📄 9. Sınıf Matematik: Gerçek Sayıların Üslü ve Köklü Gösterimleri ile İşlemler Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Verilen ifade \( \left( \frac{2}{3} \right)^{-2} \) şeklindedir. Negatif üs kuralına göre, \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \) ve \( \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n} \) eşitlikleri kullanılır. Bu kurala göre, ifadenin tabanı ters çevrilir ve üs pozitif yapılır:

\( \left( \frac{2}{3} \right)^{-2} = \left( \frac{3}{2} \right)^{2} \)

Şimdi pozitif üssü hesaplayalım:

\( \left( \frac{3}{2} \right)^{2} = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4} \)

Sonuç olarak, \( \left( \frac{2}{3} \right)^{-2} = \frac{9}{4} \) bulunur.

💡 Çözüm Adımları:

İşlemi adım adım çözelim:

1. \( \sqrt{49} \): Hangi sayının karesinin 49 olduğunu bulmalıyız. \( 7^2 = 49 \) olduğundan, \( \sqrt{49} = 7 \) olur.

2. \( \sqrt[3]{-8} \): Hangi sayının küpünün -8 olduğunu bulmalıyız. \( (-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = 4 \times (-2) = -8 \) olduğundan, \( \sqrt[3]{-8} = -2 \) olur. (Kök derecesi tek olduğu için sonuç negatif olabilir.)

3. \( \sqrt{1} \): Hangi sayının karesinin 1 olduğunu bulmalıyız. \( 1^2 = 1 \) olduğundan, \( \sqrt{1} = 1 \) olur.

Şimdi bu sonuçları ana işlemde yerine koyalım:

\( \sqrt{49} - \sqrt[3]{-8} + \sqrt{1} = 7 - (-2) + 1 \)

Eksinin eksiyi götürmesi kuralına göre:

\( 7 - (-2) + 1 = 7 + 2 + 1 \)

Toplama işlemini yaparsak:

\( 7 + 2 + 1 = 10 \)

Bu nedenle, işlemin sonucu 10'dur.

💡 Çözüm Adımları:

Gerçek sayılar kümesi \( \mathbb{R} \) ile gösterilir. Bu küme, sayı doğrusundaki tüm noktaları temsil eder. Gerçek sayılar kümesi iki ana alt kümeye ayrılır:

1. Rasyonel Sayılar Kümesi (\( \mathbb{Q} \)): \( \frac{a}{b} \) şeklinde (a tam sayı, b sıfırdan farklı tam sayı olmak üzere) ifade edilebilen sayılardır. Örneğin: \( 2 \), \( -3 \), \( \frac{1}{2} \), \( 0.75 \), \( 0.333... \) gibi sayılar rasyonel sayılardır. Tam sayılar ve sonlu veya devirli ondalık sayılar rasyonel sayılardır.

2. İrrasyonel Sayılar Kümesi (\( \mathbb{I} \)): \( \frac{a}{b} \) şeklinde ifade edilemeyen sayılardır. Ondalık gösterimleri sonsuza kadar devam eder ve tekrar etmez (devretmez). Örneğin: \( \pi \) (pi sayısı yaklaşık 3.14159...), \( \sqrt{2} \) (karekök 2), \( \sqrt{3} \) gibi sayılar irrasyonel sayılardır.

İlişki: Gerçek sayılar kümesi, rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşimidir. Yani, bir sayı ya rasyoneldir ya da irrasyoneldir, ikisi birden olamaz. Matematiksel olarak bu ilişki şu şekilde ifade edilir:

\( \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} \)

Bu iki kümenin kesişimi ise boş kümedir, çünkü bir sayı hem rasyonel hem de irrasyonel olamaz:

\( \mathbb{Q} \cap \mathbb{I} = \emptyset \)