🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Gerçek Sayıların Üslü Ve Köklü Gösterimleri İle Yapılan İşlemler Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Gerçek Sayıların Üslü Ve Köklü Gösterimleri İle Yapılan İşlemler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
📌 Soru:
\( 2^5 \cdot 8^2 \div 4^3 \) işleminin sonucunu üslü ifade olarak en sade biçimde bulunuz.
\( 2^5 \cdot 8^2 \div 4^3 \) işleminin sonucunu üslü ifade olarak en sade biçimde bulunuz.
Çözüm:
✅ Çözüm:
Adım adım üslü sayı kurallarını uygulayalım:
Adım adım üslü sayı kurallarını uygulayalım:
- İlk olarak tüm tabanları \( 2 \) tabanına çevirelim:
- \( 8^2 = (2^3)^2 = 2^6 \)
- \( 4^3 = (2^2)^3 = 2^6 \)
- Şimdi bu değerleri işlemde yerine yazalım: \[ \frac{2^5 \cdot 2^6}{2^6} \]
- Pay kısmındaki çarpma işleminde tabanlar aynı olduğu için üsler toplanır: \[ 2^5 \cdot 2^6 = 2^{5+6} = 2^{11} \]
- Bölme işleminde payın üssünden paydanın üssü çıkarılır: \[ \frac{2^{11}}{2^6} = 2^{11-6} = 2^5 \]
Örnek 2:
📌 Soru:
\( 3^{x+2} - 3^x = 72 \) olduğuna göre \( x \) gerçek sayısının değerini bulunuz.
\( 3^{x+2} - 3^x = 72 \) olduğuna göre \( x \) gerçek sayısının değerini bulunuz.
Çözüm:
✅ Çözüm:
Ortak çarpan parantezine alma yöntemini kullanarak denklemi çözelim:
Ortak çarpan parantezine alma yöntemini kullanarak denklemi çözelim:
- \( 3^{x+2} \) ifadesini üslü sayıların çarpma kuralını tersten uygulayarak ayıralım: \[ 3^x \cdot 3^2 - 3^x = 72 \]
- İfadeyi ortak olan \( 3^x \) parantezine alalım: \[ 3^x \cdot (3^2 - 1) = 72 \]\[ 3^x \cdot (9 - 1) = 72 \]\[ 3^x \cdot 8 = 72 \]
- Her iki tarafı \( 8 \) ile sadeleştirelim: \[ 3^x = 9 \]
- \( 9 \) sayısı \( 3^2 \) ye eşit olduğundan: \[ 3^x = 3^2 \]
Örnek 3:
📌 Soru:
\( \sqrt{108} - \sqrt{48} + \sqrt{27} \) işleminin sonucunu bulunuz.
\( \sqrt{108} - \sqrt{48} + \sqrt{27} \) işleminin sonucunu bulunuz.
Çözüm:
✅ Çözüm:
Kök içindeki sayıları çarpanlarına ayırarak kök dışına çıkaralım:
Kök içindeki sayıları çarpanlarına ayırarak kök dışına çıkaralım:
- \( \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3} \)
- \( \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3} \)
- \( \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3} \)
- Bulduğumuz değerleri orijinal işlemde yerine yazalım: \[ 6\sqrt{3} - 4\sqrt{3} + 3\sqrt{3} \]
- Kök içleri aynı olduğu için katsayılar arasında toplama ve çıkarma işlemlerini yapalım: \[ (6 - 4 + 3)\sqrt{3} = 5\sqrt{3} \]
Örnek 4:
📌 Soru:
\( \frac{\sqrt{20} \cdot \sqrt{15}}{\sqrt{12}} \) işleminin sonucunu en sade biçimde bulunuz.
\( \frac{\sqrt{20} \cdot \sqrt{15}}{\sqrt{12}} \) işleminin sonucunu en sade biçimde bulunuz.
Çözüm:
✅ Çözüm:
Köklü sayılarda çarpma ve bölme kurallarını uygulayalım. Dereceleri aynı olan köklü ifadeleri tek bir kök altında birleştirebiliriz:
Köklü sayılarda çarpma ve bölme kurallarını uygulayalım. Dereceleri aynı olan köklü ifadeleri tek bir kök altında birleştirebiliriz:
- İfadeyi tek bir kök içinde yazalım: \[ \sqrt{\frac{20 \cdot 15}{12}} \]
- Kökün içindeki kesirli ifadede sadeleştirmeler yapalım:
- \( 20 \) ve \( 12 \) sayılarını \( 4 \) ile sadeleştirdiğimizde: \[ \sqrt{\frac{5 \cdot 15}{3}} \]
- \( 15 \) ve \( 3 \) sayılarını \( 3 \) ile sadeleştirdiğimizde: \[ \sqrt{5 \cdot 5} = \sqrt{25} \]
- \( 25 \) tam kare bir sayı olduğundan dışarı çıkar: \[ \sqrt{25} = 5 \]
Örnek 5:
📌 Soru:
\( \frac{10}{\sqrt{5}} - \sqrt{20} \) işleminin sonucunu bulunuz.
\( \frac{10}{\sqrt{5}} - \sqrt{20} \) işleminin sonucunu bulunuz.
Çözüm:
✅ Çözüm:
Paydayı rasyonel yapma ve kök dışına çıkarma adımlarını uygulayalım:
Paydayı rasyonel yapma ve kök dışına çıkarma adımlarını uygulayalım:
- İlk terimin paydasını kökten kurtarmak için kesri \( \sqrt{5} \) ile genişletelim: \[ \frac{10 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5} \]
- İkinci terim olan \( \sqrt{20} \) ifadesini sadeleştirelim: \[ \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5} \]
- Şimdi elde ettiğimiz yeni değerleri çıkarma işleminde yerine koyalım: \[ 2\sqrt{5} - 2\sqrt{5} = 0 \]
Örnek 6:
💡 Soru:
Bir laboratuvarda incelenen bir bakteri türünün sayısı her 1 saatin sonunda 2 katına çıkmaktadır. Başlangıçta bu laboratuvarda \( 2^4 \) adet bakteri olduğuna göre, 5 saatin sonunda laboratuvardaki toplam bakteri sayısı kaç olur?
Bir laboratuvarda incelenen bir bakteri türünün sayısı her 1 saatin sonunda 2 katına çıkmaktadır. Başlangıçta bu laboratuvarda \( 2^4 \) adet bakteri olduğuna göre, 5 saatin sonunda laboratuvardaki toplam bakteri sayısı kaç olur?
Çözüm:
✅ Çözüm:
Günlük hayat problemini üslü ifadelerle modelleyerek çözelim:
Günlük hayat problemini üslü ifadelerle modelleyerek çözelim:
- Başlangıçtaki bakteri sayısı: \( 2^4 \)
- Her saatte bakteri sayısı 2 katına çıktığı için, 5 saatin sonunda bakteri sayısı başlangıç değerinin \( 2^5 \) katı olacaktır.
- Toplam bakteri sayısını bulmak için çarpma işlemi yaparız: \[ 2^4 \cdot 2^5 \]
- Tabanlar aynı olduğundan üsler toplanır: \[ 2^{4+5} = 2^9 \]
- \( 2^9 \) değerini hesaplarsak: \[ 2^9 = 512 \]
Örnek 7:
📐 Soru:
Bir kenar uzunluğu \( \sqrt{128} \) metre olan kare şeklindeki bir bahçenin bir köşesinden, bir kenar uzunluğu \( \sqrt{18} \) metre olan kare şeklinde bir kulübe alanı ayrılıyor. Geriye kalan bahçenin çevresi kaç metredir?
Bir kenar uzunluğu \( \sqrt{128} \) metre olan kare şeklindeki bir bahçenin bir köşesinden, bir kenar uzunluğu \( \sqrt{18} \) metre olan kare şeklinde bir kulübe alanı ayrılıyor. Geriye kalan bahçenin çevresi kaç metredir?
Çözüm:
✅ Çözüm:
Görsel canlandırma ve çevre hesabı adımları:
Görsel canlandırma ve çevre hesabı adımları:
- Büyük bahçenin bir kenar uzunluğu: \[ \sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2} \text{ metre} \]
- Köşeden kesilen küçük kulübenin bir kenar uzunluğu: \[ \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2} \text{ metre} \]
- Önemli Geometrik Kural: Bir karenin köşesinden başka bir kare kesilip çıkarıldığında, oluşan yeni şeklin çevre uzunluğu başlangıçtaki karenin çevre uzunluğuna eşit kalır (içeriye doğru giren yeni kenarlar, eksilen dış kenarların uzunluğunu tam olarak karşılar).
- Bu durumda geriye kalan bahçenin çevresi, başlangıçtaki büyük karenin çevresine eşittir: \[ \text{Çevre} = 4 \cdot 8\sqrt{2} = 32\sqrt{2} \text{ metre} \]
Örnek 8:
📌 Soru:
\( \sqrt{4^x} = 8^{x-1} \) denklemini sağlayan \( x \) gerçek sayısını bulunuz.
\( \sqrt{4^x} = 8^{x-1} \) denklemini sağlayan \( x \) gerçek sayısını bulunuz.
Çözüm:
✅ Çözüm:
Köklü ve üslü sayıların özelliklerini bir arada kullanarak denklemi çözelim:
Köklü ve üslü sayıların özelliklerini bir arada kullanarak denklemi çözelim:
- Sol taraftaki köklü ifadeyi üslü sayıya dönüştürelim. \( \sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} \) kuralından: \[ (4^x)^{\frac{1}{2}} = 8^{x-1} \]\[ 4^{\frac{x}{2}} = 8^{x-1} \]
- Şimdi her iki tarafın tabanını \( 2 \) tabanına çevirelim: \[ (2^2)^{\frac{x}{2}} = (2^3)^{x-1} \]
- Üssün üssü alınırken üsler çarpılır: \[ 2^{2 \cdot \frac{x}{2}} = 2^{3(x-1)} \]\[ 2^x = 2^{3x-3} \]
- Tabanlar eşit olduğuna göre üsler de birbirine eşit olmalıdır: \[ x = 3x - 3 \]
- Bilinmeyenleri bir tarafa toplayalım: \[ 3 = 3x - x \]\[ 3 = 2x \]\[ x = \frac{3}{2} \]
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-gercek-sayilarin-uslu-ve-koklu-gosterimleri-i-le-yapilan-i-slemler/sorular