🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Gerçek Sayı Aralıklarının Gösteriminde Ve Aralıklarla İlgili İşlemlerde Küme Sembol Ve İşlemleri Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Gerçek Sayı Aralıklarının Gösteriminde Ve Aralıklarla İlgili İşlemlerde Küme Sembol Ve İşlemleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Örnek 1:
Aşağıdaki eşitsizliği aralık ve küme sembolleriyle gösteriniz. Ayrıca, bu aralığı sayı doğrusu üzerinde belirtiniz. 📏
\( -3 < x \le 5 \)
Aşağıdaki eşitsizliği aralık ve küme sembolleriyle gösteriniz. Ayrıca, bu aralığı sayı doğrusu üzerinde belirtiniz. 📏
\( -3 < x \le 5 \)
Çözüm:
Bu eşitsizlik, \( -3 \) ile \( 5 \) arasındaki gerçek sayıları ifade eder. \( -3 \) dahil değildir (açık aralık), \( 5 \) ise dahildir (kapalı aralık).
👉 Çözüm Adımları:
👉 Çözüm Adımları:
- Aralık Gösterimi: \( x \) değerleri \( -3 \) ile \( 5 \) arasındadır. \( -3 \) dahil olmadığı için yuvarlak parantez, \( 5 \) dahil olduğu için köşeli parantez kullanılır. Bu, yarı açık aralık olarak adlandırılır.
- Aralık gösterimi: \( (-3, 5] \)
- Küme Sembolleriyle Gösterimi: Bu gösterimde, aralığın hangi kümenin elemanı olduğu ve hangi koşulu sağladığı belirtilir.
- Küme gösterimi: \( \{ x \mid x \in \mathbb{R}, -3 < x \le 5 \} \)
- Sayı Doğrusu Üzerinde Gösterimi:
- Sayı doğrusunda \( -3 \) noktasını boş bir daire ile işaretleyin (dahil değil).
- Sayı doğrusunda \( 5 \) noktasını dolu bir daire ile işaretleyin (dahil).
- Bu iki nokta arasındaki kısmı kalın bir çizgiyle belirtin.
Örnek 2:
Örnek 2:
Aşağıda verilen \( A \) ve \( B \) aralıklarının kesişim kümesini (\( A \cap B \)) bulunuz. intersections
\( A = [-2, 4) \)
\( B = (1, 6] \)
Aşağıda verilen \( A \) ve \( B \) aralıklarının kesişim kümesini (\( A \cap B \)) bulunuz. intersections
\( A = [-2, 4) \)
\( B = (1, 6] \)
Çözüm:
İki aralığın kesişimi, her iki aralıkta da ortak olan sayıları ifade eder. Bu, sayı doğrusu üzerinde iki aralığın üst üste geldiği bölgeyi bulmak anlamına gelir.
👉 Çözüm Adımları:
👉 Çözüm Adımları:
- Aralıkları Sayı Doğrusunda Düşünelim:
- \( A = [-2, 4) \): \( -2 \) dahil, \( 4 \) dahil değil.
- \( B = (1, 6] \): \( 1 \) dahil değil, \( 6 \) dahil.
- Ortak Bölgeyi Bulma:
- Sol sınırlara bakıldığında, \( A \) kümesi \( -2 \) den başlar, \( B \) kümesi \( 1 \) den sonra başlar. Ortak bölgenin başlangıcı, daha büyük olan sol sınırdır: \( 1 \). \( 1 \) dahil değildir çünkü \( B \) kümesinde dahil değildir.
- Sağ sınırlara bakıldığında, \( A \) kümesi \( 4 \) ten önce biter, \( B \) kümesi \( 6 \) da biter. Ortak bölgenin bitişi, daha küçük olan sağ sınırdır: \( 4 \). \( 4 \) dahil değildir çünkü \( A \) kümesinde dahil değildir.
- Kesişim Kümesi: Ortak bölge \( 1 \) ile \( 4 \) arasındaki sayılardır.
- \( A \cap B = (1, 4) \)
Örnek 3:
Örnek 3:
Aşağıda verilen \( C \) ve \( D \) aralıklarının birleşim kümesini (\( C \cup D \)) bulunuz. 🤝
\( C = [-5, 2] \)
\( D = (0, 7) \)
Aşağıda verilen \( C \) ve \( D \) aralıklarının birleşim kümesini (\( C \cup D \)) bulunuz. 🤝
\( C = [-5, 2] \)
\( D = (0, 7) \)
Çözüm:
İki aralığın birleşimi, en az bir aralıkta bulunan tüm sayıları ifade eder. Bu, sayı doğrusu üzerinde iki aralığın kapladığı toplam alanı bulmak anlamına gelir.
👉 Çözüm Adımları:
👉 Çözüm Adımları:
- Aralıkları Sayı Doğrusunda Düşünelim:
- \( C = [-5, 2] \): \( -5 \) dahil, \( 2 \) dahil.
- \( D = (0, 7) \): \( 0 \) dahil değil, \( 7 \) dahil değil.
- Birleşim Bölgesini Bulma:
- Birleşim kümesinin başlangıcı, iki aralığın sol sınırlarındaki en küçük değer olacaktır: \( -5 \). \( -5 \) dahil çünkü \( C \) kümesinde dahil.
- Birleşim kümesinin bitişi, iki aralığın sağ sınırlarındaki en büyük değer olacaktır: \( 7 \). \( 7 \) dahil değil çünkü \( D \) kümesinde dahil değil.
- Birleşim Kümesi: Tüm bu aralıkları kapsayan en geniş aralık \( -5 \) ile \( 7 \) arasındaki sayılardır.
- \( C \cup D = [-5, 7) \)
Örnek 4:
Örnek 4:
\( E = [-1, 8) \) ve \( F = [3, 10] \) kümeleri veriliyor. Buna göre \( E \setminus F \) fark kümesini bulunuz. ➖
\( E = [-1, 8) \) ve \( F = [3, 10] \) kümeleri veriliyor. Buna göre \( E \setminus F \) fark kümesini bulunuz. ➖
Çözüm:
\( E \setminus F \) fark kümesi, \( E \) kümesinde olup \( F \) kümesinde olmayan elemanlardan oluşur. Başka bir deyişle, \( E \) kümesinden \( E \cap F \) kümesi çıkarılır.
👉 Çözüm Adımları:
👉 Çözüm Adımları:
- Önce Kesişim Kümesini Bulalım (\( E \cap F \)):
- \( E = [-1, 8) \), \( F = [3, 10] \)
- Kesişim için sol sınırlardan büyüğü: \( 3 \) (dahil).
- Kesişim için sağ sınırlardan küçüğü: \( 8 \) (dahil değil).
- Yani, \( E \cap F = [3, 8) \)
- Şimdi \( E \setminus F \) Fark Kümesini Bulalım:
- \( E \) kümesi \( [-1, 8) \) aralığıdır.
- Bu aralıktan \( [3, 8) \) aralığını çıkarmamız gerekiyor.
- \( [-1, 8) \) aralığından \( [3, 8) \) aralığını çıkardığımızda, geriye \( -1 \) ile \( 3 \) arasındaki sayılar kalır.
- \( -1 \) hala dahildir.
- \( 3 \) ise \( E \cap F \) içinde olduğu için \( E \setminus F \) kümesinden çıkarılır. Bu yüzden \( 3 \) dahil değildir.
- Fark Kümesi: \( E \setminus F = [-1, 3) \)
Örnek 5:
Örnek 5:
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı \( A = \{ x \mid x \in \mathbb{R}, x < 5 \} \) ve \( B = \{ x \mid x \in \mathbb{R}, x \ge -1 \} \) kümeleri veriliyor. Buna göre \( A \cap B \) kümesini bulunuz ve aralık şeklinde gösteriniz. 🎯
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı \( A = \{ x \mid x \in \mathbb{R}, x < 5 \} \) ve \( B = \{ x \mid x \in \mathbb{R}, x \ge -1 \} \) kümeleri veriliyor. Buna göre \( A \cap B \) kümesini bulunuz ve aralık şeklinde gösteriniz. 🎯
Çözüm:
Bu örnekte, kümeler eşitsizlikler şeklinde verilmiştir. İlk adım, bu eşitsizlikleri aralık gösterimine çevirmektir.
👉 Çözüm Adımları:
👉 Çözüm Adımları:
- Kümeleri Aralık Şeklinde Yazalım:
- \( A = \{ x \mid x \in \mathbb{R}, x < 5 \} \): Bu, \( 5 \) ten küçük tüm gerçek sayılar demektir. Yani \( (-\infty, 5) \).
- \( B = \{ x \mid x \in \mathbb{R}, x \ge -1 \} \): Bu, \( -1 \) e eşit veya büyük tüm gerçek sayılar demektir. Yani \( [-1, \infty) \).
- Kesişim Kümesini Bulalım (\( A \cap B \)):
- \( A = (-\infty, 5) \)
- \( B = [-1, \infty) \)
- Kesişim için sol sınırlardan büyüğü: \( -1 \) (dahil).
- Kesişim için sağ sınırlardan küçüğü: \( 5 \) (dahil değil).
- Kesişim Kümesi: \( A \cap B = [-1, 5) \)
Örnek 6:
Örnek 6:
Bir inşaat mühendisi, bir yolun belirli bir bölümünün eğimini ölçmektedir. Güvenlik standartlarına göre, yolun eğimi (yüzde olarak) en az \( -5 % \) ve en fazla \( 8 % \) olmalıdır. Ancak, bölgedeki toprak yapısı nedeniyle, eğimin \( 0 % \) ile \( 2 % \) (dahil) arasında olması kesinlikle yasaktır. 🚧
Bu yolun eğiminin güvenli ve yapılabilecek aralığını küme sembolleri ve aralık gösterimiyle ifade ediniz.
Bir inşaat mühendisi, bir yolun belirli bir bölümünün eğimini ölçmektedir. Güvenlik standartlarına göre, yolun eğimi (yüzde olarak) en az \( -5 % \) ve en fazla \( 8 % \) olmalıdır. Ancak, bölgedeki toprak yapısı nedeniyle, eğimin \( 0 % \) ile \( 2 % \) (dahil) arasında olması kesinlikle yasaktır. 🚧
Bu yolun eğiminin güvenli ve yapılabilecek aralığını küme sembolleri ve aralık gösterimiyle ifade ediniz.
Çözüm:
Bu problem, belirli bir aralıktan başka bir aralığın çıkarılmasını (fark işlemi) gerektiren bir günlük hayat senaryosudur.
👉 Çözüm Adımları:
👉 Çözüm Adımları:
- Güvenlik Standardı Aralığını Belirleyelim (G):
- Eğim en az \( -5 % \) ve en fazla \( 8 % \) olmalıdır.
- Bu aralık \( [-5, 8] \) olarak gösterilir.
- Yasaklı Eğim Aralığını Belirleyelim (Y):
- Eğim \( 0 % \) ile \( 2 % \) (dahil) arasında olması yasaktır.
- Bu aralık \( [0, 2] \) olarak gösterilir.
- Güvenli ve Yapılabilecek Eğim Aralığını Bulalım:
- Bu, güvenlik standardı aralığından yasaklı aralığın çıkarılması anlamına gelir: \( G \setminus Y \).
- \( [-5, 8] \setminus [0, 2] \)
- \( [-5, 8] \) aralığından \( [0, 2] \) aralığını çıkardığımızda, iki ayrı aralık elde ederiz:
- Birinci kısım: \( -5 \) ile \( 0 \) arasındaki sayılar. \( -5 \) dahil, \( 0 \) dahil değil (çünkü \( 0 \) yasaklı aralıkta). Bu aralık \( [-5, 0) \) dir.
- İkinci kısım: \( 2 \) ile \( 8 \) arasındaki sayılar. \( 2 \) dahil değil (çünkü \( 2 \) yasaklı aralıkta), \( 8 \) dahil. Bu aralık \( (2, 8] \) dir.
- Sonuç: Güvenli ve yapılabilecek eğim aralığı bu iki aralığın birleşimidir.
- Aralık gösterimi: \( [-5, 0) \cup (2, 8] \)
- Küme sembolleriyle gösterim: \( \{ x \mid x \in \mathbb{R}, (-5 \le x < 0) \text{ veya } (2 < x \le 8) \} \)
Örnek 7:
Örnek 7:
Bir şehirdeki otobüs bilet fiyatları, öğrenci ve tam bilet olmak üzere iki farklı tarifeye sahiptir. 🚌
Öğrenci biletleri için yaş sınırı en az 6, en fazla 25 yaş (dahil) arasındadır.
Tam biletler için yaş sınırı ise en az 18, en fazla 65 yaş (dahil) arasındadır.
Hem öğrenci hem de tam bilet alabilme hakkına sahip kişilerin yaş aralığını (yani her iki koşulu da sağlayan yaşları) bulunuz.
Bir şehirdeki otobüs bilet fiyatları, öğrenci ve tam bilet olmak üzere iki farklı tarifeye sahiptir. 🚌
Öğrenci biletleri için yaş sınırı en az 6, en fazla 25 yaş (dahil) arasındadır.
Tam biletler için yaş sınırı ise en az 18, en fazla 65 yaş (dahil) arasındadır.
Hem öğrenci hem de tam bilet alabilme hakkına sahip kişilerin yaş aralığını (yani her iki koşulu da sağlayan yaşları) bulunuz.
Çözüm:
Bu örnek, iki farklı koşulun aynı anda sağlanmasını gerektiren bir durumdur, bu da kesişim işlemiyle çözülür.
👉 Çözüm Adımları:
👉 Çözüm Adımları:
- Öğrenci Bilet Yaş Aralığını (Ö) Belirleyelim:
- En az 6, en fazla 25 yaş (dahil).
- \( \text{Ö} = [6, 25] \)
- Tam Bilet Yaş Aralığını (T) Belirleyelim:
- En az 18, en fazla 65 yaş (dahil).
- \( \text{T} = [18, 65] \)
- Her İki Koşulu da Sağlayan Yaş Aralığını Bulalım (Kesişim):
- Hem öğrenci hem de tam bilet alabilen kişiler, her iki aralığın kesişiminde yer alan yaşlara sahip olmalıdır: \( \text{Ö} \cap \text{T} \).
- \( [6, 25] \cap [18, 65] \)
- Kesişim için sol sınırlardan büyüğü: \( 18 \) (dahil).
- Kesişim için sağ sınırlardan küçüğü: \( 25 \) (dahil).
- Sonuç: Hem öğrenci hem de tam bilet alabilme hakkına sahip kişilerin yaş aralığı \( [18, 25] \) dir.
- Küme sembolleriyle gösterim: \( \{ \text{yaş} \mid \text{yaş} \in \mathbb{R}, 18 \le \text{yaş} \le 25 \} \)
Örnek 8:
Örnek 8:
Verilen üç aralık için aşağıdaki işlemi gerçekleştiriniz: 🧠
\( A = [-4, 5) \)
\( B = [1, 7] \)
\( C = (3, 6) \)
Buna göre, \( (A \cup B) \setminus C \) işleminin sonucunu bulunuz.
Verilen üç aralık için aşağıdaki işlemi gerçekleştiriniz: 🧠
\( A = [-4, 5) \)
\( B = [1, 7] \)
\( C = (3, 6) \)
Buna göre, \( (A \cup B) \setminus C \) işleminin sonucunu bulunuz.
Çözüm:
Bu örnek, birden fazla aralık işlemi içeren karmaşık bir problemdir. İşlem önceliğine dikkat ederek adımlar halinde çözülmelidir.
👉 Çözüm Adımları:
👉 Çözüm Adımları:
- Adım 1: Önce \( A \cup B \) işlemini yapalım.
- \( A = [-4, 5) \)
- \( B = [1, 7] \)
- Birleşim için sol sınırlardan küçüğü: \( -4 \) (dahil).
- Birleşim için sağ sınırlardan büyüğü: \( 7 \) (dahil).
- Dolayısıyla, \( A \cup B = [-4, 7] \)
- Adım 2: Şimdi \( (A \cup B) \setminus C \) işlemini yapalım.
- Bulduğumuz \( A \cup B \) kümesi \( [-4, 7] \).
- \( C \) kümesi \( (3, 6) \).
- \( [-4, 7] \setminus (3, 6) \) işlemini yapmalıyız. Bu, \( [-4, 7] \) aralığından \( (3, 6) \) aralığını çıkarmak demektir.
- \( [-4, 7] \) aralığından \( (3, 6) \) aralığını çıkardığımızda, geriye iki ayrı aralık kalır:
- Birinci kısım: \( -4 \) ile \( 3 \) arasındaki sayılar. \( -4 \) dahil, \( 3 \) dahil (çünkü \( 3 \) \( (3,6) \) içinde değil, yani çıkarılan kısımda değil). Bu aralık \( [-4, 3] \) dir.
- İkinci kısım: \( 6 \) ile \( 7 \) arasındaki sayılar. \( 6 \) dahil (çünkü \( 6 \) \( (3,6) \) içinde değil, yani çıkarılan kısımda değil), \( 7 \) dahil. Bu aralık \( [6, 7] \) dir.
- Sonuç: \( (A \cup B) \setminus C \) işleminin sonucu bu iki aralığın birleşimidir.
- Aralık gösterimi: \( [-4, 3] \cup [6, 7] \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-gercek-sayi-araliklarinin-gosteriminde-ve-araliklarla-ilgili-islemlerde-kume-sembol-ve-islemleri/sorular