💡 9. Sınıf Matematik: Gerçek Sayılar Ve Aralık Gösterimi Çözümlü Örnekler

• 👉 \( -5 \): Bu bir negatif tam sayıdır. Dolayısıyla Tam Sayılar (\(\mathbb{Z}\)), Rasyonel Sayılar (\(\mathbb{Q}\)) (çünkü \( -5 = frac{-5}{1} \) şeklinde yazılabilir) ve Gerçek Sayılar (\(\mathbb{R}\)) kümesine aittir.
• 👉 \( frac{3}{4} \): Bu bir kesirli sayıdır. Dolayısıyla Rasyonel Sayılar (\(\mathbb{Q}\)) ve Gerçek Sayılar (\(\mathbb{R}\)) kümesine aittir.
• 👉 \( \sqrt{7} \): Bu, karekök dışına tam olarak çıkamayan bir sayıdır. Dolayısıyla İrrasyonel Sayılar (\(\mathbb{I}\)) ve Gerçek Sayılar (\(\mathbb{R}\)) kümesine aittir.
• 👉 \( 0 \): Bu bir doğal sayıdır. Dolayısıyla Doğal Sayılar (\(\mathbb{N}\)), Tam Sayılar (\(\mathbb{Z}\)), Rasyonel Sayılar (\(\mathbb{Q}\)) ve Gerçek Sayılar (\(\mathbb{R}\)) kümesine aittir.
• 👉 \( 2. overline{3} \): Bu, devirli bir ondalık sayıdır. Devirli ondalık sayılar rasyonel sayılardır. Dolayısıyla Rasyonel Sayılar (\(\mathbb{Q}\)) ve Gerçek Sayılar (\(\mathbb{R}\)) kümesine aittir.
• 👉 \( \pi \): Pi sayısı, virgülden sonrası düzensiz devam eden ve kesir olarak yazılamayan özel bir sayıdır. Dolayısıyla İrrasyonel Sayılar (\(\mathbb{I}\)) ve Gerçek Sayılar (\(\mathbb{R}\)) kümesine aittir.
• 👉 \( \sqrt{9} \): \( \sqrt{9} = 3 \) olduğu için bu bir doğal sayıdır. Dolayısıyla Doğal Sayılar (\(\mathbb{N}\)), Tam Sayılar (\(\mathbb{Z}\)), Rasyonel Sayılar (\(\mathbb{Q}\)) ve Gerçek Sayılar (\(\mathbb{R}\)) kümesine aittir.

• a) \( x > -2 \)
  • Aralık Gösterimi: \( (-2, \infty) \) 👉 \( -2 \) dahil olmadığı için parantez, sonsuz her zaman parantez ile gösterilir.
  • Sayı Doğrusu: \( -2 \) noktasının içi boş bir daire ile gösterilir ve \( -2 \)'nin sağındaki tüm sayılar taranır.
• b) \( x \le 5 \)
  • Aralık Gösterimi: \( (-\infty, 5] \) 👉 \( 5 \) dahil olduğu için köşeli parantez, sonsuz her zaman parantez ile gösterilir.
  • Sayı Doğrusu: \( 5 \) noktasının içi dolu bir daire ile gösterilir ve \( 5 \)'in solundaki tüm sayılar taranır.
• c) \( -1 < x \le 3 \)
  • Aralık Gösterimi: \( (-1, 3] \) 👉 \( -1 \) dahil değil, \( 3 \) dahil.
  • Sayı Doğrusu: \( -1 \) noktasının içi boş, \( 3 \) noktasının içi dolu bir daire ile gösterilir ve bu iki nokta arasındaki tüm sayılar taranır.

• a) \( [-3, 2) \)
  • Eşitsizlik Gösterimi: \( -3 \le x < 2 \) 👉 \( -3 \) dahil olduğu için "küçük eşittir", \( 2 \) dahil olmadığı için "küçüktür" işareti kullanılır.
  • Bu aralıktaki tam sayılar: \( -3, -2, -1, 0, 1 \)
  • Tam sayıların toplamı: \( (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 = -5 \)
• b) \( (0, 4] \)
  • Eşitsizlik Gösterimi: \( 0 < x \le 4 \) 👉 \( 0 \) dahil olmadığı için "küçüktür", \( 4 \) dahil olduğu için "küçük eşittir" işareti kullanılır.
  • Bu aralıktaki tam sayılar: \( 1, 2, 3, 4 \)
  • Tam sayıların toplamı: \( 1 + 2 + 3 + 4 = 10 \)

• 👉 Verilen ifade \( \sqrt{x-4} \) olduğuna göre, kök içindeki \( x-4 \) ifadesi için eşitsizlik kurmalıyız:
• \[ x-4 \ge 0 \]
• 👉 Eşitsizliği çözmek için \( -4 \)'ü karşıya atalım:
• \[ x \ge 4 \]
• 👉 Bu eşitsizliği aralık gösterimiyle ifade edelim:
• \[ [4, \infty) \]

Buna göre, \( x \) değeri \( [4, \infty) \) aralığında olmalıdır.

• a) A ve B kümelerinin aralık gösterimi:
  • 👉 \( A = \{x \mid x \in \mathbb{R}, -5 < x < 1\} \) ifadesi, \( -5 \) ile \( 1 \) arasındaki gerçek sayıları (ikisi de dahil değil) ifade eder.
    Aralık gösterimi: \( A = (-5, 1) \)
  • 👉 \( B = \{x \mid x \in \mathbb{R}, 0 \le x < 3\} \) ifadesi, \( 0 \) ile \( 3 \) arasındaki gerçek sayıları (\( 0 \) dahil, \( 3 \) dahil değil) ifade eder.
    Aralık gösterimi: \( B = [0, 3) \)
• b) Hem A hem de B kümesinde bulunan tam sayılar:
  • 👉 Önce her iki aralığı da sayı doğrusunda hayal edelim veya çizelim.
  • 👉 \( A = (-5, 1) \) aralığındaki tam sayılar: \( -4, -3, -2, -1, 0 \)
  • 👉 \( B = [0, 3) \) aralığındaki tam sayılar: \( 0, 1, 2 \)
  • 👉 Her iki listede de ortak olan (yani hem A'da hem B'de bulunan) tam sayılar \( 0 \)'dır.

• 👉 Fırın sıcaklığı 200°C'nin üzerinde olmalı: Bu durum \( T > 200 \) eşitsizliği ile ifade edilir.
• 👉 Fırın sıcaklığı 230°C'ye eşit veya altında olmalı: Bu durum \( T \le 230 \) eşitsizliği ile ifade edilir.
• 👉 Bu iki koşulu birleştirirsek, sıcaklık için bileşik eşitsizlik şu şekilde olur: \[ 200 < T \le 230 \]
• 👉 Bu eşitsizliği aralık gösterimiyle yazalım: \[ (200, 230] \]

  Yani sıcaklık \( 200°C \) dahil değilken, \( 230°C \) dahil olacak şekilde bu aralıkta olmalıdır.

• 👉 Bu aralıktaki tam sayı sıcaklık değerlerini bulalım:
  • \( 200 \) dahil olmadığı için, en küçük tam sayı sıcaklık değeri \( 201°C \) olur.
  • \( 230 \) dahil olduğu için, en büyük tam sayı sıcaklık değeri \( 230°C \) olur.

Sonuç olarak, fırın sıcaklığı \( (200, 230] \) aralığında olmalı; bu aralıktaki en küçük tam sayı sıcaklık \( 201°C \), en büyük tam sayı sıcaklık ise \( 230°C \)'dir.

• 👉 Normal yaz günlerinde sıcaklıklar \( 25°C \) ile \( 35°C \) arasında değişiyor ve bu değerler dahil değil. Bu durumu aralık olarak \( (25, 35) \) şeklinde yazabiliriz.
• 👉 Aşırı sıcak günlerde sıcaklık \( 38°C \)'ye kadar çıkabiliyor ve bu durumda \( 38°C \) de bu aralığa dahil ediliyor.
• 👉 Bu, sıcaklığın alt sınırının \( 25°C \) (dahil değil) olduğunu, üst sınırının ise \( 38°C \) (dahil) olduğunu gösterir.
• 👉 Dolayısıyla, bu şehirdeki yaz aylarının genel sıcaklık aralığı, en düşük normal sıcaklık sınırından başlayıp en yüksek aşırı sıcaklık sınırına kadar uzanır.
• 👉 Bu durumda, genel sıcaklık aralığı \( (25, 38] \) olarak ifade edilir.

Bu şehirdeki yaz aylarının sıcaklık aralığı \( (25, 38] \) şeklindedir.

• ✅ a) Her doğal sayı bir tam sayıdır.
  • Doğal sayılar \( \{0, 1, 2, ...\} \) iken, tam sayılar \( \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\} \) kümesidir. Görüldüğü gibi her doğal sayı, tam sayılar kümesinin bir elemanıdır. Bu ifade doğrudur.
• ❌ b) Her rasyonel sayı bir irrasyonel sayıdır.
  • Rasyonel sayılar \( frac{a}{b} \) şeklinde yazılabilen sayılar iken, irrasyonel sayılar bu şekilde yazılamayan sayılardır. Bu iki küme birbirinden ayrıktır (kesişmez). Bu ifade yanlıştır.
• ✅ c) \( \sqrt{2} \) bir gerçek sayıdır.
  • \( \sqrt{2} \) karekök dışına tam çıkamadığı için bir irrasyonel sayıdır. İrrasyonel sayılar da gerçek sayılar kümesinin bir alt kümesidir. Bu ifade doğrudur.
• ✅ d) \( (-3, 0] \) aralığındaki en büyük tam sayı \( 0 \)'dır.
  • \( (-3, 0] \) aralığı \( -3 < x \le 0 \) eşitsizliğini ifade eder. Bu aralıktaki tam sayılar \( -2, -1, 0 \) şeklindedir. Bu tam sayılar arasında en büyüğü \( 0 \)'dır. Bu ifade doğrudur.