🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Gerçek Sayıların Üslü Gösterimiyle Yapılan Toplama Ve Çıkarma İşlemleri Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Gerçek Sayıların Üslü Gösterimiyle Yapılan Toplama Ve Çıkarma İşlemleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
👉 Aşağıdaki işlemin sonucunu bulunuz:
\( 5 \cdot 3^4 + 7 \cdot 3^4 - 2 \cdot 3^4 \)
\( 5 \cdot 3^4 + 7 \cdot 3^4 - 2 \cdot 3^4 \)
Çözüm:
Bu işlemde, üslü ifadelerin tabanları ve üsleri aynıdır. Bu durumda, üslü ifadeyi ortak çarpan parantezine alabiliriz. Tıpkı \( 5x + 7x - 2x \) işlemini \( (5+7-2)x \) olarak yapmamız gibi.
- 💡 Adım 1: Ortak üslü ifadeyi belirleyelim. Burada ortak ifade \( 3^4 \)'tür.
- 💡 Adım 2: Ortak çarpan parantezine alalım. \[ 5 \cdot 3^4 + 7 \cdot 3^4 - 2 \cdot 3^4 = (5+7-2) \cdot 3^4 \]
- 💡 Adım 3: Parantez içindeki toplama ve çıkarma işlemini yapalım. \[ (5+7-2) = 12-2 = 10 \]
- 💡 Adım 4: Sonucu yazalım. \[ 10 \cdot 3^4 \]
- ✅ Sonuç: \( 10 \cdot 3^4 \). İstenirse \( 3^4 = 81 \) olduğundan \( 10 \cdot 81 = 810 \) olarak da yazılabilir.
Örnek 2:
👉 İşleminin sonucunu bulunuz:
\( 2^7 + 2^8 \)
\( 2^7 + 2^8 \)
Çözüm:
Bu işlemde tabanlar aynı ancak üsler farklıdır. Bu tür durumlarda, üssü küçük olan ifadeyi ortak çarpan olarak kullanmak genellikle daha kolaydır.
- 💡 Adım 1: Üssü büyük olan ifadeyi, üssü küçük olan ifadenin cinsinden yazalım.
Hatırlayalım: \( a^{m+n} = a^m \cdot a^n \). Buna göre \( 2^8 = 2^{7+1} = 2^7 \cdot 2^1 = 2 \cdot 2^7 \). - 💡 Adım 2: İfadeyi yeniden yazalım. \[ 2^7 + 2^8 = 2^7 + 2 \cdot 2^7 \]
- 💡 Adım 3: Şimdi ortak çarpan parantezine alabiliriz. Unutmayalım ki \( 2^7 \) ifadesi aslında \( 1 \cdot 2^7 \) demektir. \[ 1 \cdot 2^7 + 2 \cdot 2^7 = (1+2) \cdot 2^7 \]
- 💡 Adım 4: Parantez içindeki toplama işlemini yapalım. \[ (1+2) = 3 \]
- 💡 Adım 5: Sonucu yazalım. \[ 3 \cdot 2^7 \]
- ✅ Sonuç: \( 3 \cdot 2^7 \).
Örnek 3:
👉 Aşağıdaki işlemin sonucunu en sade şekilde yazınız:
\( 4 \cdot 5^3 - 2 \cdot 25^2 \)
\( 4 \cdot 5^3 - 2 \cdot 25^2 \)
Çözüm:
Bu işlemde tabanlar ve üsler farklı görünmektedir. Ancak, büyük tabanı küçük tabanın kuvveti olarak yazarak tabanları eşitleyebiliriz.
- 💡 Adım 1: \( 25 \) tabanını \( 5 \) tabanında yazalım.
\( 25 = 5^2 \). - 💡 Adım 2: İkinci terimi yeniden düzenleyelim.
Hatırlayalım: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \).
\[ 2 \cdot 25^2 = 2 \cdot (5^2)^2 = 2 \cdot 5^{2 \cdot 2} = 2 \cdot 5^4 \]
- 💡 Adım 3: Şimdi ifademiz şu hale geldi: \( 4 \cdot 5^3 - 2 \cdot 5^4 \).
Yine üsler farklı. Üssü küçük olanı ortak çarpan olarak kullanmak için \( 5^4 \)'ü \( 5^3 \) cinsinden yazalım.
\( 5^4 = 5^3 \cdot 5^1 = 5 \cdot 5^3 \). - 💡 Adım 4: İfadeyi tekrar düzenleyelim. \[ 4 \cdot 5^3 - 2 \cdot (5 \cdot 5^3) = 4 \cdot 5^3 - (2 \cdot 5) \cdot 5^3 = 4 \cdot 5^3 - 10 \cdot 5^3 \]
- 💡 Adım 5: Ortak çarpan parantezine alalım. \[ (4-10) \cdot 5^3 \]
- 💡 Adım 6: Parantez içindeki çıkarma işlemini yapalım. \[ (4-10) = -6 \]
- 💡 Adım 7: Sonucu yazalım. \[ -6 \cdot 5^3 \]
- ✅ Sonuç: \( -6 \cdot 5^3 \).
Örnek 4:
👉 İşleminin sonucunu bulunuz:
\( 3 \cdot 10^{-2} + 50 \cdot 10^{-3} \)
\( 3 \cdot 10^{-2} + 50 \cdot 10^{-3} \)
Çözüm:
Bu işlemde negatif üslü ifadeler bulunmaktadır. Toplama yapabilmek için üsleri eşitlememiz gerekmektedir. Genellikle üssü küçük olana benzetmek daha pratiktir.
- 💡 Adım 1: Üsleri karşılaştıralım: \( -2 \) ve \( -3 \).
\( -3 \) daha küçüktür. Bu yüzden \( 10^{-2} \)'yi \( 10^{-3} \) cinsinden yazalım.
Hatırlayalım: \( a^{m} = a^{m-n} \cdot a^n \). Yani \( 10^{-2} = 10^{-2 - (-3)} \cdot 10^{-3} = 10^{-2+3} \cdot 10^{-3} = 10^1 \cdot 10^{-3} = 10 \cdot 10^{-3} \). - 💡 Adım 2: İlk terimi yeniden düzenleyelim. \[ 3 \cdot 10^{-2} = 3 \cdot (10 \cdot 10^{-3}) = (3 \cdot 10) \cdot 10^{-3} = 30 \cdot 10^{-3} \]
- 💡 Adım 3: Şimdi ifademiz şu hale geldi: \( 30 \cdot 10^{-3} + 50 \cdot 10^{-3} \).
Artık tabanlar ve üsler aynı, ortak çarpan parantezine alabiliriz.
\[ (30+50) \cdot 10^{-3} \]
- 💡 Adım 4: Parantez içindeki toplama işlemini yapalım. \[ (30+50) = 80 \]
- 💡 Adım 5: Sonucu yazalım. \[ 80 \cdot 10^{-3} \]
- ✅ Sonuç: \( 80 \cdot 10^{-3} \). İstenirse \( 80 \cdot \frac{1}{1000} = \frac{80}{1000} = \frac{8}{100} = 0.08 \) olarak da yazılabilir.
Örnek 5:
👉 Aşağıdaki işlemin sonucunu bulunuz:
\( 27^2 + 3^5 - 9^3 \)
\( 27^2 + 3^5 - 9^3 \)
Çözüm:
Bu işlemde farklı tabanlar ve üsler bulunmaktadır. Tüm sayıları en küçük ortak tabanın (bu durumda 3) kuvveti olarak yazarak tabanları eşitlememiz gerekmektedir.
- 💡 Adım 1: Tüm tabanları \( 3 \) tabanında yazalım.
\( 27 = 3^3 \) ve \( 9 = 3^2 \). - 💡 Adım 2: İfadeyi yeniden düzenleyelim.
Hatırlayalım: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \). - \( 27^2 = (3^3)^2 = 3^{3 \cdot 2} = 3^6 \)
- \( 9^3 = (3^2)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6 \)
- 💡 Adım 3: İfadeyi güncelleyelim. \[ 3^6 + 3^5 - 3^6 \]
- 💡 Adım 4: Terimleri benzer üslü ifadelere göre gruplayabiliriz.
\( 3^6 - 3^6 + 3^5 = 0 + 3^5 = 3^5 \).
Ya da ortak çarpan parantezine alarak çözelim. En küçük üs \( 5 \) olduğu için tüm terimleri \( 3^5 \) cinsinden yazalım.
\( 3^6 = 3^1 \cdot 3^5 = 3 \cdot 3^5 \). - 💡 Adım 5: İfadeyi tekrar düzenleyelim. \[ 3 \cdot 3^5 + 1 \cdot 3^5 - 3 \cdot 3^5 \]
- 💡 Adım 6: Ortak çarpan parantezine alalım. \[ (3+1-3) \cdot 3^5 \]
- 💡 Adım 7: Parantez içindeki işlemleri yapalım. \[ (3+1-3) = 1 \]
- 💡 Adım 8: Sonucu yazalım. \[ 1 \cdot 3^5 = 3^5 \]
- ✅ Sonuç: \( 3^5 \).
Örnek 6:
👉 Aşağıdaki işlemin sonucunu bulunuz:
\( \frac{1}{4} \cdot 2^6 + \frac{3}{8} \cdot 2^6 \)
\( \frac{1}{4} \cdot 2^6 + \frac{3}{8} \cdot 2^6 \)
Çözüm:
Bu işlemde üslü ifadelerin tabanları ve üsleri aynıdır. Katsayılar kesirli sayılar olsa da, aynı mantıkla ortak çarpan parantezine alabiliriz.
- 💡 Adım 1: Ortak üslü ifadeyi belirleyelim. Burada ortak ifade \( 2^6 \)'dır.
- 💡 Adım 2: Ortak çarpan parantezine alalım. \[ \left( \frac{1}{4} + \frac{3}{8} \right) \cdot 2^6 \]
- 💡 Adım 3: Parantez içindeki kesirli sayıları toplayalım. Bunun için paydaları eşitlememiz gerekir. Ortak payda \( 8 \)'dir. \[ \frac{1}{4} + \frac{3}{8} = \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{3}{8} = \frac{2}{8} + \frac{3}{8} = \frac{2+3}{8} = \frac{5}{8} \]
- 💡 Adım 4: Sonucu yazalım. \[ \frac{5}{8} \cdot 2^6 \]
- 💡 Adım 5: İstenirse \( 8 \)'i \( 2^3 \) olarak yazıp sadeleştirme yapabiliriz.
\( \frac{5}{2^3} \cdot 2^6 = 5 \cdot \frac{2^6}{2^3} \).
Hatırlayalım: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).
\[ 5 \cdot 2^{6-3} = 5 \cdot 2^3 \]
- ✅ Sonuç: \( 5 \cdot 2^3 \). İstenirse \( 5 \cdot 8 = 40 \) olarak da yazılabilir.
Örnek 7:
🌳 Bir ormanda başlangıçta \( 2^{10} \) adet çam fidanı bulunmaktadır. Her yıl bu fidanların \( 2^8 \) adedi kurumakta, ancak aynı yıl içinde \( 3 \cdot 2^8 \) adet yeni fidan dikilmektedir.
Buna göre, 1 yıl sonunda ormandaki çam fidanı sayısındaki net değişimi ifade eden üslü sayıyı bulunuz.
Buna göre, 1 yıl sonunda ormandaki çam fidanı sayısındaki net değişimi ifade eden üslü sayıyı bulunuz.
Çözüm:
Bu problemde, ormandaki fidan sayısındaki artış ve azalış miktarlarını üslü ifadelerle toplama ve çıkarma yaparak net değişimi bulacağız.
- 💡 Adım 1: Yıl içinde kuruyan fidan sayısı \( 2^8 \)'dir. Bu bir azalmadır.
- 💡 Adım 2: Yıl içinde dikilen fidan sayısı \( 3 \cdot 2^8 \)'dir. Bu bir artıştır.
- 💡 Adım 3: Net değişimi bulmak için dikilen fidan sayısından kuruyan fidan sayısını çıkarırız (veya artışı eksi azalış şeklinde yazarız). \[ \text{Net Değişim} = (\text{Dikilen Fidan Sayısı}) - (\text{Kuruyan Fidan Sayısı}) \] \[ \text{Net Değişim} = 3 \cdot 2^8 - 2^8 \]
- 💡 Adım 4: Bu ifadeyi ortak çarpan parantezine alalım. Unutmayalım ki \( 2^8 \) ifadesi aslında \( 1 \cdot 2^8 \) demektir. \[ 3 \cdot 2^8 - 1 \cdot 2^8 = (3-1) \cdot 2^8 \]
- 💡 Adım 5: Parantez içindeki çıkarma işlemini yapalım. \[ (3-1) = 2 \]
- 💡 Adım 6: Sonucu yazalım. \[ 2 \cdot 2^8 \]
- 💡 Adım 7: Üslü sayılarda çarpma kuralını uygulayalım: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \).
Unutmayalım ki \( 2 \) ifadesi \( 2^1 \) demektir.
\[ 2^1 \cdot 2^8 = 2^{1+8} = 2^9 \]
- ✅ Sonuç: 1 yıl sonunda ormandaki çam fidanı sayısı net olarak \( 2^9 \) adet artmıştır.
Örnek 8:
💰 Bir banka hesabında başlangıçta \( 6 \cdot 10^3 \) TL para bulunmaktadır. Ay sonunda bu hesaba \( 2 \cdot 10^3 \) TL daha yatırılıyor ve aynı ay içinde \( 500 \) TL çekiliyor.
Buna göre, ay sonundaki toplam para miktarını üslü ifade kullanarak bulunuz.
Buna göre, ay sonundaki toplam para miktarını üslü ifade kullanarak bulunuz.
Çözüm:
Bu problemde, hesaptaki paraya eklenen ve çekilen miktarları üslü ifadelerle toplama ve çıkarma yaparak ay sonundaki toplam parayı bulacağız.
- 💡 Adım 1: Başlangıçtaki para miktarı: \( 6 \cdot 10^3 \) TL.
- 💡 Adım 2: Yatırılan para miktarı: \( 2 \cdot 10^3 \) TL. Bu bir artıştır.
- 💡 Adım 3: Çekilen para miktarı: \( 500 \) TL. Bu bir azalmadır.
\( 500 \)'ü \( 10^3 \) cinsinden yazalım: \( 500 = 0.5 \cdot 1000 = 0.5 \cdot 10^3 \). - 💡 Adım 4: Ay sonundaki toplam parayı bulmak için başlangıçtaki paraya eklenenleri toplar, çekilenleri çıkarırız. \[ \text{Toplam Para} = (\text{Başlangıç}) + (\text{Yatırılan}) - (\text{Çekilen}) \] \[ \text{Toplam Para} = 6 \cdot 10^3 + 2 \cdot 10^3 - 0.5 \cdot 10^3 \]
- 💡 Adım 5: Tüm terimlerin ortak üslü ifadesi \( 10^3 \)'tür. Ortak çarpan parantezine alalım. \[ (6 + 2 - 0.5) \cdot 10^3 \]
- 💡 Adım 6: Parantez içindeki işlemleri yapalım. \[ (6 + 2 - 0.5) = 8 - 0.5 = 7.5 \]
- 💡 Adım 7: Sonucu yazalım. \[ 7.5 \cdot 10^3 \]
- ✅ Sonuç: Ay sonunda banka hesabında \( 7.5 \cdot 10^3 \) TL (yani 7500 TL) para bulunmaktadır.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-gercek-sayilarin-uslu-gosterimiyle-yapilan-toplama-ve-cikarma-islemleri/sorular