🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Gerçek Sayı Aralıklarının Gösterimi Ve Aralıklarla İlgili İşlemlerde Kümeler Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Gerçek Sayı Aralıklarının Gösterimi Ve Aralıklarla İlgili İşlemlerde Kümeler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
💡 Aşağıdaki eşitsizliği sayı doğrusunda gösteriniz ve aralık biçiminde ifade ediniz:
\( -3 \le x < 5 \)
\( -3 \le x < 5 \)
Çözüm:
Bu eşitsizlik, \( x \) sayısının \( -3 \) ile \( 5 \) arasında olduğunu ifade eder. Ancak, \( -3 \) dahilken, \( 5 \) dahil değildir. İşte adımlar:
- 1. Sayı Doğrusunda Gösterim:
👉 Sayı doğrusu üzerinde \( -3 \) noktasını kapalı bir nokta (dolu daire) ile, \( 5 \) noktasını ise açık bir nokta (boş daire) ile işaretleriz. Ardından bu iki nokta arasındaki kısmı kalın bir çizgi ile birleştiririz. Bu, \( -3 \)'ün aralığa dahil olduğunu, \( 5 \)'in ise dahil olmadığını gösterir. - 2. Aralık Biçiminde İfade:
👉 Eşitsizlikte \( \le \) işareti kapalı aralığı, \( < \) işareti ise açık aralığı temsil eder. Bu durumda, aralık gösterimi şu şekildedir:
\[ [-3, 5) \] ✅ Yani, \( x \) sayısı \( -3 \) ile \( 5 \) arasındaki tüm gerçek sayılardır, \( -3 \) dahil, \( 5 \) hariçtir.
Örnek 2:
📌 Küme gösterimi \( \{ x \mid x \in \mathbb{R}, x > -2 \} \) olan gerçek sayı aralığını bulunuz ve sayı doğrusunda gösteriniz.
Çözüm:
Bu küme gösterimi, \( x \) gerçek sayısının \( -2 \)'den büyük olduğunu ifade eder. Yani \( -2 \) dahil değildir ve \( x \) sonsuza kadar gider.
- 1. Aralık Biçiminde İfade:
👉 \( x > -2 \) eşitsizliği, \( -2 \) noktasının dahil olmadığı ve sağa doğru sonsuza uzanan bir aralığı gösterir. Bu aralık şu şekilde yazılır:
\[ (-2, \infty) \] - 2. Sayı Doğrusunda Gösterim:
👉 Sayı doğrusu üzerinde \( -2 \) noktasını açık bir nokta (boş daire) ile işaretleriz. Ardından \( -2 \)'nin sağındaki tüm sayıları temsil etmek için bu noktadan sağa doğru sonsuza uzanan bir ok çizeriz. Bu ok, \( -2 \)'den büyük tüm gerçek sayıların aralığa dahil olduğunu belirtir.
Örnek 3:
🔢 \( A = [-4, 7) \) ve \( B = (1, 10] \) gerçek sayı aralıkları veriliyor. Buna göre \( A \cup B \) kümesini bulunuz.
Çözüm:
İki aralığın birleşimi (\( A \cup B \)), her iki aralıkta bulunan tüm sayıları kapsayan en geniş aralıktır. Adımları takip edelim:
- 1. Aralıkları Sayı Doğrusunda Görselleştirme:
👉 \( A = [-4, 7) \) aralığı \( -4 \) dahil, \( 7 \) hariçtir.
👉 \( B = (1, 10] \) aralığı \( 1 \) hariç, \( 10 \) dahildir. - 2. Birleşimi Bulma:
👉 Birleşim işlemi için en soldaki başlangıç noktasından en sağdaki bitiş noktasına kadar olan tüm aralığı alırız.
Aralık A'nın başlangıcı: \( -4 \) (dahil)
Aralık B'nin başlangıcı: \( 1 \) (hariç)
Bu ikisinden en küçüğü \( -4 \)'tür ve dahildir.
Aralık A'nın bitişi: \( 7 \) (hariç)
Aralık B'nin bitişi: \( 10 \) (dahil)
Bu ikisinden en büyüğü \( 10 \)'dur ve dahildir. - 3. Sonucu Yazma:
✅ Bu durumda, \( A \cup B \) kümesi \( -4 \) ile \( 10 \) arasındaki tüm gerçek sayıları kapsar, \( -4 \) dahil ve \( 10 \) dahildir. Yani,
\[ A \cup B = [-4, 10] \]
Örnek 4:
🧩 \( A = (-5, 3] \) ve \( B = [0, 6) \) gerçek sayı aralıkları veriliyor. Buna göre \( A \cap B \) kümesini bulunuz.
Çözüm:
İki aralığın kesişimi (\( A \cap B \)), her iki aralıkta da ortak olarak bulunan sayıları içeren aralıktır. Adımları inceleyelim:
- 1. Aralıkları Sayı Doğrusunda Düşünme:
👉 \( A = (-5, 3] \) aralığı \( -5 \) hariç, \( 3 \) dahildir.
👉 \( B = [0, 6) \) aralığı \( 0 \) dahil, \( 6 \) hariçtir. - 2. Kesişimi Belirleme:
👉 Kesişim işlemi için her iki aralığın da ortak olarak başladığı en büyük başlangıç noktasını ve ortak olarak bittiği en küçük bitiş noktasını alırız.
Aralık A'nın başlangıcı: \( -5 \) (hariç)
Aralık B'nin başlangıcı: \( 0 \) (dahil)
Bu ikisinden ortak olan kısım \( 0 \) noktasından başlar ve \( 0 \) dahildir. (\( \max(-5, 0) = 0 \))
Aralık A'nın bitişi: \( 3 \) (dahil)
Aralık B'nin bitişi: \( 6 \) (hariç)
Bu ikisinden ortak olan kısım \( 3 \) noktasında biter ve \( 3 \) dahildir. (\( \min(3, 6) = 3 \)) - 3. Sonucu Yazma:
✅ Bu durumda, \( A \cap B \) kümesi \( 0 \) ile \( 3 \) arasındaki tüm gerçek sayıları kapsar, \( 0 \) dahil ve \( 3 \) dahildir. Yani,
\[ A \cap B = [0, 3] \]
Örnek 5:
🔍 \( K = [-2, 8] \) ve \( L = (5, 12) \) gerçek sayı aralıkları veriliyor. Buna göre \( K \setminus L \) kümesini bulunuz.
Çözüm:
İki aralığın farkı (\( K \setminus L \)), \( K \) aralığında olup \( L \) aralığında olmayan sayıları içeren kümedir. Yani \( K \) kümesinden \( K \cap L \) kümesini çıkarırız.
- 1. Aralıkları Sayı Doğrusunda Görselleştirme:
👉 \( K = [-2, 8] \) aralığı \( -2 \) ve \( 8 \) dahil.
👉 \( L = (5, 12) \) aralığı \( 5 \) ve \( 12 \) hariç. - 2. Kesişimi (\( K \cap L \)) Bulma:
👉 Önce \( K \) ve \( L \)'nin ortak kısmını bulalım:
\( K \cap L \) için en büyük başlangıç noktası \( \max(-2, 5) = 5 \) (hariç, çünkü \( L \) içinde \( 5 \) hariç)
\( K \cap L \) için en küçük bitiş noktası \( \min(8, 12) = 8 \) (dahil, çünkü \( K \) içinde \( 8 \) dahil)
Yani, \( K \cap L = (5, 8] \). - 3. Fark Kümesini Bulma:
👉 \( K \setminus L \), \( K \) kümesindeki elemanlardan \( (5, 8] \) aralığını çıkarmak demektir.
\( K \) aralığı \( [-2, 8] \) idi. Bu aralıktan \( (5, 8] \) kısmını çıkarırsak, \( -2 \) ile \( 5 \) arasındaki kısım kalır.
\( 5 \) noktası \( L \) aralığında olmadığı için, \( K \setminus L \) kümesinde \( 5 \) noktası kalır (dahil olur). - 4. Sonucu Yazma:
✅ Bu durumda, \( K \setminus L \) kümesi \( -2 \) ile \( 5 \) arasındaki tüm gerçek sayıları kapsar, \( -2 \) dahil ve \( 5 \) dahildir. Yani,
\[ K \setminus L = [-2, 5] \]
Örnek 6:
📏 Bir cetvelin üzerinde \( 10 \) cm ile \( 25 \) cm arasındaki tüm noktaları işaretlemek istiyoruz. Ancak, \( 10 \) cm noktasını ve \( 25 \) cm noktasını dahil etmiyoruz. Bu aralığı aralık ve eşitsizlik biçiminde nasıl ifade edersiniz?
Çözüm:
Bu bir günlük hayat örneğidir ve aralık kavramını somutlaştırmaya yardımcı olur.
- 1. Eşitsizlik Biçiminde İfade:
👉 Soruda \( 10 \) cm ve \( 25 \) cm noktalarının dahil edilmediği belirtilmiştir. Bu durumda, \( x \) ile gösterdiğimiz ölçüm değeri \( 10 \)'dan büyük ve \( 25 \)'ten küçük olmalıdır. Eşitsizlik olarak:
\[ 10 < x < 25 \] - 2. Aralık Biçiminde İfade:
👉 Her iki uç noktanın da dahil edilmediği durumlar için açık aralık gösterimi kullanılır. Bu da parantezlerle ifade edilir:
\[ (10, 25) \] ✅ Yani, cetvel üzerindeki işaretleyeceğimiz noktalar \( 10 \) cm ve \( 25 \) cm arasında, bu iki nokta hariçtir.
Örnek 7:
🛣️ Bir otoyolun belirli bir kesiminde hız limitleri belirlenmiştir. Araçların hızı \( V \) (km/sa) olmak üzere, bu kesimde hızın en az \( 70 \) km/sa ve en fazla \( 120 \) km/sa olması gerekmektedir. Aşırı hız yapmanın tehlikeli olduğu bilinmektedir. Ayrıca, \( 100 \) km/sa'in üzerinde hız yapan araçlar için özel bir takip sistemi devreye girmektedir. Buna göre, hem hız limitlerine uyan hem de özel takip sisteminin devreye girdiği hız aralığını bulunuz.
Çözüm:
Bu problemde iki farklı koşulun kesişimini bulmamız gerekiyor.
- 1. Hız Limitlerine Uyan Aralık (A):
👉 Hızın en az \( 70 \) km/sa ve en fazla \( 120 \) km/sa olması gerektiği belirtiliyor. Bu, \( 70 \) ve \( 120 \)'nin dahil olduğu bir aralıktır:
\[ A = [70, 120] \] - 2. Özel Takip Sisteminin Devreye Girdiği Aralık (B):
👉 \( 100 \) km/sa'in üzerinde hız yapan araçlar için özel takip sistemi devreye girmektedir. Yani \( 100 \) km/sa dahil değildir ve daha yüksek hızları kapsar. Ancak hız limitleri olduğundan \( 120 \) km/sa'i geçemez.
\[ B = (100, 120] \] - 3. Her İki Koşulu Sağlayan Aralık (A \(\cap\) B):
👉 Hem hız limitlerine uyan hem de özel takip sisteminin devreye girdiği aralığı bulmak için \( A \) ve \( B \) kümelerinin kesişimini almalıyız:
\( A \cap B \) için en büyük başlangıç noktası \( \max(70, 100) = 100 \). \( 100 \) noktası \( B \) aralığında hariçtir, bu yüzden kesişimde de hariçtir.
\( A \cap B \) için en küçük bitiş noktası \( \min(120, 120) = 120 \). \( 120 \) noktası her iki aralıkta da dahildir, bu yüzden kesişimde de dahildir. - 4. Sonucu Yazma:
✅ Bu durumda, hem hız limitlerine uyan hem de özel takip sisteminin devreye girdiği hız aralığı şu şekildedir:
\[ A \cap B = (100, 120] \] Yani, araçlar \( 100 \) km/sa'ten daha hızlı ancak \( 120 \) km/sa'e eşit veya daha yavaş hız yaparken bu koşulları sağlar.
Örnek 8:
🌡️ Bir şehirde yaz aylarında sıcaklıklar genellikle \( 25^\circ C \) ile \( 38^\circ C \) arasında değişmektedir. Kış aylarında ise sıcaklıklar \( -5^\circ C \) ile \( 15^\circ C \) arasında ölçülmektedir. Bu şehirde yıl boyunca ölçülen sıcaklıkların olası en geniş aralığını bulunuz. (Sıcaklıklar uç noktalar dahil kabul edilecektir.)
Çözüm:
Bu problemde, farklı mevsimlerdeki sıcaklık aralıklarının birleşimini bulmamız gerekiyor.
- 1. Yaz Aylarındaki Sıcaklık Aralığı (Y):
👉 Sıcaklıklar \( 25^\circ C \) ile \( 38^\circ C \) arasında değişmektedir ve uç noktalar dahildir:
\[ Y = [25, 38] \] - 2. Kış Aylarındaki Sıcaklık Aralığı (K):
👉 Sıcaklıklar \( -5^\circ C \) ile \( 15^\circ C \) arasında ölçülmektedir ve uç noktalar dahildir:
\[ K = [-5, 15] \] - 3. Yıl Boyunca Olası En Geniş Sıcaklık Aralığı (Y \(\cup\) K):
👉 Yıl boyunca ölçülen sıcaklıkların olası en geniş aralığını bulmak için \( Y \) ve \( K \) kümelerinin birleşimini almalıyız.
Birleşim işlemi için en soldaki başlangıç noktasından en sağdaki bitiş noktasına kadar olan tüm aralığı alırız.
Aralık Y'nin başlangıcı: \( 25^\circ C \)
Aralık K'nin başlangıcı: \( -5^\circ C \)
Bu ikisinden en küçüğü \( -5^\circ C \)'dir ve dahildir.
Aralık Y'nin bitişi: \( 38^\circ C \)
Aralık K'nin bitişi: \( 15^\circ C \)
Bu ikisinden en büyüğü \( 38^\circ C \)'dir ve dahildir. - 4. Sonucu Yazma:
✅ Bu durumda, şehirde yıl boyunca ölçülen sıcaklıkların olası en geniş aralığı şu şekildedir:
\[ Y \cup K = [-5, 38] \] Yani, şehirde sıcaklıklar en düşük \( -5^\circ C \) ve en yüksek \( 38^\circ C \) arasında değişebilir.
Örnek 9:
➕ \( A = (-\infty, 6] \) ve \( B = [2, \infty) \) gerçek sayı aralıkları veriliyor. Buna göre \( A \cap B \) kümesini bulunuz.
Çözüm:
Bu problemde sonsuz aralıkların kesişimini bulmamız gerekiyor.
- 1. Aralıkları Anlama:
👉 \( A = (-\infty, 6] \) aralığı, \( 6 \) dahil olmak üzere \( 6 \)'dan küçük veya eşit tüm gerçek sayıları ifade eder.
👉 \( B = [2, \infty) \) aralığı, \( 2 \) dahil olmak üzere \( 2 \)'den büyük veya eşit tüm gerçek sayıları ifade eder. - 2. Kesişimi Belirleme:
👉 Kesişim, her iki aralığın da ortak olan kısmıdır. Sayı doğrusunda düşündüğümüzde:
Aralık A'nın üst sınırı \( 6 \)'dır (dahil).
Aralık B'nin alt sınırı \( 2 \)'dir (dahil).
Ortak kısım, \( 2 \)'den başlayıp \( 6 \)'da bitecektir. Her iki uç nokta da kendi aralıklarında dahil olduğu için kesişimde de dahil olacaktır. - 3. Sonucu Yazma:
✅ Bu durumda, \( A \cap B \) kümesi \( 2 \) ile \( 6 \) arasındaki tüm gerçek sayıları kapsar, \( 2 \) dahil ve \( 6 \) dahildir. Yani,
\[ A \cap B = [2, 6] \]
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-gercek-sayi-araliklarinin-gosterimi-ve-araliklarla-ilgili-islemlerde-kumeler/sorular