💡 9. Sınıf Matematik: Gerçek sayılar kümesinde aralıklar Çözümlü Örnekler

Bu aralık, -3 dahil ve 5 hariç olmak üzere tüm gerçek sayıları kapsar.
Sayı doğrusunda gösterim şu şekildedir:

• Başlangıç Noktası: Aralığın sol ucu -3'tür ve bu nokta dahildir. Bu nedenle eşitsizlikte küçük eşittir (\( \le \)) kullanılır.
• Bitiş Noktası: Aralığın sağ ucu 5'tir ve bu nokta dahil değildir. Bu nedenle eşitsizlikte küçük (<) kullanılır.
• Değişken: Aralıktaki sayılar için bir değişken (örneğin x) kullanılır.

Bu bilgilerle eşitsizlik sistemi şu şekilde yazılır:
\[ -3 \le x < 5 \] Bu, "x sayısı -3'e eşit veya -3'ten büyük ve 5'ten küçüktür" anlamına gelir. 💡

Bu aralık, 2'den büyük tüm gerçek sayıları ifade eder.

• Başlangıç Noktası: Aralığın sol ucu 2'dir ve bu nokta dahil değildir. Bu nedenle eşitsizlikte küçük (<) kullanılır.
• Bitiş Noktası: Aralığın sağ ucu sonsuzdur (\( \infty \)), bu da sayının sınırsızca devam ettiği anlamına gelir. Bu durumda sadece küçük (<) eşitsizliği kullanılır.

Dolayısıyla, eşitsizlik şu şekilde yazılır:
\[ x > 2 \] Bu, "x sayısı 2'den büyüktür" anlamına gelir. ✅

İki aralığın birleşimini bulmak için, her iki aralığı da kapsayan en geniş aralığı belirlememiz gerekir.

• A Kümesi: \( [-1, 3] \) aralığını temsil eder. Yani -1 dahil, 3 dahil.
• B Kümesi: \( (1, 5] \) aralığını temsil eder. Yani 1 hariç, 5 dahil.

Şimdi bu iki aralığı sayı doğrusunda birleştirelim:

• En küçük değer -1'dir ve A kümesinde dahildir.
• En büyük değer 5'tir ve B kümesinde dahildir.
• Aralıklar arasındaki boşlukları doldururuz. B kümesi 1'den başladığı için, A kümesindeki 3'ten sonraki sayılar da B kümesinde olduğu için birleşimde yer alır.

Bu durumda birleşim kümesi, en küçük değerden en büyük değere kadar olan tüm sayıları kapsar:
\[ A \cup B = [-1, 5] \] Yani, birleşim kümesi \( \{ x \mid x \in \mathbb{R}, -1 \le x \le 5 \} \) olur. 👉

İki aralığın kesişimini bulmak için, her iki aralıkta da ortak olan sayıları belirlememiz gerekir.

• A Kümesi: \( (-2, 4] \) aralığını temsil eder. Yani -2 hariç, 4 dahil.
• B Kümesi: \( [0, 6) \) aralığını temsil eder. Yani 0 dahil, 6 hariç.

Şimdi bu iki aralığın ortak kısmını sayı doğrusunda bulalım:

• A kümesi -2'den başlar ama dahil etmez. B kümesi 0'dan başlar ve dahil eder. Ortak kısım 0'dan başlar ve 0 dahildir.
• A kümesi 4'te biter ve dahil eder. B kümesi 6'da biter ama dahil etmez. Ortak kısım 4'te biter ve 4 dahildir (çünkü A kümesinde dahildir).

Bu durumda kesişim kümesi şu şekilde olur:
\[ A \cap B = [0, 4] \] Yani, kesişim kümesi \( \{ x \mid x \in \mathbb{R}, 0 \le x \le 4 \} \) olur. 📌

Bu problemde, verilen aralığın özelliklerini inceleyerek uzunluğunu ve tam sayı adedini bulacağız.

• Aralık: \( [-5, 10) \)
• Başlangıç Noktası: -5 (dahil)
• Bitiş Noktası: 10 (hariç)

1. Aralığın Uzunluğu:
Bir aralığın uzunluğu, bitiş noktasından başlangıç noktasının çıkarılmasıyla bulunur. Ancak, aralığın dahil olup olmaması uzunluğu etkilemez.

• Uzunluk = Bitiş Noktası - Başlangıç Noktası
• Uzunluk = \( 10 - (-5) \)
• Uzunluk = \( 10 + 5 \)
• Uzunluk = 15 birim

2. Aralıktaki Tam Sayı Adedi:
Aralıktaki tam sayıları bulmak için, başlangıç ve bitiş noktalarındaki dahil olma durumlarını göz önünde bulundururuz.

• Başlangıç: -5 (dahil)
• Bitiş: 10 (hariç)
• Aralıktaki tam sayılar: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Bu tam sayıları saydığımızda 15 tane olduğunu görürüz. Alternatif olarak, formül kullanabiliriz: (Büyük Tam Sayı - Küçük Tam Sayı) + 1 (eğer her iki uç da dahilse). Burada 10 hariç olduğu için, 9'a kadar alırız.

• Tam Sayı Adedi = (Son Dahil Tam Sayı) - (İlk Dahil Tam Sayı) + 1
• Tam Sayı Adedi = \( 9 - (-5) + 1 \)
• Tam Sayı Adedi = \( 9 + 5 + 1 \)
• Tam Sayı Adedi = 15 tane

Sonuç olarak, aralığın uzunluğu 15 birimdir ve bu aralıkta 15 tane tam sayı bulunmaktadır. 💡

Bu günlük hayat örneğinde, ürünün fiyatındaki değişimi bir aralık olarak göstereceğiz.

• Başlangıç Fiyatı: 20 TL
• Bitiş Fiyatı: 35 TL (dahil)

Kampanya döneminin başlangıcında fiyat 20 TL idi. Bu fiyat, kampanya başlangıcını temsil eder ve genellikle bu tür başlangıç noktaları dahil kabul edilir. Ancak soruda "20 TL'den 35 TL'ye yükselmiştir" ifadesi, 20 TL'nin başlangıç noktası olduğunu ancak fiyatın bu değerden itibaren artmaya başladığını ima eder. Eğer fiyatın 20 TL'den başlayıp 35 TL'ye kadar olan tüm değerleri kapsadığını düşünürsek, bu bir aralık belirtir.

Soruda "35 TL dahil" ifadesi net bir bilgi vermektedir. Eğer fiyatın 20 TL'den itibaren artış gösterdiği tüm değerleri kapsadığını varsayarsak ve 20 TL'nin başlangıç noktası olduğunu kabul edersek, aralık şu şekilde ifade edilebilir:

• Aralık: \( [20, 35] \)

Bu, ürünün fiyatının 20 TL'ye eşit veya 20 TL'den fazla ve 35 TL'ye eşit veya 35 TL'den az olduğunu gösterir. Yani, kampanya süresince ürünün fiyatı 20 TL ile 35 TL (her iki sınır dahil) arasında değişmiştir. 💰

Bu soruda, iki farklı yönde tanımlanmış aralıkların kesişimini bulacağız.

• A Kümesi: \( x \ge -7 \) olduğundan, bu küme \( [-7, \infty) \) aralığını temsil eder. Yani -7 dahil, sonsuza kadar gider.
• B Kümesi: \( x < 3 \) olduğundan, bu küme \( (-\infty, 3) \) aralığını temsil eder. Yani eksi sonsuzdan başlar, 3'e kadar gider ama 3 dahil değildir.

Şimdi bu iki aralığın ortak kısmını bulalım:

• A kümesi -7'den başlar ve sağa doğru gider.
• B kümesi 3'e kadar gelir ve soldan başlar.
• Ortak nokta, A kümesinin başladığı yer (-7 dahil) ile B kümesinin bittiği yer (3 hariç) arasındaki sayılardır.

Yani, kesişim kümesi şu şekilde olur:
\[ A \cap B = [-7, 3) \] Bu, \( \{ x \mid x \in \mathbb{R}, -7 \le x < 3 \} \) kümesine eşittir. 👉

Bu problemde, iki farklı aralıkta bulunan sayıların toplamının alabileceği aralığı bulacağız.

• x aralığı: \( [-4, 2] \)
• y aralığı: \( (-1, 5] \)

İki sayının toplamının alabileceği en küçük değeri bulmak için, her iki aralıktaki en küçük değerleri toplarız.

• En küçük x değeri: -4 (dahil)
• En küçük y değeri: -1 (hariç)
• Toplamın en küçük değeri: \( -4 + (-1) = -5 \). Bu değer, x dahil olduğu için toplamda da dahil olabilir mi diye kontrol etmeliyiz. x=-4 ve y'nin -1'e çok yakın bir değeri (örneğin -0.999) alması durumunda toplam -5'e çok yaklaşır. Ancak y'nin -1'i alamaması nedeniyle, toplam da -5'i tam olarak alamaz. Bu nedenle toplamın alt sınırı -5'ten büyük olacaktır.

İki sayının toplamının alabileceği en büyük değeri bulmak için, her iki aralıktaki en büyük değerleri toplarız.

• En büyük x değeri: 2 (dahil)
• En büyük y değeri: 5 (dahil)
• Toplamın en büyük değeri: \( 2 + 5 = 7 \). Bu değer hem x hem de y'de dahil olduğu için, toplamda da dahil olacaktır.

Bu bilgiler ışığında, \( x+y \) toplamının alabileceği aralık şu şekildedir:
\[ -5 < x+y \le 7 \] Yani, toplam \( (-5, 7] \) aralığında değer alır. ✅

Bu problemde, verilen sıcaklık bilgisini bir aralık olarak ifade edip, bu aralıktaki tam sayı değerlerini bulacağız.

• En Düşük Sıcaklık: \( -3^\circ C \) (dahil)
• En Yüksek Sıcaklık: \( 8^\circ C \) (hariç)

1. Sıcaklık Aralığının Matematiksel İfadesi:
En düşük sıcaklık dahil olduğu için \( \ge \) kullanılır. En yüksek sıcaklık hariç olduğu için \( < \) kullanılır.
Eğer \( T \) beklenen sıcaklığı temsil ediyorsa, aralık şu şekilde ifade edilir:
\[ -3 \le T < 8 \] Bu, beklenen sıcaklığın -3 dereceye eşit veya daha yüksek ve 8 dereceden düşük olduğunu gösterir. 🌡️

2. Aralıktaki Tam Sayı Sıcaklık Değeri Adedi:
Aralıktaki tam sayıları bulmak için, başlangıç ve bitiş noktalarındaki dahil olma durumlarını göz önünde bulundururuz.

• Başlangıç: -3 (dahil)
• Bitiş: 8 (hariç)
• Aralıktaki tam sayılar: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Bu tam sayıları saydığımızda 11 tane olduğunu görürüz. Alternatif olarak formül kullanabiliriz: (Son Dahil Tam Sayı) - (İlk Dahil Tam Sayı) + 1.

• Son dahil tam sayı: 7
• İlk dahil tam sayı: -3
• Tam Sayı Adedi = \( 7 - (-3) + 1 \)
• Tam Sayı Adedi = \( 7 + 3 + 1 \)
• Tam Sayı Adedi = 11 tane

Sonuç olarak, beklenen sıcaklık aralığı \( [-3, 8) \) olarak ifade edilir ve bu aralıkta 11 farklı tam sayı sıcaklık değeri olabilir. 💡