🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Gerçek Sayıların Üslü ve Köklü Gösterimleri ile İşlemler Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Gerçek Sayıların Üslü ve Köklü Gösterimleri ile İşlemler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıdaki üslü ifadeyi hesaplayınız: \( 3^4 \)
Çözüm:
Bu soruda, üslü ifadenin ne anlama geldiğini hatırlamamız gerekiyor.
Üslü ifade \( a^n \) şeklinde gösterilir ve bu, 'a' sayısının kendisiyle 'n' kere çarpılması anlamına gelir.
Adım 1: Üslü ifadenin tabanını ve üssünü belirleyelim.
Tabanımız \( 3 \) ve üssümüz \( 4 \).
Adım 2: Tabanı, üssün belirttiği kadar kendisiyle çarpalım.
\( 3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \)
Adım 3: Çarpma işlemini adım adım yapalım.
\( 3 \times 3 = 9 \)
\( 9 \times 3 = 27 \)
\( 27 \times 3 = 81 \)
Sonuç: \( 3^4 = 81 \) ✅
Üslü ifade \( a^n \) şeklinde gösterilir ve bu, 'a' sayısının kendisiyle 'n' kere çarpılması anlamına gelir.
Adım 1: Üslü ifadenin tabanını ve üssünü belirleyelim.
Tabanımız \( 3 \) ve üssümüz \( 4 \).
Adım 2: Tabanı, üssün belirttiği kadar kendisiyle çarpalım.
\( 3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \)
Adım 3: Çarpma işlemini adım adım yapalım.
\( 3 \times 3 = 9 \)
\( 9 \times 3 = 27 \)
\( 27 \times 3 = 81 \)
Sonuç: \( 3^4 = 81 \) ✅
Örnek 2:
Negatif üslü bir sayıyı hesaplayınız: \( 2^{-3} \)
Çözüm:
Negatif üslü ifadelerde dikkat etmemiz gereken önemli bir kural vardır.
Bir sayının negatif üssü, o sayının çarpma işlemine göre tersinin pozitif üssü olarak yazılır. Yani, \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \)
Adım 1: Negatif üssü pozitif hale getirelim.
\( 2^{-3} = \frac{1}{2^3} \)
Adım 2: Pozitif üslü ifadeyi hesaplayalım.
\( 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8 \)
Adım 3: Sonucu bir kesir olarak yazalım.
\( \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \)
Sonuç: \( 2^{-3} = \frac{1}{8} \) 👉
Bir sayının negatif üssü, o sayının çarpma işlemine göre tersinin pozitif üssü olarak yazılır. Yani, \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \)
Adım 1: Negatif üssü pozitif hale getirelim.
\( 2^{-3} = \frac{1}{2^3} \)
Adım 2: Pozitif üslü ifadeyi hesaplayalım.
\( 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8 \)
Adım 3: Sonucu bir kesir olarak yazalım.
\( \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \)
Sonuç: \( 2^{-3} = \frac{1}{8} \) 👉
Örnek 3:
Köklü bir ifadeyi sadeleştiriniz: \( \sqrt{72} \)
Çözüm:
Köklü ifadeleri sadeleştirirken, kökün içindeki sayının tam kare çarpanlarını bulmamız gerekir.
Tam kare sayılar şunlardır: \( 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, ... \)
Adım 1: 72 sayısının çarpanlarını düşünelim ve tam kare olanları bulalım.
\( 72 = 1 \times 72 \)
\( 72 = 2 \times 36 \)
Burada 36 sayısı bir tam karedir (\( 6^2 \)).
Adım 2: Köklü ifadeyi bu çarpanlara göre yeniden yazalım.
\( \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} \)
Adım 3: Kökün özelliğini kullanarak tam kareyi kök dışına çıkaralım. \( \sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \)
\( \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} \)
\( \sqrt{36} = 6 \) olduğu için:
\( 6 \times \sqrt{2} \)
Sonuç: \( \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \) 💡
Tam kare sayılar şunlardır: \( 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, ... \)
Adım 1: 72 sayısının çarpanlarını düşünelim ve tam kare olanları bulalım.
\( 72 = 1 \times 72 \)
\( 72 = 2 \times 36 \)
Burada 36 sayısı bir tam karedir (\( 6^2 \)).
Adım 2: Köklü ifadeyi bu çarpanlara göre yeniden yazalım.
\( \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} \)
Adım 3: Kökün özelliğini kullanarak tam kareyi kök dışına çıkaralım. \( \sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \)
\( \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} \)
\( \sqrt{36} = 6 \) olduğu için:
\( 6 \times \sqrt{2} \)
Sonuç: \( \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \) 💡
Örnek 4:
Farklı dereceli köklü ifadeleri aynı kök derecesinde eşitleyip çarpınız: \( \sqrt[3]{2} \times \sqrt{3} \)
Çözüm:
Farklı dereceli köklü ifadeleri çarpmak veya bölmek için öncelikle kök derecelerini eşitlememiz gerekir.
Kök derecelerinin en küçük ortak katını (EKOK) bulmalıyız.
Adım 1: Kök derecelerini belirleyelim.
İlk kökün derecesi 3, ikinci kökün derecesi 2'dir (yazılmadığında 2 kabul edilir).
Adım 2: Kök derecelerinin EKOK'unu bulalım.
EKOK(3, 2) = 6
Bu, yeni kök derecemizin 6 olacağı anlamına gelir.
Adım 3: Her bir kökü 6. dereceye genişletelim. Bunu yaparken, kökün içine aldığımız sayının üssünü de kök derecesini genişlettiğimiz oranla çarpmamız gerekir.
İlk kök: \( \sqrt[3]{2} \). Dereceyi 6 yapmak için 2 ile çarptık. Bu yüzden tabanın üssünü de 2 ile çarpmalıyız. \( 2 = 2^1 \).
\( \sqrt[3]{2} = \sqrt[3 \times 2]{2^{1 \times 2}} = \sqrt[6]{2^2} = \sqrt[6]{4} \)
İkinci kök: \( \sqrt{3} \). Dereceyi 6 yapmak için 3 ile çarptık. Tabanda \( 3 = 3^1 \) var.
\( \sqrt{3} = \sqrt[2 \times 3]{3^{1 \times 3}} = \sqrt[6]{3^3} = \sqrt[6]{27} \)
Adım 4: Şimdi kök dereceleri eşit olduğuna göre çarpma işlemini yapabiliriz. \( \sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \times b} \)
\( \sqrt[6]{4} \times \sqrt[6]{27} = \sqrt[6]{4 \times 27} \)
\( 4 \times 27 = 108 \)
Sonuç: \( \sqrt[6]{108} \) ✅
Kök derecelerinin en küçük ortak katını (EKOK) bulmalıyız.
Adım 1: Kök derecelerini belirleyelim.
İlk kökün derecesi 3, ikinci kökün derecesi 2'dir (yazılmadığında 2 kabul edilir).
Adım 2: Kök derecelerinin EKOK'unu bulalım.
EKOK(3, 2) = 6
Bu, yeni kök derecemizin 6 olacağı anlamına gelir.
Adım 3: Her bir kökü 6. dereceye genişletelim. Bunu yaparken, kökün içine aldığımız sayının üssünü de kök derecesini genişlettiğimiz oranla çarpmamız gerekir.
İlk kök: \( \sqrt[3]{2} \). Dereceyi 6 yapmak için 2 ile çarptık. Bu yüzden tabanın üssünü de 2 ile çarpmalıyız. \( 2 = 2^1 \).
\( \sqrt[3]{2} = \sqrt[3 \times 2]{2^{1 \times 2}} = \sqrt[6]{2^2} = \sqrt[6]{4} \)
İkinci kök: \( \sqrt{3} \). Dereceyi 6 yapmak için 3 ile çarptık. Tabanda \( 3 = 3^1 \) var.
\( \sqrt{3} = \sqrt[2 \times 3]{3^{1 \times 3}} = \sqrt[6]{3^3} = \sqrt[6]{27} \)
Adım 4: Şimdi kök dereceleri eşit olduğuna göre çarpma işlemini yapabiliriz. \( \sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \times b} \)
\( \sqrt[6]{4} \times \sqrt[6]{27} = \sqrt[6]{4 \times 27} \)
\( 4 \times 27 = 108 \)
Sonuç: \( \sqrt[6]{108} \) ✅
Örnek 5:
Bir teknoloji mağazasında, yeni çıkan bir akıllı telefonun fiyatı başlangıçta \( 10000 \) TL olarak belirlenmiştir. İlk ay sonunda fiyatına \( \frac{1}{4} \) oranında zam yapılmış, ikinci ay sonunda ise zamlı fiyat üzerinden \( \frac{1}{5} \) oranında indirim uygulanmıştır. İki ay sonunda telefonun son fiyatı kaç TL olur?
Çözüm:
Bu problem, kesirlerle yapılan artırma ve azaltma işlemlerini köklü sayılarla ilişkilendiren bir beceri sorusudur.
Adım 1: Telefonun başlangıç fiyatını ve ilk ay sonundaki zam oranını belirleyelim.
Başlangıç fiyatı: \( 10000 \) TL
Zam oranı: \( \frac{1}{4} \)
Adım 2: İlk ay sonundaki zammı hesaplayalım. Zam miktarı, başlangıç fiyatının \( \frac{1}{4} \) katıdır.
Zam miktarı = \( 10000 \times \frac{1}{4} = 2500 \) TL
Adım 3: İlk ay sonundaki yeni fiyatı bulalım.
İlk ay sonu fiyatı = Başlangıç fiyatı + Zam miktarı
İlk ay sonu fiyatı = \( 10000 + 2500 = 12500 \) TL
Adım 4: İkinci ay sonundaki indirim oranını ve bu indirimin hangi fiyat üzerinden yapılacağını belirleyelim.
İndirim oranı: \( \frac{1}{5} \)
İndirim, ilk ay sonundaki zamlı fiyat üzerinden uygulanacaktır.
Adım 5: İkinci ay sonundaki indirimi hesaplayalım.
İndirim miktarı = \( 12500 \times \frac{1}{5} = 2500 \) TL
Adım 6: İkinci ay sonundaki telefonun son fiyatını bulalım.
Son fiyat = İlk ay sonu fiyatı - İndirim miktarı
Son fiyat = \( 12500 - 2500 = 10000 \) TL
Sonuç: İki ay sonunda telefonun son fiyatı \( 10000 \) TL olur. 💡 Bu, ilk fiyatıyla aynıdır çünkü yapılan zam ve indirim miktarları birbirini götürmüştür.
Adım 1: Telefonun başlangıç fiyatını ve ilk ay sonundaki zam oranını belirleyelim.
Başlangıç fiyatı: \( 10000 \) TL
Zam oranı: \( \frac{1}{4} \)
Adım 2: İlk ay sonundaki zammı hesaplayalım. Zam miktarı, başlangıç fiyatının \( \frac{1}{4} \) katıdır.
Zam miktarı = \( 10000 \times \frac{1}{4} = 2500 \) TL
Adım 3: İlk ay sonundaki yeni fiyatı bulalım.
İlk ay sonu fiyatı = Başlangıç fiyatı + Zam miktarı
İlk ay sonu fiyatı = \( 10000 + 2500 = 12500 \) TL
Adım 4: İkinci ay sonundaki indirim oranını ve bu indirimin hangi fiyat üzerinden yapılacağını belirleyelim.
İndirim oranı: \( \frac{1}{5} \)
İndirim, ilk ay sonundaki zamlı fiyat üzerinden uygulanacaktır.
Adım 5: İkinci ay sonundaki indirimi hesaplayalım.
İndirim miktarı = \( 12500 \times \frac{1}{5} = 2500 \) TL
Adım 6: İkinci ay sonundaki telefonun son fiyatını bulalım.
Son fiyat = İlk ay sonu fiyatı - İndirim miktarı
Son fiyat = \( 12500 - 2500 = 10000 \) TL
Sonuç: İki ay sonunda telefonun son fiyatı \( 10000 \) TL olur. 💡 Bu, ilk fiyatıyla aynıdır çünkü yapılan zam ve indirim miktarları birbirini götürmüştür.
Örnek 6:
Bir çiftçi, tarlasının \( \sqrt{50} \) metrekarelik alanına domates, \( \sqrt{18} \) metrekarelik alanına ise biber ekmiştir. Çiftçinin domates ve biber ekmek için ayırdığı toplam alan kaç metrekaredir?
Çözüm:
Bu soru, köklü ifadelerin toplama işlemiyle günlük hayattaki bir uygulamasıdır. Toplama yapabilmek için köklü ifadelerin sadeleştirilmiş olması gerekir.
Adım 1: Domates ekilen alanı sadeleştirelim.
\( \sqrt{50} \)
\( 50 = 25 \times 2 \) olduğundan, 25 tam kare bir sayıdır (\( 5^2 \)).
\( \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \) metrekare.
Adım 2: Biber ekilen alanı sadeleştirelim.
\( \sqrt{18} \)
\( 18 = 9 \times 2 \) olduğundan, 9 tam kare bir sayıdır (\( 3^2 \)).
\( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \) metrekare.
Adım 3: Domates ve biber ekilen alanları toplayalım. Kök içleri aynı olduğu için ( \( \sqrt{2} \) ), katsayılarını toplayabiliriz.
Toplam Alan = \( 5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} \)
Toplam Alan = \( (5+3)\sqrt{2} \)
Toplam Alan = \( 8\sqrt{2} \) metrekare.
Sonuç: Çiftçinin domates ve biber ekmek için ayırdığı toplam alan \( 8\sqrt{2} \) metrekaredir. 👨🌾
Adım 1: Domates ekilen alanı sadeleştirelim.
\( \sqrt{50} \)
\( 50 = 25 \times 2 \) olduğundan, 25 tam kare bir sayıdır (\( 5^2 \)).
\( \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \) metrekare.
Adım 2: Biber ekilen alanı sadeleştirelim.
\( \sqrt{18} \)
\( 18 = 9 \times 2 \) olduğundan, 9 tam kare bir sayıdır (\( 3^2 \)).
\( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \) metrekare.
Adım 3: Domates ve biber ekilen alanları toplayalım. Kök içleri aynı olduğu için ( \( \sqrt{2} \) ), katsayılarını toplayabiliriz.
Toplam Alan = \( 5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} \)
Toplam Alan = \( (5+3)\sqrt{2} \)
Toplam Alan = \( 8\sqrt{2} \) metrekare.
Sonuç: Çiftçinin domates ve biber ekmek için ayırdığı toplam alan \( 8\sqrt{2} \) metrekaredir. 👨🌾
Örnek 7:
\( \left( \frac{2^3}{2^5} \right)^{-2} \) işleminin sonucunu bulunuz.
Çözüm:
Bu soruda, üslü sayılarda bölme ve negatif üs kurallarını bir arada kullanacağız.
Adım 1: Parantez içindeki bölme işlemini üslü sayılar kuralına göre yapalım.
\( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)
\( \frac{2^3}{2^5} = 2^{3-5} = 2^{-2} \)
Adım 2: Elde ettiğimiz ifadeyi parantezin dışındaki üs ile uygulayalım.
\( (2^{-2})^{-2} \)
Üslü sayılarda üs alma kuralı: \( (a^m)^n = a^{m \times n} \)
\( 2^{-2 \times -2} = 2^4 \)
Adım 3: Sonucu hesaplayalım.
\( 2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16 \)
Sonuç: \( \left( \frac{2^3}{2^5} \right)^{-2} = 16 \) ✅
Adım 1: Parantez içindeki bölme işlemini üslü sayılar kuralına göre yapalım.
\( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)
\( \frac{2^3}{2^5} = 2^{3-5} = 2^{-2} \)
Adım 2: Elde ettiğimiz ifadeyi parantezin dışındaki üs ile uygulayalım.
\( (2^{-2})^{-2} \)
Üslü sayılarda üs alma kuralı: \( (a^m)^n = a^{m \times n} \)
\( 2^{-2 \times -2} = 2^4 \)
Adım 3: Sonucu hesaplayalım.
\( 2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16 \)
Sonuç: \( \left( \frac{2^3}{2^5} \right)^{-2} = 16 \) ✅
Örnek 8:
Aşağıdaki köklü ifadeyi hesaplayınız: \( \sqrt[3]{-8} \)
Çözüm:
Bu soruda, negatif bir sayının tek dereceli kökünü alacağız.
Adım 1: Kökün derecesinin tek mi çift mi olduğunu kontrol edelim.
Burada kökün derecesi 3'tür, yani tek bir derecedir.
Adım 2: Tek dereceli köklerde, kökün içindeki sayının işareti korunur. Yani, negatif bir sayının tek dereceli kökü de negatif olacaktır.
\( \sqrt[3]{-8} \) 'nin sonucu negatif bir sayı olmalıdır.
Adım 3: Hangi sayının küpünün 8'e eşit olduğunu bulalım.
\( 1^3 = 1 \)
\( 2^3 = 8 \)
Demek ki, 8'in küp kökü 2'dir.
Adım 4: Sonucu belirleyelim.
\( \sqrt[3]{-8} = -2 \)
Çünkü \( (-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = 4 \times (-2) = -8 \) olur.
Sonuç: \( \sqrt[3]{-8} = -2 \) 👉
Adım 1: Kökün derecesinin tek mi çift mi olduğunu kontrol edelim.
Burada kökün derecesi 3'tür, yani tek bir derecedir.
Adım 2: Tek dereceli köklerde, kökün içindeki sayının işareti korunur. Yani, negatif bir sayının tek dereceli kökü de negatif olacaktır.
\( \sqrt[3]{-8} \) 'nin sonucu negatif bir sayı olmalıdır.
Adım 3: Hangi sayının küpünün 8'e eşit olduğunu bulalım.
\( 1^3 = 1 \)
\( 2^3 = 8 \)
Demek ki, 8'in küp kökü 2'dir.
Adım 4: Sonucu belirleyelim.
\( \sqrt[3]{-8} = -2 \)
Çünkü \( (-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = 4 \times (-2) = -8 \) olur.
Sonuç: \( \sqrt[3]{-8} = -2 \) 👉
Örnek 9:
Bir inşaat mühendisi, projesinde kullanılacak bir demir çubuğun uzunluğunu \( \sqrt{200} \) metre olarak hesaplamıştır. Ancak daha sonra yapılan bir revizyonla çubuğun uzunluğunun \( \sqrt{50} \) metre daha kısa olması gerektiği belirlenmiştir. İnşaat mühendisinin revize ettiği çubuğun uzunluğu kaç metre olmalıdır?
Çözüm:
Bu problem, köklü ifadelerin sadeleştirilmesini ve çıkarma işlemini içeren bir uygulama sorusudur.
Adım 1: İlk hesaplanan demir çubuğun uzunluğunu sadeleştirelim.
\( \sqrt{200} \)
\( 200 = 100 \times 2 \) olduğundan, 100 tam kare bir sayıdır (\( 10^2 \)).
\( \sqrt{200} = \sqrt{100 \times 2} = \sqrt{100} \times \sqrt{2} = 10\sqrt{2} \) metre.
Adım 2: Çubuğun ne kadar kısa olması gerektiğini sadeleştirelim.
\( \sqrt{50} \)
\( 50 = 25 \times 2 \) olduğundan, 25 tam kare bir sayıdır (\( 5^2 \)).
\( \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \) metre.
Adım 3: Revize edilen çubuğun uzunluğunu bulmak için ilk uzunluktan kısaltılması gereken uzunluğu çıkaralım.
Revize Edilmiş Uzunluk = İlk Uzunluk - Kısa Olması Gereken Uzunluk
Revize Edilmiş Uzunluk = \( 10\sqrt{2} - 5\sqrt{2} \)
Kök içleri aynı olduğu için katsayıları çıkarabiliriz.
Revize Edilmiş Uzunluk = \( (10-5)\sqrt{2} \)
Revize Edilmiş Uzunluk = \( 5\sqrt{2} \) metre.
Sonuç: Revize edilen demir çubuğun uzunluğu \( 5\sqrt{2} \) metre olmalıdır. 🏗️
Adım 1: İlk hesaplanan demir çubuğun uzunluğunu sadeleştirelim.
\( \sqrt{200} \)
\( 200 = 100 \times 2 \) olduğundan, 100 tam kare bir sayıdır (\( 10^2 \)).
\( \sqrt{200} = \sqrt{100 \times 2} = \sqrt{100} \times \sqrt{2} = 10\sqrt{2} \) metre.
Adım 2: Çubuğun ne kadar kısa olması gerektiğini sadeleştirelim.
\( \sqrt{50} \)
\( 50 = 25 \times 2 \) olduğundan, 25 tam kare bir sayıdır (\( 5^2 \)).
\( \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \) metre.
Adım 3: Revize edilen çubuğun uzunluğunu bulmak için ilk uzunluktan kısaltılması gereken uzunluğu çıkaralım.
Revize Edilmiş Uzunluk = İlk Uzunluk - Kısa Olması Gereken Uzunluk
Revize Edilmiş Uzunluk = \( 10\sqrt{2} - 5\sqrt{2} \)
Kök içleri aynı olduğu için katsayıları çıkarabiliriz.
Revize Edilmiş Uzunluk = \( (10-5)\sqrt{2} \)
Revize Edilmiş Uzunluk = \( 5\sqrt{2} \) metre.
Sonuç: Revize edilen demir çubuğun uzunluğu \( 5\sqrt{2} \) metre olmalıdır. 🏗️
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-gercek-sayilarin-uslu-ve-koklu-gosterimleri-ile-islemler/sorular