💡 9. Sınıf Matematik: Gerçek Sayılarda Tanımlı Doğrusal Fonksiyonlar ve Nitel Özellikleri Çözümlü Örnekler

• ✅ 1. \( f(x) = 5x - 3 \): Bu fonksiyon, \( a=5 \) ve \( b=-3 \) olmak üzere \( ax+b \) formundadır. Bu nedenle doğrusal bir fonksiyondur.
• ❌ 2. \( g(x) = x^2 + 2x - 1 \): Bu fonksiyonda \( x^2 \) terimi bulunmaktadır. \( x \)'in kuvveti 1'den farklı (2) olduğu için doğrusal bir fonksiyon değildir.
• ✅ 3. \( h(x) = \frac{x}{4} + 7 \): Bu ifadeyi \( h(x) = \frac{1}{4}x + 7 \) şeklinde yazabiliriz. Burada \( a=\frac{1}{4} \) ve \( b=7 \) olmak üzere \( ax+b \) formundadır. Bu nedenle doğrusal bir fonksiyondur.
• ✅ 4. \( k(x) = -6 \): Bu fonksiyonu \( k(x) = 0x - 6 \) şeklinde düşünebiliriz. Burada \( a=0 \) ve \( b=-6 \) olmak üzere \( ax+b \) formundadır. Özel bir doğrusal fonksiyon olan sabit fonksiyondur.
• ❌ 5. \( m(x) = \frac{1}{x} \): Bu ifadeyi \( m(x) = x^{-1} \) şeklinde yazabiliriz. \( x \)'in kuvveti -1 olduğu için doğrusal bir fonksiyon değildir.

Sonuç olarak, 1, 3 ve 4 numaralı ifadeler doğrusal fonksiyondur.

• 📌 Bir doğrusal fonksiyonun sabit fonksiyon olabilmesi için \( f(x) = b \) şeklinde olması gerekir. Yani, \( x \) değişkeninin katsayısı sıfır olmalıdır.
• Verilen fonksiyon \( f(x) = (2m-4)x + 3m+1 \) şeklindedir.
• \( x \)'in katsayısı olan \( (2m-4) \) ifadesini sıfıra eşitlemeliyiz: \[ 2m - 4 = 0 \]
• Bu denklemi çözerek \( m \) değerini bulalım: \[ 2m = 4 \] \[ m = \frac{4}{2} \] \[ m = 2 \]
• ✅ Eğer \( m=2 \) olursa, fonksiyon \( f(x) = (2 \cdot 2 - 4)x + (3 \cdot 2 + 1) \) olur. \[ f(x) = (4 - 4)x + (6 + 1) \] \[ f(x) = 0x + 7 \] \[ f(x) = 7 \] Bu da bir sabit fonksiyondur.

Bu nedenle, \( m \) değeri 2 olmalıdır.

• 1. Y eksenini kestiği noktayı bulalım:
  Bir fonksiyonun y eksenini kestiği noktayı bulmak için \( x \) yerine 0 yazarız. \[ f(0) = -3(0) + 6 \] \[ f(0) = 0 + 6 \] \[ f(0) = 6 \] Yani, fonksiyon y eksenini \( (0, 6) \) noktasında keser. Bu aynı zamanda doğrusal fonksiyonun \( b \) sabitidir.
• 2. X eksenini kestiği noktayı bulalım:
  Bir fonksiyonun x eksenini kestiği noktayı bulmak için \( f(x) \) (yani \( y \)) yerine 0 yazarız. \[ 0 = -3x + 6 \] Şimdi \( x \)'i yalnız bırakalım: \[ 3x = 6 \] \[ x = \frac{6}{3} \] \[ x = 2 \] Yani, fonksiyon x eksenini \( (2, 0) \) noktasında keser.
• ✅ Bu iki noktayı koordinat düzleminde işaretleyip birleştirdiğimizde, \( f(x) = -3x + 6 \) doğrusal fonksiyonunun grafiğini elde ederiz.

• 1. Eğimi (\( a \)) bulalım:
  İki nokta \( (x_1, y_1) \) ve \( (x_2, y_2) \) verildiğinde eğim formülü: \( a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \) Noktalarımız \( A(2, 5) \) ve \( B(-1, -4) \) olduğuna göre: \[ a = \frac{-4 - 5}{-1 - 2} \] \[ a = \frac{-9}{-3} \] \[ a = 3 \] Fonksiyonumuzun eğimi \( a=3 \) imiş. Demek ki fonksiyon \( f(x) = 3x + b \) şeklindedir.
• 2. \( b \) değerini bulalım:
  Şimdi \( A(2, 5) \) veya \( B(-1, -4) \) noktalarından birini kullanarak \( b \) değerini bulabiliriz. \( A(2, 5) \) noktasını kullanalım. Yani \( x=2 \) iken \( f(x)=5 \) olmalı. \[ 5 = 3(2) + b \] \[ 5 = 6 + b \] \[ b = 5 - 6 \] \[ b = -1 \]
• ✅ O halde, \( A(2, 5) \) ve \( B(-1, -4) \) noktalarından geçen doğrusal fonksiyonun denklemi: \[ f(x) = 3x - 1 \]

• 📌 Bir doğrusal fonksiyonun artan olması için \( f(x) = ax + b \) şeklindeki denkleminde \( x \)'in katsayısı olan eğim (\( a \)) pozitif olmalıdır, yani \( a > 0 \).
• Verilen fonksiyon \( f(x) = (3-k)x + 2 \) şeklindedir.
• Burada \( x \)'in katsayısı \( (3-k) \) ifadesidir. Fonksiyonun artan olması için bu katsayının pozitif olması gerekir: \[ 3 - k > 0 \]
• Bu eşitsizliği çözelim: \[ 3 > k \] veya \[ k < 3 \]
• ✅ Bu durumda, \( k \) sayısı 3'ten küçük tüm gerçek sayı değerlerini alabilir. Yani \( k \in (-\infty, 3) \) aralığında olmalıdır.

• 1. Doğrusal fonksiyon denklemini yazalım:
  • Açılış ücreti (sabit ücret) \( b \) değerini temsil eder: \( b = 15 \) TL.
  • Her kilometre için alınan ücret (birim başına değişim) eğim \( a \) değerini temsil eder: \( a = 8 \) TL/km.
  • Genel doğrusal fonksiyon formülü \( f(x) = ax + b \) olduğuna göre: \[ f(x) = 8x + 15 \] Bu denklem, \( x \) kilometre yolculuk için ödenecek toplam ücreti gösterir.
• 2. 25 km yolculuk için ödenecek ücreti hesaplayalım:
  • \( x \) yerine 25 yazarak \( f(25) \) değerini bulmalıyız: \[ f(25) = 8(25) + 15 \]
  • Çarpma işlemini yapalım: \[ f(25) = 200 + 15 \]
  • Toplama işlemini yapalım: \[ f(25) = 215 \]
  • ✅ Yani, 25 km yolculuk yapan bir müşteri 215 TL öder.

• 1. Tarife A için fonksiyonu yazalım:
  • Sabit ücret (b) = 30 TL
  • Dakika başına ücret (a) = 0,5 TL
  • Tarife A'nın maliyet fonksiyonu: \( A(x) = 0.5x + 30 \)
• 2. Tarife B için fonksiyonu yazalım:
  • Sabit ücret (b) = 10 TL
  • Dakika başına ücret (a) = 1 TL
  • Tarife B'nin maliyet fonksiyonu: \( B(x) = 1x + 10 \), yani \( B(x) = x + 10 \)
• 3. Maliyetlerin eşit olduğu konuşma süresini bulalım:
  • Maliyetlerin eşit olması için \( A(x) = B(x) \) olmalıdır: \[ 0.5x + 30 = x + 10 \]
  • \( x \) terimlerini bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım: \[ 30 - 10 = x - 0.5x \] \[ 20 = 0.5x \]
  • \( x \)'i bulmak için her iki tarafı 0.5'e (veya \( \frac{1}{2} \)'ye) bölelim: \[ x = \frac{20}{0.5} \] \[ x = 20 \times 2 \] \[ x = 40 \]
  • ✅ Yani, aylık 40 dakika konuşma yapıldığında her iki tarifenin maliyeti de eşit olur.
• Ek Bilgi:
  • Eğer 40 dakikadan az konuşursanız, Tarife B daha uygun olacaktır.
  • Eğer 40 dakikadan fazla konuşursanız, Tarife A daha uygun olacaktır.

• 📌 Bir doğrusal fonksiyonun denklemi \( y = ax + b \) şeklinde olduğunda, \( x \)'in katsayısı olan \( a \) değeri doğrunun eğimidir.
• Ayrıca, bir doğrunun eğimi, o doğrunun \( x \) ekseniyle pozitif yönde yaptığı açının tanjantına eşittir.
• Verilen doğrusal fonksiyon denklemi \( y = 2x - 4 \) şeklindedir.
• Bu denklemde \( x \)'in katsayısı \( a = 2 \)'dir.
• ✅ Dolayısıyla, bu doğrunun eğimi 2'dir ve \( x \) ekseni ile yaptığı açının tanjantı 2'ye eşittir.