🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Gerçek Sayılarda Tanımlı Doğrusal Fonksiyonlar ve Nitel Özellikleri Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Gerçek Sayılarda Tanımlı Doğrusal Fonksiyonlar ve Nitel Özellikleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
📌 Soru:
\( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = 4x - 7 \) doğrusal fonksiyonu veriliyor.
Buna göre, \( f(3) + f(-1) \) toplamının değerini bulunuz.
\( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = 4x - 7 \) doğrusal fonksiyonu veriliyor.
Buna göre, \( f(3) + f(-1) \) toplamının değerini bulunuz.
Çözüm:
💡 Çözüm:
Doğrusal fonksiyonda verilen değerleri bulmak için değişkene karşılık gelen sayıları yerine yazarız.
Doğrusal fonksiyonda verilen değerleri bulmak için değişkene karşılık gelen sayıları yerine yazarız.
- İlk olarak \( f(3) \) değerini bulalım:
\( f(3) = 4 \times 3 - 7 \)
\( f(3) = 12 - 7 = 5 \) - Şimdi \( f(-1) \) değerini bulalım:
\( f(-1) = 4 \times (-1) - 7 \)
\( f(-1) = -4 - 7 = -11 \) - Bizden istenen bu iki değerin toplamıdır:
\( f(3) + f(-1) = 5 + (-11) = -6 \) olarak bulunur.
Örnek 2:
📌 Soru:
\( f(x) \) doğrusal bir fonksiyon olmak üzere,
\( f(1) = 5 \) ve \( f(3) = 11 \) olduğuna göre,
\( f(5) \) değerini bulunuz.
\( f(x) \) doğrusal bir fonksiyon olmak üzere,
\( f(1) = 5 \) ve \( f(3) = 11 \) olduğuna göre,
\( f(5) \) değerini bulunuz.
Çözüm:
💡 Çözüm:
Doğrusal fonksiyonların genel formülü \( f(x) = ax + b \) şeklindedir.
Doğrusal fonksiyonların genel formülü \( f(x) = ax + b \) şeklindedir.
- Verilen değerleri denklemde yerine yazarak bir sistem oluşturalım:
\( f(1) = a \times 1 + b = 5 \Rightarrow a + b = 5 \)
\( f(3) = a \times 3 + b = 11 \Rightarrow 3a + b = 11 \) - Bu iki denklemi ortak çözelim. Birinci denklemi eksi ile çarpıp taraf tarafa toplayalım:
\( -(a + b) = -5 \)
\( 3a + b = 11 \)
\( 2a = 6 \Rightarrow a = 3 \) bulunur. - Bulduğumuz \( a \) değerini ilk denklemde yerine yazarak \( b \) değerini bulalım:
\( 3 + b = 5 \Rightarrow b = 2 \) olur. - O halde doğrusal fonksiyonumuz:
\( f(x) = 3x + 2 \) şeklindedir. - Bizden istenen \( f(5) \) değerini hesaplayalım:
\( f(5) = 3 \times 5 + 2 = 15 + 2 = 17 \) bulunur.
Örnek 3:
📌 Soru:
\( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = -3x + 12 \) fonksiyonunun grafiğinin eksenleri kestiği noktaların koordinatları toplamını bulunuz.
\( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = -3x + 12 \) fonksiyonunun grafiğinin eksenleri kestiği noktaların koordinatları toplamını bulunuz.
Çözüm:
💡 Çözüm:
Bir fonksiyonun grafiğinin eksenleri kestiği noktaları bulmak için sırasıyla \( x = 0 \) ve \( y = 0 \) değerleri verilir.
Bir fonksiyonun grafiğinin eksenleri kestiği noktaları bulmak için sırasıyla \( x = 0 \) ve \( y = 0 \) değerleri verilir.
- y-eksenini kestiği nokta için: \( x = 0 \) yazılır.
\( f(0) = -3 \times 0 + 12 = 12 \)
Grafik y-eksenini \( (0, 12) \) noktasında keser. - x-eksenini kestiği nokta için: \( f(x) = 0 \) eşitlenir.
\( -3x + 12 = 0 \)
\( 3x = 12 \Rightarrow x = 4 \)
Grafik x-eksenini \( (4, 0) \) noktasında keser. - Eksenleri kestiği noktaların koordinatları \( (0, 12) \) ve \( (4, 0) \) şeklindedir.
Bu koordinatların (tüm bileşenlerinin) toplamı:
\( 0 + 12 + 4 + 0 = 16 \) olarak elde edilir.
Örnek 4:
📌 Soru:
\( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = (3m - 12)x + 7 \) doğrusal fonksiyonu azalan bir fonksiyon olduğuna göre, \( m \) reel sayısının alabileceği en geniş değer aralığını bulunuz.
\( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = (3m - 12)x + 7 \) doğrusal fonksiyonu azalan bir fonksiyon olduğuna göre, \( m \) reel sayısının alabileceği en geniş değer aralığını bulunuz.
Çözüm:
💡 Çözüm:
Doğrusal bir fonksiyonun artan veya azalan olması, \( x \)'in katsayısı olan eğime bağlıdır.
Genel tanım olarak \( f(x) = ax + b \) fonksiyonunda:
Doğrusal bir fonksiyonun artan veya azalan olması, \( x \)'in katsayısı olan eğime bağlıdır.
Genel tanım olarak \( f(x) = ax + b \) fonksiyonunda:
- Eğer \( a > 0 \) ise fonksiyon artandır.
- Eğer \( a < 0 \) ise fonksiyon azalandır.
- Soruda fonksiyonun azalan olduğu belirtilmiştir. Dolayısıyla \( x \)'in katsayısı negatif olmalıdır:
\( 3m - 12 < 0 \) - Eşitsizliği çözelim:
\( 3m < 12 \)
\( m < 4 \) - Buna göre, \( m \) sayısının alabileceği en geniş değer aralığı:
\( (-\infty, 4) \) aralığıdır.
Örnek 5:
📌 Soru:
\( f(x) = (a - 3)x^2 + (b + 2)x + a \cdot b \)
ifadesi gerçek sayılarda tanımlı doğrusal bir fonksiyon olduğuna göre, \( f(-2) \) değerini bulunuz.
\( f(x) = (a - 3)x^2 + (b + 2)x + a \cdot b \)
ifadesi gerçek sayılarda tanımlı doğrusal bir fonksiyon olduğuna göre, \( f(-2) \) değerini bulunuz.
Çözüm:
💡 Çözüm:
Doğrusal fonksiyonlar birinci dereceden fonksiyonlardır ve genel biçimi \( f(x) = mx + n \) şeklindedir. Yani fonksiyonun içinde \( x^2 \) veya daha yüksek dereceli terimler bulunamaz.
Doğrusal fonksiyonlar birinci dereceden fonksiyonlardır ve genel biçimi \( f(x) = mx + n \) şeklindedir. Yani fonksiyonun içinde \( x^2 \) veya daha yüksek dereceli terimler bulunamaz.
- Fonksiyonun doğrusal olabilmesi için \( x^2 \)'li terimin katsayısı sıfır olmalıdır:
\( a - 3 = 0 \Rightarrow a = 3 \) - \( a \) değerini yerine yazdığımızda fonksiyonumuz:
\( f(x) = (b + 2)x + 3b \) halini alır. - Burada \( b \) serbest bir parametredir. Doğrusal fonksiyonun tanımı gereği \( x \)'in katsayısı herhangi bir reel sayı olabilir. Ancak sorunun çözülebilmesi için \( b \) değerine bağlı bir kısıtlama verilmediğinden, genel fonksiyon yapısını koruyarak \( f(-2) \) değerini hesaplayalım:
\( f(-2) = (b + 2) \times (-2) + 3b \)
\( f(-2) = -2b - 4 + 3b \)
\( f(-2) = b - 4 \) olarak bulunur. - Eğer soru kökünde fonksiyonun sabit terimi veya eğimi hakkında ek bir bilgi verilseydi net bir sayı çıkardı. Bu haliyle ifademiz \( b - 4 \) değerine eşittir.
Örnek 6:
📌 Soru:
Bir şehirdeki taksi ücret tarifesi şu şekildedir:
Taksiye binişte sabit olarak 30 TL açılış ücreti alınmakta ve gidilen her kilometre için 8 TL ücret eklenmektedir.
Buna göre, gidilen mesafeye (\( x \) km) bağlı olarak ödenecek toplam ücreti gösteren doğrusal fonksiyonu yazınız ve 15 km yol giden bir müşterinin kaç TL ödeyeceğini hesaplayınız.
Bir şehirdeki taksi ücret tarifesi şu şekildedir:
Taksiye binişte sabit olarak 30 TL açılış ücreti alınmakta ve gidilen her kilometre için 8 TL ücret eklenmektedir.
Buna göre, gidilen mesafeye (\( x \) km) bağlı olarak ödenecek toplam ücreti gösteren doğrusal fonksiyonu yazınız ve 15 km yol giden bir müşterinin kaç TL ödeyeceğini hesaplayınız.
Çözüm:
💡 Çözüm:
Günlük hayattaki bu durumu matematiksel bir modele dönüştürelim.
Günlük hayattaki bu durumu matematiksel bir modele dönüştürelim.
- Gidilen mesafe bağımsız değişkenimiz olsun ve \( x \) ile gösterilsin.
- Ödenecek toplam ücret bağımlı değişkenimizdir ve \( f(x) \) ile gösterilsin.
- Sabit ücret (başlangıç değeri) 30 TL'dir. Her kilometre için 8 TL ekleneceğinden, \( x \) kilometre için ek ücret \( 8x \) olur.
- Bu durumda doğrusal fonksiyonumuz:
\( f(x) = 8x + 30 \) şeklinde modellenir. - 15 km yol giden müşterinin ödeyeceği ücreti bulmak için \( x = 15 \) değerini fonksiyonda yerine yazalım:
\( f(15) = 8 \times 15 + 30 \)
\( f(15) = 120 + 30 = 150 \) TL olarak bulunur.
Örnek 7:
📌 Soru:
Tamamen dolu olan 120 litrelik bir su deposunun altında bir sızıntı oluşmuştur. Depodaki su miktarı her saat düzenli olarak 6 litre azalmaktadır.
Buna göre:
a) Depoda kalan su miktarının zamana (\( t \) saat) bağlı fonksiyonunu yazınız.
b) Depodaki suyun tamamen bitmesi kaç saat sürer?
Tamamen dolu olan 120 litrelik bir su deposunun altında bir sızıntı oluşmuştur. Depodaki su miktarı her saat düzenli olarak 6 litre azalmaktadır.
Buna göre:
a) Depoda kalan su miktarının zamana (\( t \) saat) bağlı fonksiyonunu yazınız.
b) Depodaki suyun tamamen bitmesi kaç saat sürer?
Çözüm:
💡 Çözüm:
Depodaki suyun zamana göre değişimini doğrusal bir fonksiyonla ifade edelim.
Depodaki suyun zamana göre değişimini doğrusal bir fonksiyonla ifade edelim.
- a) Fonksiyonun Yazılması:
Başlangıçta depoda 120 litre su vardır. Her saat 6 litre su azaldığı için \( t \) saat sonra azalan su miktarı \( 6t \) olur.
Kalan su miktarını veren fonksiyon:
\( f(t) = 120 - 6t \) şeklinde tanımlanır. - b) Suyun Tamamen Bitme Süresi:
Depodaki su bittiğinde kalan su miktarı sıfır olur. Yani \( f(t) = 0 \) eşitliğini çözmeliyiz:
\( 120 - 6t = 0 \)
\( 6t = 120 \)
\( t = 20 \) saat bulunur.
Örnek 8:
📌 Soru:
Bir fidan dikildiğinde boyu 40 cm'dir. Bu fidanın boyu her ay düzenli olarak 4 cm uzamaktadır.
Buna göre, fidanın boyunun zamana (\( x \) ay) bağlı fonksiyonunu yazarak, fidanın boyunun 1 metre (100 cm) olması için kaç ay geçmesi gerektiğini bulunuz.
Bir fidan dikildiğinde boyu 40 cm'dir. Bu fidanın boyu her ay düzenli olarak 4 cm uzamaktadır.
Buna göre, fidanın boyunun zamana (\( x \) ay) bağlı fonksiyonunu yazarak, fidanın boyunun 1 metre (100 cm) olması için kaç ay geçmesi gerektiğini bulunuz.
Çözüm:
💡 Çözüm:
Fidanın boyundaki değişimi doğrusal fonksiyon kuralları ile modelleyelim.
Fidanın boyundaki değişimi doğrusal fonksiyon kuralları ile modelleyelim.
- Fonksiyonun Kurulması:
İlk boy (sabit değer) = 40 cm
Aylık uzama miktarı = 4 cm
\( x \) ay sonraki toplam uzama = \( 4x \) cm
Zamana bağlı boy fonksiyonu:
\( f(x) = 4x + 40 \) olur. - İstenen Sürenin Hesaplanması:
Fidanın boyunun 100 cm olması istenmektedir. Fonksiyonu 100'e eşitleyelim:
\( 4x + 40 = 100 \)
\( 4x = 60 \)
\( x = 15 \) ay olarak bulunur.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-gercek-sayilarda-tanimli-dogrusal-fonksiyonlar-ve-nitel-ozellikleri/sorular