💡 9. Sınıf Matematik: Gerçek Sayıların Köklü Gösterimi Çözümlü Örnekler

• Öncelikle 72 sayısının çarpanlarını düşünelim: \( 72 = 36 \times 2 \).
• Burada 36 bir tam karedir (\( 6^2 \)).
• Şimdi ifadeyi yeniden yazalım: \( \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} \).
• Köklü ifadelerin özelliklerinden biri olan \( \sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \) kuralını uygulayalım: \( \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} \).
• \( \sqrt{36} \) ifadesi 6'ya eşittir.
• Sonuç olarak, \( 6 \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2} \) elde ederiz. ✅

• Verilen ifade \( 3\sqrt{5} \) şeklindedir.
• Kök dışındaki 3 sayısını kök içine almak için karesini alırız: \( 3^2 = 9 \).
• Şimdi bu değeri kök içindeki 5 ile çarparız: \( \sqrt{9 \times 5} \).
• Çarpma işlemini yaparsak \( \sqrt{45} \) sonucunu elde ederiz. ✅

• Birinci Terim: \( 5\sqrt{3} \) zaten en sade haldedir.
• İkinci Terim: \( 2\sqrt{12} \). Kök içindeki 12'yi tam kare çarpanlarına ayıralım: \( 12 = 4 \times 3 \).
  • \( 2\sqrt{4 \times 3} = 2 \times \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2 \times 2 \times \sqrt{3} = 4\sqrt{3} \).
• Üçüncü Terim: \( \sqrt{27} \). Kök içindeki 27'yi tam kare çarpanlarına ayıralım: \( 27 = 9 \times 3 \).
  • \( \sqrt{9 \times 3} = \sqrt{9} \times \sqrt{3} = 3\sqrt{3} \).
• Şimdi ifadeyi yeniden yazalım: \( 5\sqrt{3} + 4\sqrt{3} - 3\sqrt{3} \).
• Kök içleri aynı (\( \sqrt{3} \)) olduğu için katsayıları toplayıp çıkarabiliriz: \( (5 + 4 - 3)\sqrt{3} \).
• \( (9 - 3)\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \). ✅

• Verilen ifade \( \sqrt{18} \cdot \sqrt{8} \).
• Kök dereceleri aynı (kareköktür). Bu yüzden sayıları tek bir kök içinde çarpabiliriz: \( \sqrt{18 \times 8} \).
• \( 18 \times 8 = 144 \).
• İfade \( \sqrt{144} \) haline gelir.
• 144, 12'nin karesidir (\( 12^2 = 144 \)).
• Bu durumda \( \sqrt{144} = 12 \) olur. ✅

Alternatif Çözüm: Önce kök dışına çıkarma yaparak da çözebiliriz.

• \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2} \).
• \( \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2} \).
• Şimdi çarpma işlemini yapalım: \( 3\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} \).
• Katsayıları kendi arasında, kök içlerini kendi arasında çarparız: \( (3 \times 2) \times (\sqrt{2} \times \sqrt{2}) \).
• \( 6 \times \sqrt{4} = 6 \times 2 = 12 \). ✅

• Verilen ifade \( \frac{10}{\sqrt{5}} \).
• Paydadaki \( \sqrt{5} \) ifadesini rasyonel yapmak için kesri \( \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \) ile çarparız.
• \( \frac{10}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{10 \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} \).
• Pay: \( 10\sqrt{5} \).
• Payda: \( \sqrt{5} \times \sqrt{5} = \sqrt{25} = 5 \).
• İfade \( \frac{10\sqrt{5}}{5} \) haline gelir.
• Şimdi paydaki 10 ile paydadaki 5'i sadeleştirebiliriz: \( \frac{10}{5} = 2 \).
• Sonuç \( 2\sqrt{5} \) olur. ✅

• Verilen ifade \( \sqrt{5^6} \). Karekökün derecesi 2'dir (yazılmasa da 2 kabul edilir).
• Köklü ifadeyi üslü sayıya çevirme kuralı: \( \sqrt[n]{a^m} = a^{m/n} \).
• Burada \( a=5 \), \( m=6 \), \( n=2 \).
• Bu durumda \( \sqrt{5^6} = 5^{6/2} \) olur.
• Üslü ifadeyi sadeleştirelim: \( 5^{6/2} = 5^3 \).
• Şimdi \( 5^3 \) değerini hesaplayalım: \( 5 \times 5 \times 5 = 25 \times 5 = 125 \). ✅

• Eşkenar Üçgenin Çevresi:
  • Eşkenar üçgenin tüm kenarları eşit uzunluktadır. Kenar uzunluğu \( \sqrt{12} \) cm.
  • Çevre = \( 3 \times \text{kenar uzunluğu} \).
  • Çevre = \( 3 \times \sqrt{12} \).
  • \( \sqrt{12} \) ifadesini sadeleştirelim: \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3} \).
  • Eşkenar üçgenin çevresi = \( 3 \times 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \) cm. 📐
• Karenin Çevresi:
  • Karenin tüm kenarları eşit uzunluktadır. Kenar uzunluğu \( \sqrt{27} \) cm.
  • Çevre = \( 4 \times \text{kenar uzunluğu} \).
  • Çevre = \( 4 \times \sqrt{27} \).
  • \( \sqrt{27} \) ifadesini sadeleştirelim: \( \sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3} \).
  • Karenin çevresi = \( 4 \times 3\sqrt{3} = 12\sqrt{3} \) cm. ⏹️
• Farkı Bulma:
  • Karenin çevresi (\( 12\sqrt{3} \)) ile eşkenar üçgenin çevresi (\( 6\sqrt{3} \)) arasındaki farkı bulalım.
  • Fark = Karenin Çevresi - Eşkenar Üçgenin Çevresi
  • Fark = \( 12\sqrt{3} - 6\sqrt{3} = (12 - 6)\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \) cm. ✅

Sonuç olarak, eşkenar üçgenin çevresi, karenin çevresinden \( 6\sqrt{3} \) cm daha kısadır.

• Kenar Uzunluğunu Köklü İfade Olarak Bulma:
  • Arsanın alanı = \( \text{kenar} \times \text{kenar} = (\text{kenar})^2 \).
  • Alan \( = 200 \) metrekare olduğuna göre, \( (\text{kenar})^2 = 200 \).
  • Kenar uzunluğunu bulmak için her iki tarafın karekökünü alırız: \( \text{kenar} = \sqrt{200} \).
  • \( \sqrt{200} \) ifadesini sadeleştirelim: \( \sqrt{200} = \sqrt{100 \times 2} = \sqrt{100} \times \sqrt{2} = 10\sqrt{2} \).
  • Arsanın bir kenar uzunluğu \( 10\sqrt{2} \) metredir.
• Yaklaşık Değerini Tahmin Etme ve Yuvarlama:
  • \( \sqrt{2} \) sayısının yaklaşık değeri \( 1.414 \) civarındadır. (9. sınıf öğrencileri bu yaklaşık değeri bilmeyebilir, bu yüzden tam kareler arasında kıyaslama yapalım.)
  • \( \sqrt{200} \) sayısının hangi tam kareler arasında olduğunu bulalım:
    • \( 14^2 = 196 \)
    • \( 15^2 = 225 \)
  • Gördüğümüz gibi, \( \sqrt{200} \) sayısı \( \sqrt{196} \) ile \( \sqrt{225} \) arasındadır, yani 14 ile 15 arasındadır.
  • 200 sayısı, 196'ya (14'e) çok daha yakındır (fark 4) ve 225'e (15'e) daha uzaktır (fark 25).
  • Bu durumda \( \sqrt{200} \) sayısının yaklaşık değeri 14'e daha yakındır.
  • Arsanın bir kenar uzunluğu yaklaşık olarak 14 metredir. ✅