📄 9. Sınıf Matematik: Gerçek sayılarda işlem özellikleri Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Gerçek sayılar kümesi \(\mathbb{R}\) üzerinde toplama ve çarpma işlemleri için şu özellikler geçerlidir:

1. Kapalılık Özelliği:
* Toplama: Herhangi iki gerçel sayıyı topladığımızda sonuç yine bir gerçel sayıdır. Örnek: \(3 \in \mathbb{R}\) ve \(5 \in \mathbb{R}\) ise \(3 + 5 = 8 \in \mathbb{R}\).
* Çarpma: Herhangi iki gerçel sayıyı çarptığımızda sonuç yine bir gerçel sayıdır. Örnek: \(-2 \in \mathbb{R}\) ve \(4 \in \mathbb{R}\) ise \((-2) \times 4 = -8 \in \mathbb{R}\).

2. Değişme Özelliği:
* Toplama: Toplananların yerleri değiştirildiğinde sonuç değişmez. \(a + b = b + a\). Örnek: \(5 + 2 = 7\) ve \(2 + 5 = 7\).
* Çarpma: Çarpanların yerleri değiştirildiğinde sonuç değişmez. \(a \times b = b \times a\). Örnek: \(3 \times 6 = 18\) ve \(6 \times 3 = 18\).

3. Birleşme Özelliği:
* Toplama: Üç veya daha fazla sayıyı toplarken, toplama işlemi gruplandırıldığında sonuç değişmez. \(a + (b + c) = (a + b) + c\). Örnek: \(2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9\) ve \((2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9\).
* Çarpma: Üç veya daha fazla sayıyı çarptığımızda, çarpma işlemi gruplandırıldığında sonuç değişmez. \(a \times (b \times c) = (a \times b) \times c\). Örnek: \(2 \times (3 \times 4) = 2 \times 12 = 24\) ve \((2 \times 3) \times 4 = 6 \times 4 = 24\).

💡 Çözüm Adımları:

Toplama işleminin etkisiz elemanı, toplandığında sayının kendisini veren elemandır. Bu eleman 0'dır. Yani, herhangi bir \(a\) gerçel sayısı için \(a + 0 = a\) eşitliği geçerlidir.
\(15 + x = 15\) denkleminde, sol taraftaki toplama işleminin sonucunun 15 olması için \(x\)'in toplama işlemine göre etkisiz eleman olması gerekir. Bu nedenle \(x = 0\)'dır.

Çarpma işleminin etkisiz elemanı, çarpıldığında sayının kendisini veren elemandır. Bu eleman 1'dir. Yani, herhangi bir \(a\) gerçel sayısı için \(a \times 1 = a\) eşitliği geçerlidir.
\(y \times 7 = 7\) denkleminde, sol taraftaki çarpma işleminin sonucunun 7 olması için \(y\)'nin çarpma işlemine göre etkisiz eleman olması gerekir. Bu nedenle \(y = 1\)'dir.

💡 Çözüm Adımları:

Dağılma özelliği, çarpma işleminin toplama veya çıkarma işlemi üzerine dağılmasını ifade eder. \(a \times (b - c) = a \times b - a \times c\) şeklinde gösterilir.

Verilen işlem: \(8 \times (10 - 3)\)

Dağılma özelliğini kullanarak:
\(8 \times (10 - 3) = (8 \times 10) - (8 \times 3)\)
\(= 80 - 24\)
\(= 56\)

Şimdi parantez içindeki işlemi yaparak sonucu bulalım:
\(8 \times (10 - 3) = 8 \times 7\)
\(= 56\)

Her iki durumda da sonuç \(56\) olarak bulunur. Bu, dağılma özelliğinin doğruluğunu göstermektedir.