🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Gerçek Sayılarda Tanımlı Mutlak Değer Fonksiyonları Ve Nitel Özellikleri Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Gerçek Sayılarda Tanımlı Mutlak Değer Fonksiyonları Ve Nitel Özellikleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
👉 Aşağıdaki mutlak değer ifadelerinin sonuçlarını bulunuz.
a) \( |-7| \)
b) \( |5| \)
c) \( |0| \)
d) \( |-3| + |10| \)
a) \( |-7| \)
b) \( |5| \)
c) \( |0| \)
d) \( |-3| + |10| \)
Çözüm:
💡 Mutlak değer, bir sayının sayı doğrusu üzerindeki başlangıç noktasına (sıfıra) olan uzaklığını ifade eder ve bu uzaklık daima pozitif veya sıfır olur.
- a) \( |-7| \): -7 sayısının sıfıra olan uzaklığı 7 birimdir.
✅ Sonuç: \( |-7| = 7 \) - b) \( |5| \): 5 sayısının sıfıra olan uzaklığı 5 birimdir.
✅ Sonuç: \( |5| = 5 \) - c) \( |0| \): 0 sayısının sıfıra olan uzaklığı 0 birimdir.
✅ Sonuç: \( |0| = 0 \) - d) \( |-3| + |10| \): Önce her bir mutlak değeri ayrı ayrı hesaplayalım.
\( |-3| = 3 \) ve \( |10| = 10 \).
Şimdi bu değerleri toplayalım: \( 3 + 10 = 13 \).
✅ Sonuç: \( |-3| + |10| = 13 \)
Örnek 2:
📌 Eğer \( x = -2 \) ve \( y = 5 \) ise, \( |x - y| + |y - x| \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözüm:
👉 Verilen değerleri ifadede yerine koyarak çözüme başlayalım.
- Öncelikle \( x - y \) ve \( y - x \) değerlerini bulalım:
\( x - y = -2 - 5 = -7 \)
\( y - x = 5 - (-2) = 5 + 2 = 7 \) - Şimdi bu değerleri mutlak değer içine yazalım:
\( |x - y| = |-7| \)
\( |y - x| = |7| \) - Mutlak değerleri hesaplayalım:
\( |-7| = 7 \)
\( |7| = 7 \) - Son olarak, bulduğumuz mutlak değerleri toplayalım:
\( |x - y| + |y - x| = 7 + 7 = 14 \)
✅ İfadenin değeri 14'tür.
Örnek 3:
💡 \( |2x - 6| = 10 \) denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözüm:
Mutlak değerli bir ifade bir pozitif sayıya eşitse, mutlak değerin içindeki ifade o sayıya veya o sayının ters işaretlisine eşit olabilir.
- Bu durumda, \( 2x - 6 \) ifadesi ya 10'a ya da -10'a eşit olmalıdır.
- 1. Durum: \( 2x - 6 = 10 \)
Denklemi çözelim:
\( 2x = 10 + 6 \)
\( 2x = 16 \)
\( x = \frac{16}{2} \)
\( x_1 = 8 \) - 2. Durum: \( 2x - 6 = -10 \)
Denklemi çözelim:
\( 2x = -10 + 6 \)
\( 2x = -4 \)
\( x = \frac{-4}{2} \)
\( x_2 = -2 \) - Denklemi sağlayan x değerleri 8 ve -2'dir. Bu değerlerin toplamı:
\( 8 + (-2) = 8 - 2 = 6 \)
✅ x değerlerinin toplamı 6'dır.
Örnek 4:
📌 \( |3x - 1| = |x + 7| \) denklemini sağlayan x değerlerinin çarpımı kaçtır?
Çözüm:
İki mutlak değerli ifade birbirine eşitse, içlerindeki ifadeler ya birbirine eşittir ya da biri diğerinin ters işaretlisine eşittir.
- 1. Durum: Mutlak değer içindeki ifadeler birbirine eşittir.
\( 3x - 1 = x + 7 \)
x'leri bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım:
\( 3x - x = 7 + 1 \)
\( 2x = 8 \)
\( x_1 = \frac{8}{2} \)
\( x_1 = 4 \) - 2. Durum: Mutlak değer içindeki ifadelerden biri diğerinin ters işaretlisine eşittir.
\( 3x - 1 = -(x + 7) \)
Parantezi açalım:
\( 3x - 1 = -x - 7 \)
x'leri bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım:
\( 3x + x = -7 + 1 \)
\( 4x = -6 \)
\( x_2 = \frac{-6}{4} \)
\( x_2 = -\frac{3}{2} \) - Denklemi sağlayan x değerleri 4 ve \( -\frac{3}{2} \)'dir. Bu değerlerin çarpımı:
\( 4 \times (-\frac{3}{2}) = - \frac{12}{2} = -6 \)
✅ x değerlerinin çarpımı -6'dır.
Örnek 5:
💡 \( |x - 4| < 5 \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
Mutlak değerli bir ifade bir pozitif sayıdan küçükse, mutlak değerin içindeki ifade, o sayının negatif ile pozitif değerleri arasında yer alır.
- Yani, \( |x - 4| < 5 \) eşitsizliği, \( -5 < x - 4 < 5 \) şeklinde yazılabilir.
- Şimdi bu üçlü eşitsizliği çözelim. Eşitsizliğin her tarafına 4 ekleyelim:
\( -5 + 4 < x - 4 + 4 < 5 + 4 \)
\( -1 < x < 9 \) - Bu eşitsizliği sağlayan x değerleri -1 ile 9 arasındaki gerçek sayılardır.
✅ Çözüm kümesi: \( (-1, 9) \) aralığıdır.
Örnek 6:
📌 \( |2x + 1| \ge 7 \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
Mutlak değerli bir ifade bir pozitif sayıdan büyük veya eşitse, mutlak değerin içindeki ifade o sayıdan büyük veya eşit ya da o sayının negatifinden küçük veya eşit olmalıdır.
- Bu durumda, \( |2x + 1| \ge 7 \) eşitsizliği iki ayrı duruma ayrılır:
1. Durum: \( 2x + 1 \ge 7 \)
2. Durum: \( 2x + 1 \le -7 \) - Şimdi her iki durumu ayrı ayrı çözelim:
1. Durumun Çözümü:
\( 2x + 1 \ge 7 \)
\( 2x \ge 7 - 1 \)
\( 2x \ge 6 \)
\( x \ge \frac{6}{2} \)
\( x \ge 3 \) - 2. Durumun Çözümü:
\( 2x + 1 \le -7 \)
\( 2x \le -7 - 1 \)
\( 2x \le -8 \)
\( x \le \frac{-8}{2} \)
\( x \le -4 \) - Eşitsizliğin çözüm kümesi, bu iki durumun birleşiminden oluşur.
✅ Çözüm kümesi: \( (-\infty, -4] \cup [3, \infty) \) aralığıdır.
Örnek 7:
Bir sayı doğrusu üzerinde A noktasının koordinatı -5'tir. B noktasının koordinatı ise bilinmemektedir. B noktasının A noktasına olan uzaklığı 8 birimdir.
Buna göre, B noktasının koordinatları kaç olabilir? Mutlak değer kullanarak ifade ediniz ve çözünüz.
Buna göre, B noktasının koordinatları kaç olabilir? Mutlak değer kullanarak ifade ediniz ve çözünüz.
Çözüm:
🧠 Sayı doğrusu üzerinde iki nokta arasındaki uzaklık, koordinatlarının farkının mutlak değeri ile bulunur.
- A noktasının koordinatı: \( A = -5 \)
- B noktasının koordinatı: \( B = x \) (bilinmiyor)
- A ile B noktaları arasındaki uzaklık: \( |x - (-5)| \) veya \( |-5 - x| \)
- Soruda bu uzaklığın 8 birim olduğu belirtilmiştir.
O halde, \( |x - (-5)| = 8 \) denklemini kurabiliriz. - Denklemi düzenleyelim:
\( |x + 5| = 8 \) - Şimdi bu mutlak değerli denklemi çözelim:
1. Durum: \( x + 5 = 8 \)
\( x = 8 - 5 \)
\( x_1 = 3 \) - 2. Durum: \( x + 5 = -8 \)
\( x = -8 - 5 \)
\( x_2 = -13 \) - ✅ B noktasının koordinatları 3 veya -13 olabilir.
Örnek 8:
Bir buzdolabının iç sıcaklığı ideal olarak 4°C olmalıdır. Ancak buzdolabı, ideal sıcaklıktan en fazla 2°C sapma (fark) gösterebilir. Yani sıcaklık, ideal sıcaklığın 2°C üstünde veya 2°C altında olabilir.
Buna göre, bu buzdolabının iç sıcaklığı hangi aralıkta olmalıdır? Bu durumu mutlak değer kullanarak ifade ediniz ve çözüm kümesini bulunuz.
Buna göre, bu buzdolabının iç sıcaklığı hangi aralıkta olmalıdır? Bu durumu mutlak değer kullanarak ifade ediniz ve çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
🌡️ Bu günlük hayat problemini mutlak değer kavramıyla modelleyebiliriz.
- İdeal sıcaklık: \( I = 4^\circ C \)
- Maksimum sapma miktarı: \( S = 2^\circ C \)
- Buzdolabının anlık sıcaklığını \( x \) ile gösterelim.
- Anlık sıcaklığın ideal sıcaklıktan farkı \( x - 4 \) olur.
- Bu farkın mutlak değeri, yani \( |x - 4| \), sapma miktarını gösterir.
- Soruda bu sapmanın en fazla 2°C olabileceği belirtilmiştir. Bu da \( |x - 4| \le 2 \) eşitsizliği ile ifade edilir.
- Şimdi bu mutlak değerli eşitsizliği çözelim:
\( -2 \le x - 4 \le 2 \) - Eşitsizliğin her tarafına 4 ekleyelim:
\( -2 + 4 \le x - 4 + 4 \le 2 + 4 \)
\( 2 \le x \le 6 \) - ✅ Buzdolabının iç sıcaklığı 2°C ile 6°C arasında olmalıdır. Çözüm kümesi: \( [2, 6] \).
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-gercek-sayilarda-tanimli-mutlak-deger-fonksiyonlari-ve-nitel-ozellikleri/sorular