💡 9. Sınıf Matematik: Gerçek sayılarda tanımlı doğrusal fonksiyonlar ve mutlak değerli fonksiyonlar nitel özellikleri Çözümlü Örnekler

Bu soruyu çözmek için doğrusal fonksiyonların genel formunu hatırlayalım:

\( f(x) = mx + n \)

Burada:

• \( m \) : fonksiyonun eğimini temsil eder.
• \( n \) : y-eksenini kestiği noktayı temsil eder.

Verilen fonksiyonumuz \( f(x) = 2x + 3 \). Bu fonksiyonu genel formla karşılaştırdığımızda, \( m \) değeri 2'dir.

Dolayısıyla, fonksiyonun eğimi 2'dir. 💡

Doğrusal fonksiyonun eğimi, \( f(x) = mx + n \) formundaki \( m \) katsayısıdır.

Fonksiyonumuz \( g(x) = -x + 5 \). Bu fonksiyonda \( m = -1 \) 'dir.

Eğim \( m \) negatif olduğunda, fonksiyonun grafiği sağ aşağı doğru eğimlidir. ✅

İki doğrusal fonksiyonun grafiğinin ilişkisini anlamak için eğimlerine bakarız.

• \( h(x) = 3x - 1 \) fonksiyonunun eğimi \( m_h = 3 \).
• \( k(x) = 3x + 7 \) fonksiyonunun eğimi \( m_k = 3 \).

Her iki fonksiyonun da eğimleri aynıdır (\( m_h = m_k = 3 \)). Bu durum, grafiklerinin paralel olduğu anlamına gelir. 📏 Y-eksenini kestikleri noktalar farklı olduğu için (biri -1, diğeri 7), bu doğrular kesişmezler.

Mutlak değer, bir sayının sayı doğrusunda 0'a olan uzaklığını ifade eder ve sonucu daima pozitif veya sıfırdır.

• \( f(3) = |3| \). 3'ün 0'a olan uzaklığı 3'tür. Yani \( f(3) = 3 \).
• \( f(-3) = |-3| \). -3'ün 0'a olan uzaklığı 3'tür. Yani \( f(-3) = 3 \).

Bu örnekte görüldüğü gibi, mutlak değer fonksiyonu hem pozitif hem de negatif değerler için aynı pozitif sonucu verebilir. 👍

Mutlak değerli bir ifadenin en küçük değeri, mutlak değerin içindeki ifadenin 0 olduğu durumda elde edilir. Çünkü mutlak değerin sonucu asla negatif olamaz.

Fonksiyonumuz \( f(x) = |x - 2| \).

Mutlak değerin içini sıfıra eşitleyelim:

\( x - 2 = 0 \)

Bu denklemi çözersek:

\( x = 2 \)

Bu durumda, fonksiyonun en küçük değeri \( x = 2 \) iken oluşur ve bu değer \( f(2) = |2 - 2| = |0| = 0 \) olur. Minimum nokta (2, 0)'dır. 🎯

Öncelikle tüketilen yakıt miktarını zamana bağlı olarak bulmalıyız.

• Araç saatte 80 km hız yapıyor.
• Her 100 km'de 8 litre yakıt tüketiyor.

Bu durumda, 1 km'de tüketilen yakıt miktarı:

\( \frac{8 \text{ litre}}{100 \text{ km}} = 0.08 \text{ litre/km} \)

Araç 1 saatte 80 km yol aldığına göre, 1 saatte tüketilen yakıt miktarı:

\( 80 \text{ km/saat} \times 0.08 \text{ litre/km} = 6.4 \text{ litre/saat} \)

Yani, \( t \) saatte tüketilen yakıt miktarı \( 6.4t \) litredir.

Depoda kalan yakıt miktarı fonksiyonu \( Y(t) \) şu şekilde olur:

\( Y(t) = 50 - 6.4t \)

Şimdi, hareketinden 2 saat sonra depoda kalan yakıtı bulalım:

\( Y(2) = 50 - 6.4 \times 2 \)

\( Y(2) = 50 - 12.8 \)

\( Y(2) = 37.2 \)

Hareketinden 2 saat sonra depoda 37.2 litre yakıt kalır. ⛽

Bu durumu bir doğrusal fonksiyon ile modelleyebiliriz.

• Açılış ücreti sabit bir değerdir ve fonksiyonun sabit terimidir (y-keseni).
• Kilometre başına alınan ücret ise fonksiyonun eğimidir.

Fonksiyonumuz \( Ücret(x) \) olsun. Genel form \( f(x) = mx + n \) şeklindedir.

Burada:

• \( m = 5 \) (kilometre başına ücret)
• \( n = 10 \) (açılış ücreti)

Dolayısıyla, ödenecek toplam ücreti veren fonksiyon şudur:

\( Ücret(x) = 5x + 10 \)

Şimdi, müşteri 15 km yol giderse ödenecek ücreti hesaplayalım:

\( Ücret(15) = 5 \times 15 + 10 \)

\( Ücret(15) = 75 + 10 \)

\( Ücret(15) = 85 \)

Müşteri 15 km yol giderse 85 TL öder. 🚕

Bir fonksiyonun grafiğinin x-eksenini kestiği noktalar, fonksiyonun değerinin 0 olduğu noktalardır. Yani \( f(x) = 0 \) denklemini çözmeliyiz.

\( |x+1| - 3 = 0 \)

Önce mutlak değerli ifadeyi yalnız bırakalım:

\( |x+1| = 3 \)

Mutlak değerin tanımına göre, bu eşitlik iki farklı durumda sağlanır:

1. İçerisi pozitif veya sıfır ise: \( x+1 = 3 \)
2. İçerisi negatif ise: \( x+1 = -3 \)

Şimdi bu iki denklemi ayrı ayrı çözelim:

1. \( x+1 = 3 \Rightarrow x = 3 - 1 \Rightarrow x = 2 \)
2. \( x+1 = -3 \Rightarrow x = -3 - 1 \Rightarrow x = -4 \)

Bu fonksiyonun grafiği x-eksenini \( x=2 \) ve \( x=-4 \) noktalarında keser. ✖️