💡 9. Sınıf Matematik: Gerçek Sayılar Ve Aralıklar Çözümlü Örnekler

• Doğal Sayılar (\(N\)): Sayma sayıları ve sıfır (\(0, 1, 2, 3, ...\)).
• Tam Sayılar (\(Z\)): Doğal sayılar ve negatifleri (\(..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\)).
• Rasyonel Sayılar (\(Q\)): \(a\) bir tam sayı ve \(b\) sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere \( \frac{a}{b} \) şeklinde yazılabilen sayılar (sonlu veya devirli ondalık sayılar).
• İrrasyonel Sayılar (\(I\)): Rasyonel olmayan sayılar (devirsiz ve sonsuz ondalık sayılar, örneğin \( \sqrt{2}, \pi \)).
• Gerçek Sayılar (\(R\)): Rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşimi. Sayı doğrusundaki tüm noktaları temsil eder.

• \( -5 \): 👉 Tam sayı, rasyonel sayı (\( \frac{-5}{1} \)), gerçek sayı.
• \( 0 \): 👉 Doğal sayı, tam sayı, rasyonel sayı (\( \frac{0}{1} \)), gerçek sayı.
• \( 7 \): 👉 Doğal sayı, tam sayı, rasyonel sayı (\( \frac{7}{1} \)), gerçek sayı.
• \( \frac{3}{4} \): 👉 Rasyonel sayı, gerçek sayı.
• \( \sqrt{2} \): 👉 İrrasyonel sayı (tam kare olmayan bir sayının karekökü), gerçek sayı.
• \( \pi \): 👉 İrrasyonel sayı (devirsiz ve sonsuz ondalık açılımı vardır), gerçek sayı.
• \( 2.333... \): 👉 Devirli ondalık sayı olduğu için rasyonel sayı (\( \frac{7}{3} \)), gerçek sayı.

1. Her doğal sayı aynı zamanda bir tam sayıdır. (D)
   👉 Doğal sayılar kümesi \(N = \{0, 1, 2, ...\}\) iken, tam sayılar kümesi \(Z = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}\) şeklindedir. \(N \subset Z\) olduğu için bu ifade doğrudur.
2. Her tam sayı aynı zamanda bir rasyonel sayıdır. (D)
   👉 Her tam sayı \(a\), \( \frac{a}{1} \) şeklinde yazılabildiği için rasyonel sayı tanımına uyar. \(Z \subset Q\) olduğu için bu ifade doğrudur.
3. Her rasyonel sayı aynı zamanda bir irrasyonel sayıdır. (Y)
   👉 Rasyonel ve irrasyonel sayılar kümeleri birbirinden ayrıktır; yani ortak elemanları yoktur. Bir sayı ya rasyoneldir ya da irrasyoneldir. Bu ifade yanlıştır.
4. İki irrasyonel sayının toplamı her zaman irrasyonel sayıdır. (Y)
   👉 Bu ifade yanlıştır. Örneğin, \( \sqrt{2} \) irrasyoneldir ve \( -\sqrt{2} \) de irrasyoneldir. Ancak \( \sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0 \) olup \(0\) bir rasyonel sayıdır.
5. Gerçek sayılar kümesi, rasyonel sayılar kümesini kapsar. (D)
   👉 Gerçek sayılar kümesi (\(R\)) rasyonel sayılar (\(Q\)) ve irrasyonel sayılar (\(I\)) kümelerinin birleşimidir (\(R = Q \cup I\)). Bu durumda \(Q \subset R\) olduğu için ifade doğrudur.

1. \( -2 < x \le 3 \)
   • Bu eşitsizlik, \(x\) değerinin \( -2 \)'den büyük olduğunu (dahil değil) ve \( 3 \)'e eşit veya küçük olduğunu (dahil) gösterir.
   • Aralık gösterimi: \( (-2, 3] \)
   • Sayı doğrusunda gösterim: \( -2 \) noktasının içi boş bir daire ile, \( 3 \) noktasının içi dolu bir daire ile işaretlenir ve bu iki nokta arasındaki kısım kalın bir çizgiyle belirtilir.
2. \( x \ge 4 \)
   • Bu eşitsizlik, \(x\) değerinin \( 4 \)'e eşit veya büyük olduğunu (dahil) gösterir.
   • Aralık gösterimi: \( [4, \infty) \)
   • Sayı doğrusunda gösterim: \( 4 \) noktasının içi dolu bir daire ile işaretlenir ve bu noktadan sağa doğru (artı sonsuza doğru) kalın bir çizgi çekilir.

• Öncelikle her iki aralığı sayı doğrusunda hayal edelim veya çizelim.
• \( A = [-3, 5) \): \( -3 \) dahil, \( 5 \) dahil değil.
• \( B = (2, 7] \): \( 2 \) dahil değil, \( 7 \) dahil.

• Kesişimde alt sınırı belirlerken, aralıkların büyük olan alt sınırını alırız. \( \max(-3, 2) = 2 \).
• Kesişimde üst sınırı belirlerken, aralıkların küçük olan üst sınırını alırız. \( \min(5, 7) = 5 \).
• Kesişim aralığı \( (2, 5) \) olacaktır. Çünkü \( 2 \) her iki aralıkta da dahil değil ( \(A\)'da dahildi ama \(B\)'de değil), \( 5 \) ise \(A\)'da dahil değil.

• Yine aralıkları sayı doğrusunda düşünelim.
• \( K = (-\infty, 1] \): \( 1 \) dahil olmak üzere \( -\infty \)'dan \( 1 \)'e kadar tüm sayılar.
• \( L = [-4, 6) \): \( -4 \) dahil olmak üzere \( -4 \)'ten \( 6 \)'ya kadar ( \( 6 \) dahil değil) tüm sayılar.

• Birleşimde alt sınırı belirlerken, aralıkların küçük olan alt sınırını alırız. \( -\infty \) ve \( -4 \) karşılaştırıldığında, \( -\infty \) daha küçüktür.
• Birleşimde üst sınırı belirlerken, aralıkların büyük olan üst sınırını alırız. \( 1 \) ve \( 6 \) karşılaştırıldığında, \( 6 \) daha büyüktür.
• Ancak \( 6 \) aralıklardan birinde dahil olmadığı için birleşimde de dahil olmayacaktır.

• Termometre "25°C" gösteriyorsa, gerçek sıcaklık \( T \) en yakın tam sayıya yuvarlandığında \( 25 \) olmuştur.
• Bir sayının en yakın tam sayıya yuvarlanması için, o sayının yarım ve yarımın üzerindeki bir değerle o tam sayıya yakın olması gerekir.
• Yani, \( 24.5 \) ve \( 25.5 \) arasındaki sayılar \( 25 \)'e yuvarlanır.
• Ancak, \( 25.5 \) sayısı \( 26 \)'ya yuvarlanacağı için \( 25.5 \) dahil olmaz.

• Eşitsizlik biçiminde: \( 24.5 \le T < 25.5 \)
• Aralık biçiminde: \( [24.5, 25.5) \)

Tek bir elmanın ağırlık aralığı:

• Elmanın ağırlığına \( E \) diyelim.
• En az \( 150 \) gram (dahil), en fazla \( 220 \) gram (dahil) olabilir.
• Eşitsizlik biçiminde: \( 150 \le E \le 220 \)
• Aralık biçiminde: \( [150, 220] \)

3 elmanın toplam ağırlığının alabileceği değerler:

• 3 elmanın toplam ağırlığına \( T \) diyelim.
• En küçük toplam ağırlık: \( 3 \times 150 = 450 \) gram.
• En büyük toplam ağırlık: \( 3 \times 220 = 660 \) gram.
• Bu durumda toplam ağırlık için eşitsizlik: \( 450 \le T \le 660 \)
• Bu durumda toplam ağırlık için aralık: \( [450, 660] \)

3 elmanın toplam ağırlığının alabileceği en küçük tam sayı değeri \( 450 \) gram, en büyük tam sayı değeri ise \( 660 \) gramdır. ✅

Bize verilen: \( -1 < 2x - 5 \le 7 \)

Amacımız, eşitsizliğin ortasında sadece \( x \)'i bırakmak.

• Adım 1: Her tarafa \( 5 \) ekleyelim.
  \( -1 + 5 < 2x - 5 + 5 \le 7 + 5 \)
  \( 4 < 2x \le 12 \)
• Adım 2: Her tarafı \( 2 \)'ye bölelim. (Pozitif bir sayıya böldüğümüz için eşitsizlik yön değiştirmez.)
  \( \frac{4}{2} < \frac{2x}{2} \le \frac{12}{2} \)
  \( 2 < x \le 6 \)

• Eşitsizlik biçiminde: \( 2 < x \le 6 \)
• Aralık biçiminde: \( (2, 6] \)