🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Gerçek Sayıların Üslü Ve Köklü Gösterimleri İle Yapılan İşlemler Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Gerçek Sayıların Üslü Ve Köklü Gösterimleri İle Yapılan İşlemler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıdaki üslü ifadelerin değerlerini hesaplayınız. 💡
a) \( (-3)^3 \)
b) \( (-2)^4 \)
c) \( (1/2)^{-2} \)
d) \( 5^0 \)
a) \( (-3)^3 \)
b) \( (-2)^4 \)
c) \( (1/2)^{-2} \)
d) \( 5^0 \)
Çözüm:
Bu örnekte, üslü ifadelerin temel kurallarını hatırlayacağız. Bir sayının pozitif, negatif veya sıfır üssü olduğunda nasıl hesaplandığını görelim. 📌
- a) \( (-3)^3 \): Negatif bir sayının tek kuvveti yine negatiftir.
\( (-3)^3 = (-3) \times (-3) \times (-3) = 9 \times (-3) = -27 \) ✅ - b) \( (-2)^4 \): Negatif bir sayının çift kuvveti pozitiftir.
\( (-2)^4 = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = 4 \times (-2) \times (-2) = -8 \times (-2) = 16 \) ✅ - c) \( (1/2)^{-2} \): Bir sayının negatif kuvveti alınırken, tabandaki sayı ters çevrilir ve üs pozitif yapılır.
\( (1/2)^{-2} = (2/1)^2 = 2^2 = 4 \) ✅ - d) \( 5^0 \): Sıfır hariç her sayının sıfırıncı kuvveti 1'dir.
\( 5^0 = 1 \) ✅
Örnek 2:
Aşağıdaki işlemin sonucunu üslü ifade olarak bulunuz. 👉
\[ \frac{2^5 \times 4^3}{8^2} \]
Çözüm:
Bu tür sorularda, tüm sayıları aynı tabanda yazarak üslü ifade kurallarını uygulamak en kolay yoldur. Burada taban olarak 2'yi seçebiliriz. 🚀
- Öncelikle, 4 ve 8 sayılarını 2 tabanında yazalım:
\( 4 = 2^2 \)
\( 8 = 2^3 \) - Şimdi bu değerleri işlemde yerine koyalım: \[ \frac{2^5 \times (2^2)^3}{(2^3)^2} \]
- Üssün üssü kuralını uygulayalım: \( (a^m)^n = a^{m \times n} \)
\( (2^2)^3 = 2^{2 \times 3} = 2^6 \)
\( (2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6 \) - İfadeyi tekrar düzenleyelim: \[ \frac{2^5 \times 2^6}{2^6} \]
- Çarpma işleminde üsler toplanır: \( a^m \times a^n = a^{m+n} \)
\( 2^5 \times 2^6 = 2^{5+6} = 2^{11} \) - Bölme işleminde üsler çıkarılır: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)
\[ \frac{2^{11}}{2^6} = 2^{11-6} = 2^5 \]
Örnek 3:
Aşağıdaki köklü ifadelerle yapılan toplama işleminin sonucunu bulunuz.
\( \sqrt{12} + \sqrt{75} - \sqrt{27} \)
\( \sqrt{12} + \sqrt{75} - \sqrt{27} \)
Çözüm:
Köklü ifadeleri toplayıp çıkarabilmek için kök içlerinin ve kök derecelerinin aynı olması gerekir. Bu örnekte, tüm kök içlerini en sade hallerine getireceğiz. 🌳
- Öncelikle her bir köklü ifadeyi \( a\sqrt{b} \) şeklinde yazalım:
- \( \sqrt{12} \): \( 12 = 4 \times 3 \). \( 4 \) tam kare olduğundan kök dışına \( 2 \) olarak çıkar.
\( \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3} \) - \( \sqrt{75} \): \( 75 = 25 \times 3 \). \( 25 \) tam kare olduğundan kök dışına \( 5 \) olarak çıkar.
\( \sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3} \) - \( \sqrt{27} \): \( 27 = 9 \times 3 \). \( 9 \) tam kare olduğundan kök dışına \( 3 \) olarak çıkar.
\( \sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3} \)
- \( \sqrt{12} \): \( 12 = 4 \times 3 \). \( 4 \) tam kare olduğundan kök dışına \( 2 \) olarak çıkar.
- Şimdi bu sadeleşmiş ifadeleri yerine koyarak toplama ve çıkarma işlemini yapalım:
\( 2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} - 3\sqrt{3} \) - Kök içleri aynı (\( \sqrt{3} \)) olduğu için katsayıları toplayıp çıkarabiliriz:
\( (2 + 5 - 3)\sqrt{3} = (7 - 3)\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \) ✅
Örnek 4:
Aşağıdaki köklü ifadelerle yapılan çarpma işleminin sonucunu bulunuz.
\( (2\sqrt{3}) \times (5\sqrt{2}) \times (\sqrt{6}) \)
\( (2\sqrt{3}) \times (5\sqrt{2}) \times (\sqrt{6}) \)
Çözüm:
Köklü ifadelerde çarpma işlemi yaparken, katsayılar kendi arasında, kök içleri kendi arasında çarpılır. Kök dereceleri aynı olduğu sürece bu kural geçerlidir. ✖️
- Katsayıları (kök dışındaki sayıları) çarpalım:
\( 2 \times 5 = 10 \) - Kök içlerini çarpalım:
\( \sqrt{3} \times \sqrt{2} \times \sqrt{6} = \sqrt{3 \times 2 \times 6} = \sqrt{36} \) - Şimdi çarpımın sonucunu birleştirelim:
\( 10\sqrt{36} \) - \( \sqrt{36} \) ifadesi tam kare olduğu için kök dışına çıkarılabilir:
\( \sqrt{36} = 6 \) - Sonucu bulmak için katsayı ile kök dışına çıkan sayıyı çarpalım:
\( 10 \times 6 = 60 \) ✅
Örnek 5:
Aşağıdaki işlemin sonucunu bulunuz. 💡
\[ \frac{\sqrt{3^6}}{(3^{1/2})^4 } \]
Çözüm:
Bu örnekte hem üslü sayılar hem de köklü sayılar bir aradadır. Köklü sayıları üslü sayı şeklinde yazma kuralını kullanarak ifadeyi daha kolay çözebiliriz. 📌
- Öncelikle köklü ifadeyi üslü ifadeye çevirelim:
\( \sqrt{a} = a^{1/2} \) kuralını hatırlarsak, \( \sqrt{3^6} = (3^6)^{1/2} \) olarak yazılır. - Üssün üssü kuralını uygulayalım: \( (a^m)^n = a^{m \times n} \)
\( (3^6)^{1/2} = 3^{6 \times (1/2)} = 3^3 \) - Şimdi paydadaki ifadeye bakalım: \( (3^{1/2})^4 \)
Yine üssün üssü kuralını uygulayalım:
\( (3^{1/2})^4 = 3^{(1/2) \times 4} = 3^2 \) - İfadeyi tekrar düzenleyelim: \[ \frac{3^3}{3^2} \]
- Bölme işleminde üsler çıkarılır: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)
\( 3^{3-2} = 3^1 = 3 \) ✅
Örnek 6:
Aşağıdaki ifadenin paydasını rasyonel yapınız ve sonucu bulunuz.
\[ \frac{6}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} \]
\[ \frac{6}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} \]
Çözüm:
Paydada köklü ifade bulunan kesirleri rasyonel yapmak için, paydanın eşleniği ile hem payı hem de paydayı çarparız. \( (\sqrt{a} - \sqrt{b}) \) ifadesinin eşleniği \( (\sqrt{a} + \sqrt{b}) \)'dir. 💡
- Paydadaki ifade \( \sqrt{7} - \sqrt{5} \)'tir. Bunun eşleniği \( \sqrt{7} + \sqrt{5} \)'tir.
- Kesri bu eşlenik ile çarpalım: \[ \frac{6}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} \]
- Payı çarpalım:
\( 6 \times (\sqrt{7} + \sqrt{5}) = 6\sqrt{7} + 6\sqrt{5} \) - Paydayı çarpalım. \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \) özdeşliğini kullanalım:
\( (\sqrt{7} - \sqrt{5}) \times (\sqrt{7} + \sqrt{5}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2 = 7 - 5 = 2 \) - Şimdi kesri tekrar yazalım: \[ \frac{6\sqrt{7} + 6\sqrt{5}}{2} \]
- Paydaki ifadeyi paydaya bölelim:
\( \frac{6\sqrt{7}}{2} + \frac{6\sqrt{5}}{2} = 3\sqrt{7} + 3\sqrt{5} \) ✅
Örnek 7:
Bir bakteri popülasyonu her 20 dakikada bir ikiye katlanmaktadır. Başlangıçta 256 bakteri bulunan bir kültürde, 2 saat sonra toplam kaç bakteri olur? 🦠
Çözüm:
Bu bir üslü büyüme problemidir. Bakteri sayısının belirli aralıklarla katlanması, üslü ifade kullanarak modellenebilir. 📈
- Öncelikle toplam süreyi (2 saat) bakteri sayısının katlanma aralığına (20 dakika) uygun hale getirelim:
1 saat = 60 dakika
2 saat = \( 2 \times 60 = 120 \) dakika. - Bakteriler her 20 dakikada bir ikiye katlandığına göre, 120 dakika içinde kaç kez katlanma gerçekleştiğini bulalım:
Katlanma sayısı = \( \frac{120 \text{ dakika}}{20 \text{ dakika}} = 6 \) kez. - Başlangıçtaki bakteri sayısı 256'dır. Her katlanmada sayı 2 ile çarpılacağı için, 6 katlanma sonunda sayı \( 2^6 \) ile çarpılmış olacaktır.
Toplam bakteri sayısı = Başlangıç sayısı \( \times 2^{\text{katlanma sayısı}} \) - Hesaplamayı yapalım:
Toplam bakteri sayısı = \( 256 \times 2^6 \) - 256 sayısını da 2'nin kuvveti olarak yazabiliriz: \( 256 = 2^8 \)
- Şimdi işlemi tamamlayalım:
Toplam bakteri sayısı = \( 2^8 \times 2^6 \)
Üslü ifadelerde çarpma kuralını uygulayalım: \( a^m \times a^n = a^{m+n} \)
Toplam bakteri sayısı = \( 2^{8+6} = 2^{14} \)
Örnek 8:
Bir inşaat firması, kare şeklinde bir arsanın bir kenar uzunluğunu \( \sqrt{1800} \) metre olarak hesaplamıştır. Bu arsanın çevresi kaç metredir? Hesaplamanın en sade köklü biçimde yapılması gerekmektedir. 🏡
Çözüm:
Bu problemde, kare bir arsanın kenar uzunluğu köklü bir ifade olarak verilmiştir ve bizden çevresini bulmamız isteniyor. Karelerin özelliklerini ve köklü ifadelerle işlem yapmayı kullanacağız. 📐
- Bir karenin çevresi, 4 kenar uzunluğunun toplamıdır. Yani Çevre = \( 4 \times \text{kenar uzunluğu} \).
- Verilen kenar uzunluğu \( \sqrt{1800} \) metredir. Öncelikle bu köklü ifadeyi en sade haline getirmeliyiz. Bunun için 1800 sayısının tam kare çarpanlarını bulalım.
\( 1800 = 100 \times 18 \)
\( \sqrt{1800} = \sqrt{100 \times 18} = \sqrt{100} \times \sqrt{18} = 10\sqrt{18} \) - \( \sqrt{18} \) ifadesini de sadeleştirebiliriz:
\( 18 = 9 \times 2 \)
\( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \) - Şimdi kenar uzunluğunu en sade haliyle yazalım:
\( 10\sqrt{18} = 10 \times 3\sqrt{2} = 30\sqrt{2} \) metre. - Arsanın çevresini hesaplayalım:
Çevre = \( 4 \times \text{kenar uzunluğu} = 4 \times 30\sqrt{2} \) - Katsayıları çarpalım:
Çevre = \( (4 \times 30)\sqrt{2} = 120\sqrt{2} \) metre.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-gercek-sayilarin-uslu-ve-koklu-gosterimleri-i-le-yapilan-i-slemler/sorular