💡 9. Sınıf Matematik: Gerçek Sayılarda Mutlak Değer Fonksiyonları ve Nitel Özellikleri Çözümlü Örnekler

Mutlak değer, bir sayının sayı doğrusu üzerinde sıfıra olan uzaklığını ifade eder ve sonucu her zaman pozitif veya sıfırdır.

• \( | -5 | \): -5 sayısının sıfıra uzaklığı 5 birimdir. Bu nedenle, \( | -5 | = 5 \). ✅
• \( | 12 | \): 12 sayısının sıfıra uzaklığı 12 birimdir. Bu nedenle, \( | 12 | = 12 \). ✅
• \( | 0 | \): 0 sayısının sıfıra uzaklığı 0 birimdir. Bu nedenle, \( | 0 | = 0 \). ✅

Mutlak değerin tanımına göre, \( |a| = b \) ise \( a = b \) veya \( a = -b \) olur. Bu durumda, \( x - 3 = 5 \) veya \( x - 3 = -5 \) denklemlerini çözmeliyiz.

• Birinci durum: \( x - 3 = 5 \)

Her iki tarafa 3 eklersek: \( x = 5 + 3 \Rightarrow x = 8 \). 👉
• İkinci durum: \( x - 3 = -5 \)

Her iki tarafa 3 eklersek: \( x = -5 + 3 \Rightarrow x = -2 \). 👉

Denklemin çözüm kümesi \( \{ -2, 8 \} \) olur.

Mutlak değerin tanımını uygulayarak iki farklı olasılığı değerlendirelim:

• Olasılık 1: \( 2x + 1 = 7 \)

Her iki taraftan 1 çıkaralım: \( 2x = 7 - 1 \Rightarrow 2x = 6 \).
Her iki tarafı 2'ye bölelim: \( x = \frac{6}{2} \Rightarrow x = 3 \). ✅
• Olasılık 2: \( 2x + 1 = -7 \)

Her iki taraftan 1 çıkaralım: \( 2x = -7 - 1 \Rightarrow 2x = -8 \).
Her iki tarafı 2'ye bölelim: \( x = \frac{-8}{2} \Rightarrow x = -4 \). ✅

Bu denklemin çözüm kümesi \( \{ -4, 3 \} \) olarak bulunur. 💡

Bu tür denklemleri çözerken mutlak değerin içini sıfır yapan değerleri (kritik noktaları) bularak sayı doğrusunu aralıklara ayırırız. Kritik noktalar \( x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \) ve \( x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \) 'dir. Bu noktalar sayı doğrusunu \( (-\infty, -1] \), \( [-1, 2] \) ve \( [2, \infty) \) olmak üzere üç aralığa ayırır.

• Aralık 1: \( x < -1 \) ise

\( x - 2 \) negatiftir, \( x + 1 \) negatiftir. \( -(x - 2) - (x + 1) = 5 \) \( -x + 2 - x - 1 = 5 \) \( -2x + 1 = 5 \) \( -2x = 4 \Rightarrow x = -2 \). Bu değer \( x < -1 \) koşulunu sağlar. ✅
• Aralık 2: \( -1 \le x < 2 \) ise

\( x - 2 \) negatiftir, \( x + 1 \) pozitiftir. \( -(x - 2) + (x + 1) = 5 \) \( -x + 2 + x + 1 = 5 \) \( 3 = 5 \). Bu bir çelişkidir, bu aralıkta çözüm yoktur. ❌
• Aralık 3: \( x \ge 2 \) ise

\( x - 2 \) pozitiftir, \( x + 1 \) pozitiftir. \( (x - 2) + (x + 1) = 5 \) \( 2x - 1 = 5 \) \( 2x = 6 \Rightarrow x = 3 \). Bu değer \( x \ge 2 \) koşulunu sağlar. ✅

Denklemin çözüm kümesi \( \{ -2, 3 \} \) olur.

Hareketlinin konumunu adım adım takip edelim:

• Başlangıç konumu: 0
• Birinci adım (3 birim sağa): \( 0 + 3 = 3 \)
• İkinci adım (2 birim sola): \( 3 - 2 = 1 \)
• Üçüncü adım (4 birim sağa): \( 1 + 4 = 5 \)

Hareketlinin son konumu 5'tir. Başlangıç noktası ise 0'dır. Bu iki nokta arasındaki mesafe, son konum ile başlangıç noktası arasındaki farkın mutlak değeridir. Mesafe = \( | \text{Son Konum} - \text{Başlangıç Konumu} | \) Mesafe = \( | 5 - 0 | \) Mesafe = \( | 5 | \) Mesafe = 5 birim. 📍

Ürünün belirlenen satış fiyatı 150 TL'dir. Yapılabilecek indirim miktarı en fazla 20 TL'dir. Bu, indirimin 0 TL ile 20 TL arasında olabileceği anlamına gelir. Eğer \( x \) ürünün indirimli satış fiyatı ise, o zaman: İndirim Miktarı = Belirlenen Satış Fiyatı - İndirimli Satış Fiyatı İndirim Miktarı = \( 150 - x \) Soruda verilen bilgiye göre, indirim miktarı 0 ile 20 TL arasında olmalıdır: \( 0 \le 150 - x \le 20 \) Bu eşitsizliği mutlak değer kullanarak ifade edelim. İndirimli fiyatın belirlenen fiyattan (150 TL) farkının mutlak değeri, en fazla 20 TL olabilir. \( | 150 - x | \le 20 \) Bu eşitsizlik, ürünün indirimli satış fiyatının 130 TL ile 170 TL arasında olabileceğini gösterir. \( -20 \le 150 - x \le 20 \) Her taraftan 150 çıkarırsak: \( -20 - 150 \le -x \le 20 - 150 \) \( -170 \le -x \le -130 \) Her tarafı -1 ile çarparsak (eşitsizlik yön değiştirir): \( 130 \le x \le 170 \) Yani, ürünün indirimli satış fiyatı 130 TL ile 170 TL (dahil) arasında olabilir. 💰

Bu denklem, \( |a| = b \) formundadır, burada \( a = x^2 - 4 \) ve \( b = 5 \)'tir. O halde, iki olasılık vardır:

• Olasılık 1: \( x^2 - 4 = 5 \)

\( x^2 = 5 + 4 \) \( x^2 = 9 \) Buradan \( x = \sqrt{9} \) veya \( x = -\sqrt{9} \) elde ederiz. \( x = 3 \) veya \( x = -3 \). ✅
• Olasılık 2: \( x^2 - 4 = -5 \)

\( x^2 = -5 + 4 \) \( x^2 = -1 \) Reel sayılarda karesi -1 olan bir sayı yoktur. Bu nedenle bu olasılıktan reel çözüm gelmez. ❌

Denklemin reel sayılardaki çözüm kümesi \( \{ -3, 3 \} \) olur.

Termometrenin gösterdiği sıcaklık 22 derecedir. Sapma miktarı en fazla 1.5 derecedir. Eğer \( T \) ortamın gerçek sıcaklığı ise, termometrenin gösterdiği değer ile gerçek sıcaklık arasındaki farkın mutlak değeri en fazla 1.5 olmalıdır. \( | \text{Gösterilen Sıcaklık} - \text{Gerçek Sıcaklık} | \le \text{Maksimum Sapma} \) \( | 22 - T | \le 1.5 \) Bu eşitsizliği çözerek gerçek sıcaklığın alabileceği aralığı bulalım: \( -1.5 \le 22 - T \le 1.5 \) Her taraftan 22 çıkaralım: \( -1.5 - 22 \le -T \le 1.5 - 22 \) \( -23.5 \le -T \le -20.5 \) Her tarafı -1 ile çarpalım (eşitsizlik yön değiştirir): \( 20.5 \le T \le 23.5 \) Ortamın gerçek sıcaklığı 20.5 derece ile 23.5 derece arasında (dahil) olabilir. 🌡️