🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Gerçek sayılar, aralıklar ve küme işlemleri Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Gerçek sayılar, aralıklar ve küme işlemleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıdaki sayı kümelerinden hangisi gerçek sayılar kümesini ifade eder?
A) \( \mathbb{N} \) (Doğal Sayılar) B) \( \mathbb{Z} \) (Tam Sayılar) C) \( \mathbb{Q} \) (Rasyonel Sayılar) D) \( \mathbb{R} \) (Gerçek Sayılar)
A) \( \mathbb{N} \) (Doğal Sayılar) B) \( \mathbb{Z} \) (Tam Sayılar) C) \( \mathbb{Q} \) (Rasyonel Sayılar) D) \( \mathbb{R} \) (Gerçek Sayılar)
Çözüm:
Gerçek sayılar kümesi, hem rasyonel hem de irrasyonel sayıları kapsayan en geniş sayı kümesidir. Sembolü \( \mathbb{R} \) ile gösterilir.
- Doğal sayılar \( \mathbb{N} = \{0, 1, 2, ...\} \).
- Tam sayılar \( \mathbb{Z} = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\} \).
- Rasyonel sayılar \( \mathbb{Q} = \{ \frac{a}{b} \mid a, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0 \} \).
- İrrasyonel sayılar \( \mathbb{I} \) ise \( \pi, \sqrt{2} \) gibi tam olarak yazılamayan sayılardır.
Örnek 2:
\( A = \{1, 2, 3, 4\} \) ve \( B = \{3, 4, 5, 6\} \) kümeleri veriliyor.
Buna göre, \( A \cup B \) kümesini bulunuz.
Buna göre, \( A \cup B \) kümesini bulunuz.
Çözüm:
İki kümenin birleşimi ( \( \cup \) ), her iki kümede de bulunan elemanların bir araya getirilmesiyle oluşturulur. Tekrar eden elemanlar kümede sadece bir kez yazılır.
A kümesinin elemanları: 1, 2, 3, 4
B kümesinin elemanları: 3, 4, 5, 6
Her iki kümedeki tüm elemanları birleştirirsek: 1, 2, 3, 4, 5, 6
Dolayısıyla, \( A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \) olur. ✅
A kümesinin elemanları: 1, 2, 3, 4
B kümesinin elemanları: 3, 4, 5, 6
Her iki kümedeki tüm elemanları birleştirirsek: 1, 2, 3, 4, 5, 6
Dolayısıyla, \( A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \) olur. ✅
Örnek 3:
\( A = \{1, 2, 3, 4\} \) ve \( B = \{3, 4, 5, 6\} \) kümeleri veriliyor.
Buna göre, \( A \cap B \) kümesini bulunuz.
Buna göre, \( A \cap B \) kümesini bulunuz.
Çözüm:
İki kümenin kesişimi ( \( \cap \) ), her iki kümede de ortak olarak bulunan elemanlardan oluşur.
A kümesinin elemanları: 1, 2, 3, 4
B kümesinin elemanları: 3, 4, 5, 6
Her iki kümede de ortak olan elemanlar 3 ve 4'tür.
Dolayısıyla, \( A \cap B = \{3, 4\} \) olur. 👉
A kümesinin elemanları: 1, 2, 3, 4
B kümesinin elemanları: 3, 4, 5, 6
Her iki kümede de ortak olan elemanlar 3 ve 4'tür.
Dolayısıyla, \( A \cap B = \{3, 4\} \) olur. 👉
Örnek 4:
Sayı doğrusunda gösterilen \( [-2, 5) \) aralığını ifade eden küme aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( \{x \mid x \in \mathbb{R}, -2 \le x < 5\} \) B) \( \{x \mid x \in \mathbb{R}, -2 < x < 5\} \) C) \( \{x \mid x \in \mathbb{R}, -2 \le x \le 5\} \) D) \( \{x \mid x \in \mathbb{R}, -2 < x \le 5\} \)
A) \( \{x \mid x \in \mathbb{R}, -2 \le x < 5\} \) B) \( \{x \mid x \in \mathbb{R}, -2 < x < 5\} \) C) \( \{x \mid x \in \mathbb{R}, -2 \le x \le 5\} \) D) \( \{x \mid x \in \mathbb{R}, -2 < x \le 5\} \)
Çözüm:
Aralık gösterimi, sayı doğrusunda belirli bir başlangıç ve bitiş noktası arasındaki tüm gerçek sayıları ifade eder.
Yani, \( -2 \le x < 5 \).
Bu nedenle doğru cevap A seçeneğidir. 📌
- Köşeli parantez \( [ \) veya \( ] \) o noktadaki sayının aralığa dahil olduğunu gösterir.
- Normal parantez \( ( \) veya \( ) \) o noktadaki sayının aralığa dahil olmadığını gösterir.
- -2 sayısı dahildir (köşeli parantez).
- 5 sayısı dahil değildir (normal parantez).
Yani, \( -2 \le x < 5 \).
Bu nedenle doğru cevap A seçeneğidir. 📌
Örnek 5:
\( A = (-\infty, 3] \) ve \( B = [1, \infty) \) aralıkları veriliyor.
Buna göre, \( A \cap B \) kesişimini bulunuz.
Buna göre, \( A \cap B \) kesişimini bulunuz.
Çözüm:
İki aralığın kesişimini bulmak için sayı doğrusunu düşünebiliriz.
Bu sayılar \( 1 \le x \le 3 \) şeklinde ifade edilir.
Aralık gösterimiyle bu küme \( [1, 3] \) olur. ✅
- \( A = (-\infty, 3] \) aralığı, 3'ten küçük veya eşit tüm gerçek sayıları kapsar.
- \( B = [1, \infty) \) aralığı, 1'den büyük veya eşit tüm gerçek sayıları kapsar.
Bu sayılar \( 1 \le x \le 3 \) şeklinde ifade edilir.
Aralık gösterimiyle bu küme \( [1, 3] \) olur. ✅
Örnek 6:
Bir manav, elmaların fiyatını önce %20 artırmış, sonra da indirimli satış yapmak için fiyatı %10 azaltmıştır.
Başlangıçta 10 TL olan bir elma, bu işlemler sonucunda son olarak kaç TL olur?
Başlangıçta 10 TL olan bir elma, bu işlemler sonucunda son olarak kaç TL olur?
Çözüm:
Bu tür yüzdelik değişim problemlerinde, her adımda bir önceki fiyat üzerinden hesaplama yaparız.
Başlangıç fiyatı: 10 TL
Başlangıç fiyatı: 10 TL
- Adım 1: Fiyatı %20 Artırma
- Artış miktarı: \( 10 \text{ TL} \times \frac{20}{100} = 2 \text{ TL} \)
- Yeni fiyat: \( 10 \text{ TL} + 2 \text{ TL} = 12 \text{ TL} \)
- Adım 2: Fiyatı %10 Azaltma
- Azalış miktarı (yeni fiyat üzerinden): \( 12 \text{ TL} \times \frac{10}{100} = 1.2 \text{ TL} \)
- Son fiyat: \( 12 \text{ TL} - 1.2 \text{ TL} = 10.8 \text{ TL} \)
Örnek 7:
Bir matematik öğretmeni, tahtaya bir \( A \) kümesi yazıyor: \( A = \{x \mid x, 100'den küçük pozitif tam sayılar ve 7'nin katları\} \).
Öğretmen daha sonra bu kümenin kaç elemanlı olduğunu soruyor. Buna göre, \( A \) kümesinin eleman sayısı kaçtır?
Öğretmen daha sonra bu kümenin kaç elemanlı olduğunu soruyor. Buna göre, \( A \) kümesinin eleman sayısı kaçtır?
Çözüm:
Bu problemde, 100'den küçük ve 7'nin katı olan pozitif tam sayıları bulmamız gerekiyor.
- Adım 1: Kümenin Tanımını Anlama
- Pozitif tam sayılar: \( 1, 2, 3, ... \)
- 100'den küçük: Sayıların 99 veya daha az olması gerekiyor.
- 7'nin katları: Sayıların \( 7k \) şeklinde olması gerekiyor, burada \( k \) pozitif bir tam sayıdır.
- Adım 2: 7'nin Katlarını Belirleme
- En küçük 7'nin katı olan pozitif tam sayı: \( 7 \times 1 = 7 \)
- En büyük 7'nin katı olan 100'den küçük tam sayı: \( 7 \times k < 100 \)
- Bu eşitsizliği çözersek: \( k < \frac{100}{7} \approx 14.28 \)
- \( k \) bir tam sayı olduğu için, \( k \) en fazla 14 olabilir.
- Yani, en büyük 7'nin katı \( 7 \times 14 = 98 \)'dir.
- Adım 3: Eleman Sayısını Hesaplama
- \( k \) değeri 1'den 14'e kadar tüm tam sayı değerlerini alabilir.
- Bu, kümede \( 14 - 1 + 1 = 14 \) farklı 7'nin katı olduğu anlamına gelir.
Örnek 8:
\( x \) ve \( y \) birer gerçek sayıdır.
\( x \in [2, 7) \) ve \( y \in (3, 9] \) olduğuna göre, \( x+y \) toplamının alabileceği en geniş aralığı bulunuz.
\( x \in [2, 7) \) ve \( y \in (3, 9] \) olduğuna göre, \( x+y \) toplamının alabileceği en geniş aralığı bulunuz.
Çözüm:
İki aralıkta tanımlı sayıların toplamının alabileceği en geniş aralığı bulmak için, alt sınırların toplamı ve üst sınırların toplamına bakarız.
Bu durum \( 5 < x+y < 16 \) şeklinde ifade edilir.
Alabileceği en geniş aralık \( (5, 16) \) olur. 📈
- Alt Sınırların Toplamı:
- \( x \)'in en küçük değeri 2'dir (dahil).
- \( y \)'nin en küçük değeri 3'ten büyüktür (dahil değil).
- Bu nedenle, \( x+y \) toplamının en küçük değeri 2 + 3'ten büyük olacaktır.
- Yani, alt sınır \( 5 \) olur ama dahil değildir.
- Üst Sınırların Toplamı:
- \( x \)'in en büyük değeri 7'den küçüktür (dahil değil).
- \( y \)'nin en büyük değeri 9'dur (dahil).
- Bu nedenle, \( x+y \) toplamının en büyük değeri 7 + 9'dan küçük olacaktır.
- Yani, üst sınır \( 16 \) olur ama dahil değildir.
Bu durum \( 5 < x+y < 16 \) şeklinde ifade edilir.
Alabileceği en geniş aralık \( (5, 16) \) olur. 📈
Örnek 9:
\( \mathbb{Q} \) rasyonel sayılar kümesini ve \( \mathbb{I} \) irrasyonel sayılar kümesini temsil etmektedir.
Aşağıdaki sayılardan hangisi irrasyonel bir sayıdır?
A) \( \frac{3}{4} \) B) \( \sqrt{9} \) C) \( \pi \) D) \( 5 \)
Aşağıdaki sayılardan hangisi irrasyonel bir sayıdır?
A) \( \frac{3}{4} \) B) \( \sqrt{9} \) C) \( \pi \) D) \( 5 \)
Çözüm:
İrrasyonel sayılar, tam olarak kesir şeklinde yazılamayan veya ondalık gösterimi sonsuza kadar devam eden ve tekrar etmeyen sayılardır.
- A) \( \frac{3}{4} \) bir kesirdir, dolayısıyla rasyoneldir.
- B) \( \sqrt{9} = 3 \) tam sayısıdır, dolayısıyla rasyoneldir.
- C) \( \pi \) sayısı, ondalık gösterimi \( 3.14159... \) şeklinde devam eden ve tekrar etmeyen bir irrasyonel sayıdır.
- D) \( 5 \) tam sayısıdır, dolayısıyla rasyoneldir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-gercek-sayilar-araliklar-ve-kume-islemleri/sorular