🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Gerçek Sayıların Tanımlı Olduğu Doğrusal Fonksiyonlar Ve Nitel Özellikleri Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Gerçek Sayıların Tanımlı Olduğu Doğrusal Fonksiyonlar Ve Nitel Özellikleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
📝 Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir doğrusal fonksiyon belirtir?
a) \( f(x) = 5x - 3 \)
b) \( g(x) = x^2 + 1 \)
c) \( h(x) = 10 \)
d) \( k(x) = \frac{2}{x} \)
e) \( m(x) = \frac{x-4}{3} \)
a) \( f(x) = 5x - 3 \)
b) \( g(x) = x^2 + 1 \)
c) \( h(x) = 10 \)
d) \( k(x) = \frac{2}{x} \)
e) \( m(x) = \frac{x-4}{3} \)
Çözüm:
Bir fonksiyonun doğrusal fonksiyon olabilmesi için \( f(x) = ax + b \) şeklinde yazılabilmesi gerekir. Burada \( a \) ve \( b \) gerçek sayılar olmalı ve \( x \)'in kuvveti 1 olmalıdır (yani \( x^2, x^3 \) gibi terimler bulunmamalıdır).
- 👉 a) \( f(x) = 5x - 3 \) ifadesi, \( a=5 \) ve \( b=-3 \) olmak üzere \( ax+b \) formundadır. Bu bir doğrusal fonksiyondur. ✅
- 👉 b) \( g(x) = x^2 + 1 \) ifadesinde \( x^2 \) terimi bulunmaktadır. Bu nedenle doğrusal fonksiyon değildir. ❌
- 👉 c) \( h(x) = 10 \) ifadesi, \( a=0 \) ve \( b=10 \) olmak üzere \( ax+b \) formunda yazılabilir ( \( h(x) = 0x + 10 \) ). Bu bir sabit doğrusal fonksiyondur. ✅
- 👉 d) \( k(x) = \frac{2}{x} \) ifadesi, \( x \) değişkeni paydada olduğu için doğrusal fonksiyon değildir. ❌
- 👉 e) \( m(x) = \frac{x-4}{3} \) ifadesi, \( m(x) = \frac{1}{3}x - \frac{4}{3} \) şeklinde yazılabilir. Burada \( a=\frac{1}{3} \) ve \( b=-\frac{4}{3} \) olmak üzere \( ax+b \) formundadır. Bu bir doğrusal fonksiyondur. ✅
Örnek 2:
💡 \( f(x) = 3x + 7 \) doğrusal fonksiyonu veriliyor. Buna göre, \( f(5) \) ve \( f(-2) \) değerlerini bulunuz.
Çözüm:
Bir doğrusal fonksiyonda belirli bir \( x \) değeri için fonksiyonun değerini bulmak için, \( x \) yerine o değeri yazarız.
- 📌 \( f(5) \) değerini bulalım:
\( f(x) = 3x + 7 \)
\( f(5) = 3 \cdot 5 + 7 \)
\( f(5) = 15 + 7 \)
\( f(5) = 22 \) ✅ - 📌 \( f(-2) \) değerini bulalım:
\( f(x) = 3x + 7 \)
\( f(-2) = 3 \cdot (-2) + 7 \)
\( f(-2) = -6 + 7 \)
\( f(-2) = 1 \) ✅
Örnek 3:
📊 Aşağıda verilen doğrusal fonksiyonların eğimlerini ve y eksenini kestiği noktaları bulunuz.
a) \( f(x) = -2x + 9 \)
b) \( g(x) = \frac{x}{4} - 1 \)
c) \( h(x) = 6 - 3x \)
a) \( f(x) = -2x + 9 \)
b) \( g(x) = \frac{x}{4} - 1 \)
c) \( h(x) = 6 - 3x \)
Çözüm:
Bir doğrusal fonksiyon \( y = ax + b \) şeklinde olduğunda:
Şimdi fonksiyonları inceleyelim:
- Eğim (a): \( x \)'in katsayısıdır.
- Y eksenini kestiği nokta (b): Sabit terimdir. ( \( x=0 \) verildiğinde \( y \) değeri)
Şimdi fonksiyonları inceleyelim:
- 👉 a) \( f(x) = -2x + 9 \)
Eğim \( a = -2 \).
Y eksenini kestiği nokta \( b = 9 \). (Yani \( (0, 9) \) noktasında keser.) ✅ - 👉 b) \( g(x) = \frac{x}{4} - 1 \)
Bu ifadeyi \( g(x) = \frac{1}{4}x - 1 \) şeklinde yazabiliriz.
Eğim \( a = \frac{1}{4} \).
Y eksenini kestiği nokta \( b = -1 \). (Yani \( (0, -1) \) noktasında keser.) ✅ - 👉 c) \( h(x) = 6 - 3x \)
Bu ifadeyi \( h(x) = -3x + 6 \) şeklinde düzenleyebiliriz.
Eğim \( a = -3 \).
Y eksenini kestiği nokta \( b = 6 \). (Yani \( (0, 6) \) noktasında keser.) ✅
Örnek 4:
📈 \( f(x) = 2x - 4 \) doğrusal fonksiyonunun grafiğini çizebilmek için x ve y eksenlerini kestiği noktaları bulunuz.
Çözüm:
Bir doğrusal fonksiyonun grafiğini çizmek için genellikle x ve y eksenlerini kestiği noktaları bulmak kolay bir yöntemdir.
- 📌 Y eksenini kestiği noktayı bulmak için \( x=0 \) yazarız:
\( f(0) = 2 \cdot 0 - 4 \)
\( f(0) = 0 - 4 \)
\( f(0) = -4 \)
Yani, grafik y eksenini \( (0, -4) \) noktasında keser. ✅ - 📌 X eksenini kestiği noktayı bulmak için \( f(x)=0 \) (yani \( y=0 \)) yazarız:
\( 0 = 2x - 4 \)
\( 4 = 2x \)
\( x = \frac{4}{2} \)
\( x = 2 \)
Yani, grafik x eksenini \( (2, 0) \) noktasında keser. ✅
Örnek 5:
🔍 Aşağıdaki doğrusal fonksiyonlardan hangileri artan, hangileri azalan fonksiyondur?
a) \( f(x) = 7x + 12 \)
b) \( g(x) = -x + 5 \)
c) \( h(x) = 2 - \frac{x}{3} \)
d) \( k(x) = -8 \)
a) \( f(x) = 7x + 12 \)
b) \( g(x) = -x + 5 \)
c) \( h(x) = 2 - \frac{x}{3} \)
d) \( k(x) = -8 \)
Çözüm:
Bir doğrusal fonksiyonun artan mı yoksa azalan mı olduğunu anlamak için eğime ( \( a \) ) bakarız:
Fonksiyonları inceleyelim:
- 👉 Eğer eğim \( a > 0 \) ise fonksiyon artandır.
- 👉 Eğer eğim \( a < 0 \) ise fonksiyon azalandır.
- 👉 Eğer eğim \( a = 0 \) ise fonksiyon sabittir (ne artan ne azalan).
Fonksiyonları inceleyelim:
- 📌 a) \( f(x) = 7x + 12 \)
Eğim \( a = 7 \). \( 7 > 0 \) olduğu için \( f(x) \) artan bir fonksiyondur. ✅ - 📌 b) \( g(x) = -x + 5 \)
Eğim \( a = -1 \). \( -1 < 0 \) olduğu için \( g(x) \) azalan bir fonksiyondur. ✅ - 📌 c) \( h(x) = 2 - \frac{x}{3} \)
Bu ifadeyi \( h(x) = -\frac{1}{3}x + 2 \) şeklinde yazabiliriz.
Eğim \( a = -\frac{1}{3} \). \( -\frac{1}{3} < 0 \) olduğu için \( h(x) \) azalan bir fonksiyondur. ✅ - 📌 d) \( k(x) = -8 \)
Bu ifadeyi \( k(x) = 0x - 8 \) şeklinde yazabiliriz.
Eğim \( a = 0 \). Eğim 0 olduğu için \( k(x) \) sabit bir fonksiyondur. ✅
Örnek 6:
🚕 Bir taksinin açılış ücreti 25 TL'dir. Gidilen her kilometre için ise 12 TL ücret alınmaktadır. Gidilen yol miktarını \( x \) kilometre olarak gösteren ve toplam ödenecek ücreti veren doğrusal fonksiyonu yazınız. Bu taksi ile 15 km yolculuk yapan bir müşteri kaç TL öder?
Çözüm:
Bu problemi çözmek için öncelikle verilen bilgileri kullanarak doğrusal fonksiyonu oluşturmalıyız.
- 1️⃣ Fonksiyonu tanımlayalım:
Açılış ücreti sabit bir değerdir ve "b" sabit terimini temsil eder. (Yani, \( b=25 \)).
Her kilometre başına alınan ücret, gidilen yol miktarına bağlı olarak değişir ve "a" eğimini temsil eder. (Yani, \( a=12 \)).
Toplam ücreti \( f(x) \) ile gösterirsek, doğrusal fonksiyonumuz:
\[ f(x) = 12x + 25 \] olur. Burada \( x \) gidilen yol (km), \( f(x) \) ise toplam ödenecek ücrettir (TL). ✅ - 2️⃣ 15 km yolculuk için ödenecek ücreti hesaplayalım:
Toplam ücreti bulmak için \( x \) yerine 15 yazmalıyız.
\[ f(15) = 12 \cdot 15 + 25 \] \[ f(15) = 180 + 25 \] \[ f(15) = 205 \] Yani, 15 km yolculuk yapan bir müşteri 205 TL öder. ✅
Örnek 7:
💧 Bir su deposunda başlangıçta 300 litre su bulunmaktadır. Depodan her saatte 20 litre su kullanılmaktadır. Geçen zamanı \( t \) saat olarak gösteren ve depoda kalan su miktarını veren doğrusal fonksiyonu yazınız. Kaç saat sonra depoda 120 litre su kalır?
Çözüm:
Bu günlük hayat problemini doğrusal bir fonksiyonla modelleyebiliriz.
- 1️⃣ Fonksiyonu oluşturalım:
Başlangıçtaki su miktarı sabit terimdir. ( \( b=300 \) )
Her saatte kullanılan su miktarı, zamanla azalan bir etki yaratır, bu yüzden eğim negatif olacaktır. ( \( a=-20 \) )
Depoda kalan su miktarını \( S(t) \) ile gösterirsek, doğrusal fonksiyonumuz:
\[ S(t) = -20t + 300 \] olur. Burada \( t \) geçen zaman (saat), \( S(t) \) ise depoda kalan su miktarıdır (litre). ✅ - 2️⃣ Depoda 120 litre su kaldığında geçen zamanı bulalım:
\( S(t) \) yerine 120 yazarak \( t \) değerini bulmalıyız.
\[ 120 = -20t + 300 \] Şimdi denklemi \( t \) için çözelim:
\[ 120 - 300 = -20t \] \[ -180 = -20t \] Her iki tarafı -20'ye bölelim:
\[ t = \frac{-180}{-20} \] \[ t = 9 \] Yani, 9 saat sonra depoda 120 litre su kalır. ✅
Örnek 8:
📍 \( A(1, 5) \) ve \( B(4, 14) \) noktalarından geçen doğrusal fonksiyonun denklemini bulunuz.
Çözüm:
İki noktası bilinen bir doğrusal fonksiyonun denklemini bulmak için öncelikle eğimi ( \( a \) ) buluruz, ardından denklemi oluştururuz.
- 1️⃣ Eğimi ( \( a \) ) hesaplayalım:
İki nokta \( (x_1, y_1) \) ve \( (x_2, y_2) \) verildiğinde eğim şu formülle bulunur:
\[ a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \] Verilen noktalar \( A(1, 5) \) ve \( B(4, 14) \). Yani \( x_1=1, y_1=5 \) ve \( x_2=4, y_2=14 \).
\[ a = \frac{14 - 5}{4 - 1} \] \[ a = \frac{9}{3} \] \[ a = 3 \] Fonksiyonun eğimi \( 3 \)tür. ✅ - 2️⃣ Doğrusal fonksiyonun denklemini yazalım:
Şimdi fonksiyonun denklemi \( y = ax + b \) formunda, yani \( y = 3x + b \) şeklindedir.
\( b \) sabit terimini bulmak için, verilen noktalardan birini (örneğin \( A(1, 5) \)) denklemde yerine koyarız:
\[ 5 = 3 \cdot 1 + b \] \[ 5 = 3 + b \] \[ 5 - 3 = b \] \[ b = 2 \] Sabit terimi de \( 2 \) olarak bulduk. ✅ - 3️⃣ Fonksiyon denklemini oluşturalım:
Eğim \( a=3 \) ve sabit terim \( b=2 \) olduğuna göre, doğrusal fonksiyonun denklemi:
\[ f(x) = 3x + 2 \] veya \( y = 3x + 2 \) olur. ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-gercek-sayilarin-tanimli-oldugu-dogrusal-fonksiyonlar-ve-nitel-ozellikleri/sorular