\(|x-2| \le 4\) eşitsizliğini sağlayan tam sayıların toplamını bulunuz.
\(x < y < 0\) olmak üzere, \(|x-y| - |y| + |x|\) ifadesinin en sade halini bulunuz.
📌 1. Doğru / Yanlış
1. Bir gerçek sayının mutlak değeri her zaman negatif olmayan bir sayıdır.
2. Herhangi bir \(x\) gerçek sayısı için \(|x| = x\) eşitliği her zaman doğrudur.
3. Sayı doğrusu üzerinde bir sayının başlangıç noktasına olan uzaklığına o sayının mutlak değeri denir.
4. Herhangi \(x\) ve \(y\) gerçek sayıları için \(|x-y| = |y-x|\) eşitliği geçerlidir.
5. Herhangi \(x\) ve \(y\) gerçek sayıları için \(|x+y| = |x| + |y|\) eşitliği her zaman doğrudur.
✏️ 2. Boşluk Doldurma
1. Bir gerçek sayının mutlak değeri, o sayının sayı doğrusu üzerindeki başlangıç noktasına olan ifade eder.
2. Herhangi bir gerçek sayının mutlak değeri asla olamaz.
3. \(|x|=a\) denkleminin çözüm kümesi, \(a \ge 0\) ise \(x=a\) veya \(x=\\) şeklindedir.
4. \(|x|<a\) eşitsizliğinin çözüm kümesi, \(a>0\) ise aralığıdır.
5. Mutlak değer içindeki bir ifade pozitif ise dışarıya çıkar.
🔗 3. Kavram Eşleştirme
« Bir sayının sıfıra olan uzaklığı
« \(x=a\) veya \(x=-a\)
« O sayının pozitif hali
« Mutlak değerlerin çarpımı
« \(-a<x<a\)
✍️ 4. Kısa Cevaplı Sorular
1. \(|-5| + |3-7|\) işleminin sonucunu bulunuz.
💡 Örnek Çözüm: \(|-5| = 5\) ve \(|3-7| = |-4| = 4\) olduğundan, \(5+4=9\) bulunur.
2. \(x < 0\) olmak üzere, \(|x| + |-x|\) ifadesinin eşitini bulunuz.
💡 Örnek Çözüm: \(x < 0\) olduğu için \(|x| = -x\) olur. \(-x > 0\) olduğu için \(|-x| = -x\) olur. Bu durumda \(|x| + |-x| = -x + (-x) = -2x\) bulunur.
🎯 5. Çoktan Seçmeli Sorular
1. \(|2x-6|=10\) denklemini sağlayan \(x\) değerlerinin toplamı kaçtır?
Verilen denklem \(|3x-9| + |6-2x| = 25\).
Öncelikle mutlak değer içindeki ifadeleri çarpanlarına ayırarak sadeleştirelim:
\(|3x-9| = |3(x-3)| = 3|x-3|\)
\(|6-2x| = |2(3-x)| = 2|3-x|\)
Mutlak değerin özelliklerinden \(|3-x| = |x-3|\) olduğunu biliyoruz.
Denklemde yerine yazarsak:
\(3|x-3| + 2|x-3| = 25\)
\(5|x-3| = 25\)
Her iki tarafı 5'e bölersek:
\(|x-3| = 5\)
Bu durumda iki farklı senaryo oluşur:
1. \(x-3 = 5 \implies x = 8\)
2. \(x-3 = -5 \implies x = -2\)
Denklemin çözüm kümesi \(\{-2, 8\}\) olur.
2. \(|x-2| \le 4\) eşitsizliğini sağlayan tam sayıların toplamını bulunuz.
💡 Çözüm Adımları:
Verilen eşitsizlik \(|x-2| \le 4\).
Mutlak değer eşitsizliği kuralına göre, \(|u| \le a\) ise \(-a \le u \le a\) şeklindedir.
Burada \(u = x-2\) ve \(a = 4\) olduğundan:
\(-4 \le x-2 \le 4\)
Eşitsizliğin her tarafına 2 ekleyelim:
\(-4+2 \le x-2+2 \le 4+2\)
\(-2 \le x \le 6\)
Bu eşitsizliği sağlayan tam sayılar \(-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\) şeklindedir.
Bu tam sayıların toplamı:
\((-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6\)
\((-2) + (-1) + 0 + 1 + 2\) kısmı 0'a eşit olur.
Kalan sayılar: \(3 + 4 + 5 + 6 = 18\).
Tam sayıların toplamı 18'dir.
3. \(x < y < 0\) olmak üzere, \(|x-y| - |y| + |x|\) ifadesinin en sade halini bulunuz.
💡 Çözüm Adımları:
Verilen ifade \(|x-y| - |y| + |x|\).
Öncelikle \(x < y < 0\) koşulunu değerlendirelim:
1. \(x-y\): \(x < y\) olduğundan \(x-y\) ifadesi negatiftir. Dolayısıyla \(|x-y| = -(x-y) = y-x\).
2. \(y\): \(y < 0\) olduğundan \(y\) ifadesi negatiftir. Dolayısıyla \(|y| = -y\).
3. \(x\): \(x < 0\) olduğundan \(x\) ifadesi negatiftir. Dolayısıyla \(|x| = -x\).
Bu ifadeleri orijinal denklemde yerine yazalım:
\((y-x) - (-y) + (-x)\)
\(y-x + y - x\)
Benzer terimleri birleştirelim:
\(y+y - x-x\)
\(2y - 2x\)
İfadenin en sade hali \(2y-2x\) veya \(2(y-x)\) olur.
İçerik Hazırlanıyor...
Lütfen sayfayı kapatmayın, bu işlem 30-40 saniye sürebilir.