🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Gerçek Sayıların Köklü Gösterimi Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Gerçek Sayıların Köklü Gösterimi Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
💡 Köklü İfadelerin Tanım Kümesi
\( \sqrt{x-3} + \sqrt[4]{7-x} \)
ifadesinin bir gerçek (reel) sayı belirtmesi için \( x \) tam sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
Çözüm:
📌 Çözüm Adımları:
- Bir köklü ifadenin derecesi çift ise, ifadenin gerçek sayı belirtmesi için kökün içinin sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir.
- Verilen ifadede her iki kökün de derecesi çift (2 ve 4) olduğundan, kök içlerindeki ifadeleri büyük veya eşit sıfır yapmalıyız:
- \( x - 3 \ge 0 \Rightarrow x \ge 3 \)
- \( 7 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 7 \)
- Bu iki eşitsizliği birleştirdiğimizde \( x \) değer aralığı: \( 3 \le x \le 7 \) olur.
- Bu aralıktaki \( x \) tam sayı değerleri: \( 3, 4, 5, 6, 7 \) şeklindedir.
- Değerlerin toplamı: \( 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25 \) olarak bulunur.
Örnek 2:
💡 Köklü İfadeleri Kök Dışına Çıkarma
\( \sqrt{108} - \sqrt{48} + \sqrt{75} \)
işleminin en sade sonucunu bulunuz.
Çözüm:
📌 Çözüm Adımları:
- Kök içindeki sayıları, bir çarpanı tam kare olacak şekilde çarpanlarına ayıralım:
- \( \sqrt{108} = \sqrt{36 \times 3} = 6\sqrt{3} \)
- \( \sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3} \)
- \( \sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3} \)
- Bulduğumuz değerleri işlemde yerine yazalım:
- \( 6\sqrt{3} - 4\sqrt{3} + 5\sqrt{3} \)
- Kök içleri aynı olduğu için katsayılar arasında toplama ve çıkarma işlemlerini yapalım:
- \( (6 - 4 + 5)\sqrt{3} = 7\sqrt{3} \)
Örnek 3:
💡 Tek ve Çift Dereceli Köklerin Özellikleri
\( \sqrt[3]{-27} + \sqrt{(-5)^2} - \sqrt[5]{32} \)
işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
📌 Çözüm Adımları:
- Kök derecelerine dikkat ederek terimleri tek tek kök dışına çıkaralım:
- 1. Terim: Kök derecesi tek (3) olduğu için tabandaki negatif sayı aynen dışarı çıkar:
\( \sqrt[3]{-27} = \sqrt[3]{(-3)^3} = -3 \) - 2. Terim: Kök derecesi çift (2) olduğu için ifade mutlak değer içinde dışarı çıkar:
\( \sqrt{(-5)^2} = |-5| = 5 \) - 3. Terim: Kök derecesi tek (5) olduğu için:
\( \sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^5} = 2 \) - Bulduğumuz değerleri işlemde yerine yazalım:
- \( -3 + 5 - 2 = 0 \)
Örnek 4:
💡 Ondalık Gösterimlerin Karekökleri
\( \frac{\sqrt{0,16} + \sqrt{0,09}}{\sqrt{0,25}} \)
işleminin sonucunu rasyonel sayı olarak bulunuz.
Çözüm:
📌 Çözüm Adımları:
- Ondalık kesirleri rasyonel sayıya çevirerek kök dışına çıkaralım:
- \( \sqrt{0,16} = \sqrt{\frac{16}{100}} = \frac{4}{10} = 0,4 \)
- \( \sqrt{0,09} = \sqrt{\frac{9}{100}} = \frac{3}{10} = 0,3 \)
- \( \sqrt{0,25} = \sqrt{\frac{25}{100}} = \frac{5}{10} = 0,5 \)
- Değerleri yerlerine yazıp işlemi uygulayalım:
- \( \frac{0,4 + 0,3}{0,5} = \frac{0,7}{0,5} \)
- Pay ve paydayı 10 ile genişleterek virgülden kurtaralım:
- \( \frac{7}{5} \)
Örnek 5:
💡 Paydayı Rasyonel Yapma (Eşlenik)
\( \frac{6}{\sqrt{3}} - \frac{2}{\sqrt{3}-1} \)
işleminin sonucunu bulunuz.
Çözüm:
📌 Çözüm Adımları:
- Köklü ifadelerde paydada kök bırakmamak için kesirleri paydalarının eşlenikleriyle genişletiriz:
- 1. Terim: Paydayı \( \sqrt{3} \) ile genişletelim:
\( \frac{6 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \) - 2. Terim: Paydayı \( \sqrt{3}+1 \) ile genişletelim:
\( \frac{2 \times (\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1) \times (\sqrt{3}+1)} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{2} = \sqrt{3}+1 \) - Şimdi bu iki sonucu birbirinden çıkaralım:
- \( 2\sqrt{3} - (\sqrt{3}+1) = 2\sqrt{3} - \sqrt{3} - 1 = \sqrt{3} - 1 \)
Örnek 6:
💡 İç İçe Köklü İfadeler ve Üslü Gösterim
\( \sqrt{3 \cdot \sqrt[3]{3}} = 3^x \)
olduğuna göre \( x \) değerini bulunuz.
Çözüm:
📌 Çözüm Adımları:
- En dıştaki kökün içindeki \( 3 \) sayısını, içteki küpköklü ifadenin içine derecesini üs alarak gönderelim:
- \( 3 \cdot \sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^4} \)
- Şimdi bu ifadeyi en dıştaki karekökün içine yazalım:
- \( \sqrt{\sqrt[3]{3^4}} \)
- İç içe köklerde kök dereceleri çarpılır:
- \( \sqrt[2 \times 3]{3^4} = \sqrt[6]{3^4} \)
- Köklü ifadeyi üslü sayı biçiminde yazalım:
- \( 3^{\frac{4}{6}} = 3^{\frac{2}{3}} \)
- Eşitlikten: \( 3^{\frac{2}{3}} = 3^x \Rightarrow x = \frac{2}{3} \) bulunur.
Örnek 7:
🏡 Bahçe Çevreleme Problemi
Bir çiftçi, alanı \( 180 \) metrekare olan kare şeklindeki bahçesinin etrafını 3 sıra tel ile çevirmek istiyor. Çiftçinin kaç metre tele ihtiyacı olduğunu köklü ifade cinsinden bulunuz.
Çözüm:
📌 Çözüm Adımları:
- Kare şeklindeki bahçenin alanı \( 180 \) metrekare ise, bir kenar uzunluğu bu alanın kareköküne eşittir:
- Bahçenin bir kenarı: \( a = \sqrt{180} \) metre.
- \( \sqrt{180} \) ifadesini kök dışına çıkaralım:
\( a = \sqrt{36 \times 5} = 6\sqrt{5} \) metre. - Kare bahçenin çevresi 4 kenardan oluşur:
- Çevre = \( 4 \times a = 4 \times 6\sqrt{5} = 24\sqrt{5} \) metre.
- Bahçenin etrafına 3 sıra tel çekileceği için toplam tel uzunluğu çevre uzunluğunun 3 katı olmalıdır:
- Toplam Tel = \( 3 \times 24\sqrt{5} = 72\sqrt{5} \) metre.
Örnek 8:
🖼️ Pano ve Fotoğraf Yerleştirme Sorusu
Dikdörtgen şeklindeki bir okul panosunun kenar uzunlukları \( \sqrt{128} \) cm ve \( \sqrt{50} \) cm'dir. Bu panonun içine, bir kenar uzunluğu \( \sqrt{2} \) cm olan kare şeklindeki öğrenci fotoğrafları, aralarında boşluk kalmayacak ve üst üste gelmeyecek şekilde yan yana dizilecektir.
Buna göre, bu panoya en fazla kaç adet fotoğraf yerleştirilebilir?
Çözüm:
📌 Çözüm Adımları:
- Öncelikle panonun kenar uzunluklarını en sade köklü biçimde yazalım:
- Uzun kenar: \( \sqrt{128} = \sqrt{64 \times 2} = 8\sqrt{2} \) cm.
- Kısa kenar: \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2} \) cm.
- Fotoğraflar kare şeklinde ve bir kenarı \( \sqrt{2} \) cm olduğuna göre:
- Uzun kenar boyunca yerleştirilebilecek fotoğraf sayısı:
\( \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 8 \) adet. - Kısa kenar boyunca yerleştirilebilecek fotoğraf sayısı:
\( \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 5 \) adet. - Panoya yerleştirilebilecek toplam maksimum fotoğraf sayısı, bu iki değerin çarpımı ile bulunur:
- Toplam Fotoğraf = \( 8 \times 5 = 40 \) adet.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-gercek-sayilarin-koklu-gosterimi/sorular