\sqrt{b} \)
• Kübük için: \( \sqrt[3]{a^3 \times b} = a\sqrt[3]{b} \)

Şimdi örnekleri çözelim:

• \( \sqrt{18} \): 18'in çarpanları 9 ve 2'dir. 9 bir tam karedir (\( 3^2 \)).
  \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{3^2 \times 2} = 3\sqrt{2} \) 💡
• \( \sqrt[3]{54} \): 54'ün çarpanları 27 ve 2'dir. 27 bir tam küptür (\( 3^3 \)).
  \( \sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \times 2} = \sqrt[3]{3^3 \times 2} = 3\sqrt[3]{2} \) 💡

Bilimsel Gösterim: Bir sayının \( a \times 10^n \) şeklinde yazılmasıdır. Burada \( 1 \le |a| < 10 \) olmalıdır.

• Adım 1: Sayıyı bilimsel gösterime çevirme
  Verilen sayı: \( 0.00000005 \)
  Virgülü, sayının ilk rakamından (5) sonra gelecek şekilde kaydırırız. 8 basamak sağa kaydırmamız gerekir.
  Bu durumda sayı \( 5 \times 10^{-8} \) olur. (Sağa kaydırmada üs negatiftir.) 💡
• Adım 2: \( 10^3 \) katını hesaplama
  Bilimsel gösterimdeki sayıyı \( 10^3 \) ile çarpmamız isteniyor.
  \( (5 \times 10^{-8}) \times 10^3 \)
  Üslü sayılarda çarpma kuralını kullanarak üsleri toplarız: \( 10^{-8} \times 10^3 = 10^{-8+3} = 10^{-5} \)
  Sonuç: \( 5 \times 10^{-5} \) metre. ✅

Bu problemde, fiyat artışını üslü sayılarla ifade edilen tutarlar üzerinden hesaplayacağız.

• Adım 1: Metrekare farkını bulma
  İki daire arasındaki metrekare farkı: \( 90 - 70 = 20 \) metrekare. 👉
• Adım 2: Fiyat artışını hesaplama
  Her 10 metrekare için fiyat artışı \( 2 \times 10^4 \) TL.
  20 metrekare, 10 metrekarenin 2 katıdır. Yani fiyat artışı \( 2 \times (2 \times 10^4) \) TL olur.
  Fiyat artışı = \( 4 \times 10^4 \) TL. 💡
• Adım 3: 90 metrekare dairenin toplam fiyatını bulma
  70 metrekare dairenin fiyatı: \( 5 \times 10^5 \) TL.
  90 metrekare dairenin fiyatı = (70 m² daire fiyatı) + (Metrekare farkı için artış)
  Önce \( 5 \times 10^5 \) TL'yi \( 50 \times 10^4 \) TL olarak yazabiliriz ki birimlerimiz aynı olsun.
  Toplam Fiyat = \( 50 \times 10^4 \) TL + \( 4 \times 10^4 \) TL
  Toplam Fiyat = \( (50 + 4) \times 10^4 \) TL
  Toplam Fiyat = \( 54 \times 10^4 \) TL.
  Bu da \( 540,000 \) TL'ye eşittir. ✅